高阶系统的频域分析及离散化

题 目: 高阶系统的频域分析及离散化 初始条件：设单位反馈系统的开环传递函数为
2
()
()(48)()
p K s b G s s s s s a +=
+++
要求完成的主要任务: （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写
等具体要求）
1、 当K=10,a=1,b=4时绘制系统的奈奎斯特图和波特图，计算截至频率和相
位裕度、幅值裕度，用奈奎斯特判据判断系统的稳定性 2、 如稳定，则求取系统在单位阶跃输入、单位斜坡输入和单位加速度输入时
的稳态误差，
3、 如不稳定，则计算系统稳定时K 、a 和b 的取值范围，在稳定范围内任取
一值重复第2个要求
4、 采样开关在比较点后面，试将系统离散化，求取闭环脉冲传递函数
时间安排：
指导教师签名： 年 月 日
系主任（或责任教师）签名： 年 月 日
高阶系统的频域分析及离散化
1利用MTALAB 进行系统的频域分析
1.1利用MATLAB 绘制系统的波特图
1.1.1绘制波特图
用Matlab 绘制波特图、奈氏图、计算稳定裕度、相角裕度和截止频率的程序如下：
clc %清屏 clear %清变量
num=[10 40]; %开环传递函数分子 den=conv([1 1 0],[1 4 8]); %开环传递函数分母 sys=tf(num,den); %建立开环传递函数 figure(1)
[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(sys) %绘制波特图，计算幅值裕度、相角裕度 margin(sys) %及其对应的截止频率、穿越频率 figure(2)
nyquist(sys); %绘制奈奎斯特图 v=[-6 1 -10 10];
axis(v) %指定图形的显示范围 已知单位反馈系统的开环传递函数为2()
()(48)()
p K s b G s s s s s a +=
+++，当K=10，
a=1,b=4时，G p =
)
1)(84(4102
++++s s s s s ）
（，利用matlab 绘制波特图，并算出幅值裕度、相角裕度，从而判断系统的稳定性。

1.1.2用Matlab 计算幅值裕度、相角裕度、截止频率
M a g n i t u d e (d B )10
10
10
10
10
P h a s e (d e g )
Bode Diagram
Gm = -3.56 dB (at 1.71 rad/sec) , P m = -14.1 deg (at 2.11 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
幅值裕度h(dB)=-3.65dB ，相角裕度γ=-14.1°，截止频率Wc=2.1126rad/s
1.1.3手绘波特图过程
(1)将开环传递函数分解成各基本环节乘积的形式
)
1)(15.0125.0()
125.0(5G 2p ++++=
s s s s s 可见K=5，v=1
(2)在坐标上标出各个环节交接频率1ω=1，2ω=8=2.83，3ω=4 (3)低频渐进线的斜率为-20dB/dec ,过点(1,20lg5)。

(4)从低频段开始每经过一次交接频率，斜率变换一次。

ω=1时，斜率变为-40dB/dec; ω=2.83时，斜率变为-80dB/dec ；ω=4时，
斜率变为-60dB/dec
(5)绘制对数相频特性曲线
)(ωϕ=arctan ω25.0-90°-arctan ω5.0/(1-2125.0ω)-arctan ω其中，ω=0时，)(ωϕω)(ωϕ
1.2
1.2.1绘制奈奎斯特图
-10
-8-6-4-2024
6810Nyquist Diagram
Real Axis
I m a g i n a r y A x i s
1.2.2稳定性分析
开环传递函数极点分别为0、-2+j2、-2-j2、-1，右半平面极点个数P=0，从波特图上可以看出N −=1，N +=0，R=2N =2(N +−N −)=−2,因此P ≠R ，Z ≠0，根据奈氏判据判断系统不稳定
另外，因为相角裕度Pm<0，幅值裕度Gm<1同样可以得出系统不稳定。

根据题目所给的开环传递函数2()
()(48)()
p K s b G s s s s s a +=
+++，计算得出它的闭
环特征方程是：s 4+(4+a)s 3+(8+4a)s 2+(8a+K)s+bK=0，列出其劳斯表如下所示： s 4 1 8+4a bK
s 3
4+a 8a+K 0
s 2 M=[(4+a)*(8+4a)-(8a+k)]/(4+a) bK s 1 [M*(8a+k)- (4+a)* bK]/M 0 s 0
bK
令其首列为正数，得到以下不等式组： 4+a>0
M=[(4+a)*(8+4a)-(8a+k)]/(4+a)>0 [M*(8a+k)- (4+a)* bK]/M>0 bK>0 化简得
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>>+-++++>++>+0bK 016bK -K -32K bK)a 88K (256bK)a -4K (12832a 0
K -3216a 4a 0a 42
232
取a=1，b=1，K=10经验证满足上述不等式组，说明此时系统是稳定的。

