全部定理的几何的三种语言上学期北师大版

直平分线相交于一点,并且这
一点到三个顶点的距离相等).
回顾 思考
角平分线的性质
定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
如图, ∵OC是∠AOB的平分线 ,P是OC上任意一点 O ,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足 分别是D,E(已知)
A D
1
P
2
C
E B
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的 两边距离相等).
P
∴点P在AB的垂直平分线上(
A
B
到一条线段两个端点距离相
等的点,在这条线段的垂直平
分线上).
定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一
点,并且这一点到三个顶点的距离相等.
如图,在△ABC中,
∵c,a,b分别是AB,BC,AC的 a A
垂直平分线(已知),
c
b
P
∴c,a,b相交于一点P,且 B
C
PA=PB=PC(三角形三条边的垂
D
如图,在△ABC中, ∵AB=AC, ∠1=∠2(已知). ∴BD=CD,AD⊥BC（三线合一）.
证明后的结论,以后可以直接运用.
议一议P2 3
几何的三种语言
推论:
A
等腰三角形顶角的平分线,
底边上的中线,底边上的高 1 2
互相重合(三线合一).
B
C
D
如图,在△ABC中, ∵AB=AC, BD=CD (已知). ∴∠1=∠2,AD⊥BC（三线合一）.
如图,在△ABC中,
∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条 A
角平分线,且
ND
M
PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC(已知), P F
B
E
C
∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF(三
角形的三条角平分线相交于一点,并且这
一点到三边的距离相等).
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老师提示:这又是一个证明三条直线交于一点
的根据之一这个交点叫做三角形的内心.
定理： 有两个角相等的三角形是等腰 A 三角形（等角对等边）.
′
在△ABC中
B
C
∵∠B＝∠C（已知），
∴AB=AC（等角对等边）.
这又是一个判定两条线段相等根据之一.
回顾反思 1
几何的三种语言
定理:有一个角是600的等腰三角 形是等边三角形.
A
在△ABC中,
600
∵AB=AC,∠B=600(已知). B
C
∴△ABC是等边三角形(有
一个角是600的等腰三角
形是等边三角形).
这又是一个判定等边三角形的根据之一.
回顾反思 2
几何的三种语言
定理:三个角都相等的三角形是
等边三角形.
A
600
在△ABC中, ∵∠A=∠B=∠C(已知), ∴△ABC是等边三角形( 三个角都相等的三角形 是等边三角形).
600
B
议一议P2 3
几何的三种语言
定理:
等腰三角形的两个底角
A
相等(等边对等角).
如图,在△ABC中, ∵AB=AC(已知),
B
C
∴∠B=∠C(等角对等边).
证明后的结论,以后可以直接运用.
议一议P2 3
几何的三种语言
推论:
A
等腰三角形顶角的平分线,
底边上的中线,底边上的高
12
互相重合(三线合一).
B
C
逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距 离相等的点,在这个角的平分线上.
如图,
∵PD=PE, PD⊥OA,PE⊥OB, (已知), D A
1 O2
P C
∴点P在∠AOB的平分线上.(在一 E
个角的内部,且到角的两边距离相
B
等的点,在这个角的平分线上).
定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并 且这一点到三边的距离相等.
证明后的结论,以后可以直接运用.
议一议P2 3
几何的三种语言
推论:
A
等腰三角形顶角的平分线,
底边上的中线,底边上的高
12
互相重合(三线合一).
B
C
D
如图,在△ABC中, ∵AB=AC, AD⊥BC(已知). ∴BD=CD, ∠1=∠2 （三线合一）.
证明后的结论,以后可以直接运用.
议一议 3
几何的三种语言
600
C
这又是一个判定靠边三角形的根据之一.
回顾反思 3
几何的三种语言
定理:在直角三角形中, 如果有一个锐 角等于300,那么它所对的直角边等于斜
边的一半.
在△ABC中, ∵∠ACB=900,∠A=300.
B
A 300
C
∴BC= AB.(在直角三角 形中, 300角所对的直角边 等于斜边的一半).
回顾反思 4
几何的三种语言
在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜 边的一半,那么它所对的锐角等于300.
此结论在选择题和填空题中使用
B
在△ABC中 ∵∠ACB=900,BC=AB/2(已知), A 300 C ∴∠A=300(在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一 半,那么它所对的锐角等于 300).
开启 智慧
几何的三种语言
定理 线段垂直平分线上的点到这条
线段两个端点距离相等.
如图,
M
∵ MN⊥AB, AC=BC,(已知),
P
∴PA=PB(线段垂直平分线上 A
C
B
的点到这条线段两个端点距
N
离相等).
逆定理 到一条线段两个端点距离相等 的点,在这条线段的垂直平分线上.
如图,
∵PA=PB(已知),