金融数学公式

(1
t ) ⋅ Bt ~ N (0,1)
几何布朗运动（GBM）模型
U k = ln
Pr (St ≥ S0 ) Sk 2 1 n ,S = (U k −U )2 2 ∑ ( µ −σ ) t +σ Bt Sk−1 n − 1 k=1 2 = Pr (S0 e ≥ S0 ) 2 S µ σ U+ 2 ,σ = Pr ( Bt ≥ (− + )t ) ˆ= S ˆ= µ σ 2 Δt Δt σ µ 2 = 1 − Φ(( − ) t ) St = S0 ⋅ exp{(µ − σ )t + σ Bt } 2 2 σ
k =1
零息券远期价格
最优组合系数及组合收益率标准差
P(t, T ) = e
−
P0 (t1 , T ) =
P (0, T ) P (0, t1 )∫tT源自f ( t , s ) ds
X=
Σ−1i i#Σ−1i
P(0, t ) = e− rt （有些题目会告
诉数字） 利率模型 ZCB 定价期望法
金融数学公式
d1 =
ln(St ) X +( r +σ ) T −t σ T −t σ 2
d2 = d1 − σ T − t
delta 对冲中 t 貌似为 0 Δ = Φ(d1 )
Ho-­‐Lee(利率到货币市场价格模型)后者为倒算 看涨期货的 BS 公式
Bt+Δt = (1 + r ⋅ Δt )Bt Pk = 0.5[(1 + rk,u Δt )−1 × Pk+1,u + (1 + rk, d Δt )−1 × Pk+1, d ]
Δ! ������ : 二叉树时间间隔
q = (ert − d ) (u − d )
期权 BS 公式
1 (ε A ⋅ ε B − ε Aε B ) = 0 N −2
GBM 计算概率
涨 V (St , t ) = St Φ(d1 ) − Xe− r (T −t )Φ(d2 ) 跌 V (St , t ) = −St Φ(−d1 ) + Xe− r (T −t )Φ(−d2 )
金融数学公式
博弈论期权定价
博弈法一般公式
期望定价
二叉树参数估计
− rt V0 = ΔS0 + (U − ΔSu )e− rt V0 = e [ qU + (1 − q)D] π 0 = xV + yS ert S0 − Sd π 1 = (St − X ) x + St y Δ = U − D q= Su − Sd Su − Sd π 1 = 0 ⋅ x + St y (1 + r )π 0 = π 1 Delta 对冲表达式之一 二叉树连锁法
σ 2 ( Rp ) = X !∑ X, i!X = 1
浮动利率变固定 本金间隔不变 远期利率计算
f (0, t ) = Y (t ) − t ⋅ Y '(t ) ∂ ln P (t , T ) f (t , T ) = − ∂T
r = [1 − P(0, T )] [τ ∑ P(0, tk )]
f1 + σ Δt
上面的利率是树状的 f2 + 2σ Δt 历 史 波 动 率
Ft X +σ T −t d1 = σ T −t 2 ln d2 = d1 − σ T − t C ( Ft , t ) = e
− r ( T −t )
[ Ft Φ(d1 ) − X Φ(d2 )]
旁边那个公式 的积分
收益率，零息券
1 σ ( Rp ) = i!Σ−1i
P0 = 1 E[1 |[0, t N ]] 利率二叉树
上枝利率为 a，下枝为
利率模型 ZCB 定价一般倒向法（BIM）
P0 = 0.5 ⋅ [( Pu a) + ( Pd b)] b，标在枝干上
ˆ2 = σ
1 ∑(U − U )2 n − 1 i=1 i
n
短期利率
Ft = St er (T −t ) （一般题目会给出） E[ Sk ] = ( pu + qd )k S0 股票二叉树期望
N
S U i = ln( i ) Si−1
r (t ) = −
d ln P(t ) dt
Rk = ˆ= µ
Sk − Sk−1 Sk−1
R ˆ s ;σ = Δ1t Δ1t
ˆ Δ 2t ˆ ⋅ Δ 2t + σ u = 1+ µ ˆ Δ 2t ˆ ⋅ Δ 2t − σ d = 1+ µ
Δ! ������ : 数据时间间隔 单指数模型检验
R jt = α + β Rmt + ε jt cov(ε A , ε B ) =