1.2.3手绘奈氏图过程
当ω=0时，∣)(G s p ∣=∞，)(ωϕ=-90°；ω→∞时∣)(G s p ∣=0，)(ωϕ= -270°，
)j (G ωp =)
1](16)8[()]
40()328([102
222324ωωωωωωωω++-+--+j ，)0Re(+= -6.25令Im=0即
32824-+ωω=0，解得
函数奈氏图 。

22.1单位阶跃响应及其稳态误差
2.1.1利用MATLAB 绘制单位阶跃响应曲线
开环传递函数)
84(10
G 2
p ++=
s s s 求其闭环传递函数得10
8410
S Φ2
3+++=
s s s ）（ 根据闭环传递函数编制MATLAB 程序如下： clc clear
num=10;den=[1 4 8 10]; sys=tf(num,den); p=roots(den) t=0:0.01:10; figure(1) step(sys,t);grid
xlabel('t');ylabel('c(t)');title('单位阶跃响应'); figure(2) u=t;
lsim(sys,u,t,0);grid
xlabel('t');ylabel('c(t)');title('速度输入响应');
figure(3) u=0.5*(t.^2); lsim(sys,u,t,0);grid
xlabel('t');ylabel('c(t)');title('加速度输入响应'); 运行结果:
从开环系统的极点全在s 左半平面也可以看出系统是稳定的
2.1.2稳态误差分析与计算
根据绘制出的曲线可以明显的看出，当时间t→∞时，单位阶跃输入以及单位阶跃响应均趋近于常值1，也就是说系统在单位阶跃输入时的稳态误差为0。

由理论分析，题目所给系统为Ⅰ型系统，则其静态位置误差系数K p =
lim 0
→s G p (S)= ∞，根据单位阶跃作用下的稳态误差公式可知，稳态误差e ss =
）（s (s)H lim 110
s G →+=p
11
K +=0，与使用MATLAB 所绘制出的曲线得到的结果一致。

12345678910
00.20.40.60.8
1
1.2
1.4
单位阶跃响应
t (sec)
c (t )
2.2单位斜坡响应及其稳态误差
2.2.1利用MATLAB 绘制单位斜坡响应曲线
2.2.2稳态误差的分析和计算
在此控制系统中，根据绘制出的图可以看出，当时间t →∞时，单位斜坡输入和单位斜坡响应之间的差值趋近于一个常数，这个常数即是其稳态误差。

计算出稳态误差e ss =8-7.2=0.8。

根据理论分析，用静态速度误差系数表示系统在斜坡输入作用下的稳态误差，将R （s ）=2/1s 带入稳态误差的求取公式得到：
v
K s H s sG s H s G s sR s sE 1
)()(1)
()(1)
()(e lim
lim
lim 0
s 0
s 0
s ss =
=
+==→→→
因为所给系统是Ⅰ型系统，其静态速度误差系数K v =
lim 0
→s SG p (S)=10/8。

代
入到上述公式中可求出e ss =0.8,与使用MATLAB 绘制出的曲线求的相一致。

2.3单位加速度斜坡响应及其稳态误差
2.3.1利用MATLAB 绘制单位加速度斜坡响应曲线
速度输入响应
t (sec)
c (t )
012345678910
123456
78910
2.3.2稳态误差的分析与计算
根据MATLAB 所绘制的图可以看出，单位加速度输入和单位加速度响应的曲线之间的差变得越来越大。

也就是说，系统在单位加速度输入时的稳态误差是∞。

由理论分析：此系统是Ⅰ型系统，根据稳态误差的公式，化简得到下式：
a
2
s 0
s 0
s ss 1
)()(1)()(1)()(e lim lim
lim K s H s G s s H s G s sR s sE ==+==→→→ 而此时静态加速度误差系数K a =lim 0
→s S 2G p (S)=0，因此，稳态误差e ss =∞。

与绘
制的图得到的结果一致。

3高阶系统的离散化
3.1 系统离散化
标准的带有采样开关和零阶保持器的系统结构图如图7所示。

当其中没有采样开关和零阶保持器时，则成为连续系统，这种情况在上节已经分析过。

当它只含有采样器而没有零阶保持器时，求其闭环脉冲传递函数。

根据图示可得： C (s)=G P (s)E *(s)
51015202530
35404550加速度输入响应
t (sec)
c (t )
考虑到 E （s ）=R （s ）-C （s ）= R （s ）- G P (s)E *(s) 离散化后，有
E *(s)= R *（s ）- G P *(s)E *(s)
即 E *
(s)= ）（）
（s 1s *R *
P G +
所以，输出信号的采样拉氏变换
C *(s)= G P *(s)E *(s)=
(s)(s)
*G 1(s)*G *
P P R +
由上节得到的C *(s)，对其进行z 变换，得到
C(z)=
(z)(z)
G 1(z)
G P P R + 即闭环脉冲传递函数
Φ（z ）=(z)
G 1(z)
G P P +
若既有采样器又有零阶保持器，则此时开环脉冲传递函数为
G （z ）=（1-z -1）Z[G P (s)/S]
（1）
其闭环脉冲传递函数
Φ（z ）=G(z)
1G(z)
+
根据上节的开环传递函数G P （s ）=)
8s 4s (s 10
2++编制MATLAB 程序如下所
示：
图7 离散系统
num=10;
den=[1 4 8 0];
T=1;
[numz,denz]=c2dm(num,den,T,'zoh'); g=feedback(tf(numz,denz,T),1,-1);
y=dstep(g.num,g.den);
t=0:length(y)-1;
ab=plot(t,y,'bo');
set(ab,'linewidth',1.5);
hold on;
[numz,denz]=c2dm(num,den,T,'imp'); g=feedback(tf(numz,denz,T),1,-1);
y=dstep(g.num,g.den);
t=0:length(y)-1;
ab=plot(t,y,'r+');
set(ab,'linewidth',1.5);
hold on;
t=0:0.001:35;
g=feedback(tf(num,den),1,-1);
y=step(g,t);
ab=plot(t,y,'k-');
set(ab,'linewidth',1.5);
xlabel('t'),ylabel('h(t)');
grid;
运行结果如图8所示。

3.2 闭环脉冲传递函数
在只有采样开关而没有零阶保持器的情况下，由上节得到的闭环脉冲传递函数为Φ（z ）=(z)
G 1(z)G R(z)(z)P P +=C 连续与离散系统时间响应曲线
根据题目所给的开环传递函数G P （s ）=a)
8)(s 4s s(s b)(s 2++++K 将使系统稳定的值K=10，a=1，b=1代入得到G P （s ）)
8s 4s(s 102++=其极点是0，-2+2i ，-2-2i ，使用MATLAB 编制程序，求出G P （s ）的z 变换。

程序如下：
[num,den]=zp2tf([-5],[0,-6,-2+2i,-2-2i],[12]);
t h (t )
h=tf(num,den);
hd=c2d(h,0.1,'tustin'); %开环传递函数的Z变换G P(z)
numz=hd;denz=hd+1; %无零阶保持器时闭环脉冲传递函数的分子和分母sys=tf(numz,denz) %无零阶保持器时闭环脉冲传递函数
运行结果如下所示：
当既有采样器又有零阶保持器时，由公式（1）得到的开环脉冲传递函数为G（z）=（1-z-1）Z[G P(s)/s]，利用MATLAB求出Z[G P(s)/s]，程序如下：[num,den]=zp2tf([],[0,0,-2+2i,-2-2i],[10]);
hd=c2d(tf(num,den),0.1,'tustin');
z=tf('z');
aaa=(1-z^-1)*hd
运行结果是：
4小结和体会
经过长期的奋斗和努力，我终于完成了本次课程设计。

突然如释重负，有种溢于言表的喜悦，感觉自己收获了很多很多，甚至多于一学期的理论知识学习。

刚拿到题目时觉得挺简单，但是随着逐渐对题目的深入理解，慢慢遇到很多棘手的问题，逐渐发现自己掌握的不够牢固，许多平时的漏洞逐渐显露。

例如对奈奎斯特稳定判据理解的不透，开环幅相曲线一般只是画出Im>0的部分，而使用Matlab画出的是对应整个复平面的图形。

通过本次课程设计，我感到理论知识和实践同等重要，将理论转化为实践时并不是想象的那么简单，只有对基础知识掌握牢固，才可以更进一步，加深对知识的理解，提高对知识的运用能力。

复习课本上的知识，查漏补缺，图书馆查询资料、请教同学、网上查询资料、一次次的计算和修改程序、一次次出错后的纠结等等，每个新问题刚刚解决，又会浮出新的问题，但每次独立解决问题后的成就感只有做过的人能真正体会到。

通过本次课程设计，我得到了以往不曾有过的体会与经验。

首先，将自己学到的理论知识通过本次课程设计应用到了实际生活当中，提高了自己学习专业课程的兴趣。

其次，加深了自己对于相关课程基础知识与基本理论的理解和掌握，学会了综合运用所学知识的能力。

对自己的要求不同，收获也不同。

因此，必须严格要求自己，不断完善自己，只有熟练掌握专业知识，将来才可以更好的投入社会，为社会贡献自己的一份力量。

通过对Matlab的使用，我体会到这款软件功能强大，是我们解决许多不同种类问题的不错的选择，而且使用起来命令也很简单，只要按照规定的格式就可以完成不同的任务。

但是一定要细心，例如对输入法、命令使用时的限制条件（conv只能用于两个多项式相乘）等等。

最后，衷心感谢所有在这段时间提供无私帮助的同学们和老师！
参考文献：
[1]胡寿松.自动控制原理(第四版)北京:科学出版社,2006.
[2]肖诗松.计算机控制——基于MATLAB实现.北京:清华大学出版社,2006.
[3]吴麒.自动控制原理与系统.北京:清华大学出版社,1980.
[4]薛定宇.反馈控制系统设计与分析——MATLAB语言应用.北京：清华大学出版社，2000.
[5]胡寿松.自动控制原理习题解析.北京：科学出版社，2007.
[6]王立红.自动控制理论.北京：中国电力出版社，2010.。