瞬时速度与导数

§3.1.2 瞬时速度与导数

学习目标

1.会用极限给瞬时速度下精确的定义；并能说出导数的概念.

2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度．

3.大胆质疑，积极讨论，高效学习，勇于展示自己的观点与解法，以极度的热情投入到合作

.

学法指导

1.预习教材P78～P82，找出疑惑之处.

2.根据学案的提示，课前完成“问题导学”、“典型例题”及“深化提高”.

3.认真限时

．．完成，规范分栏书写；课堂上积极进行小组合作探究，答疑解惑.

学习过程

一、课前准备

1、求函数平均变化率的步骤：

2、过曲线3

()

f x x

=上两点(1,1),(1,1)

p Q x y

+∆+∆做曲线的割线，求当x∆=0.1时割线的斜率。

二、问题导学

探究（一）瞬时速度：

1. 已知物体作变速直线运动,其运动方程为s＝s(t)(ｓ表示位移,t表示时间),求物体在t0时刻

的速度．

问题1：如图设该物体在时刻t0的位移是ｓ(t0)＝OA0,在时刻t0+Δt 的位移是s(t0+ Δt)=OA1,则从

t0到t0 +Δt 这段时间内,物体的位移是:_________________________.

问题2：在时间段（t0+△t）－t0内，物体的平均速度为: _____________________________________.

问题3：平均速度与瞬时速度分别反映了什么？

平均速度：反映了物体运动时的快慢程度,但要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在

每一时刻运动的快慢程度,就需要通过瞬时速度来反映.

如果物体的运动规律是s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v，就是物体在t到t+Δt这段

时间内，当Δt→0 时平均速度.

)

(

)

(

1

t

s

t

t

s

OA

OA

s-

∆

+

=

-

=

∆

t

s

t

t

t

t s

t

t s

v

∆

∆

=

-

∆

+

-

∆

+

=

__

)

(

)

(

)

(

v t

t s t t s →∆-∆+)

()(，也就是位移对于时间的瞬时变化率.

2.瞬时速度的定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.另一个角度，瞬时速度是平均速度

t

s

∆∆当t ∆趋近于0时的 . 探究（二）导数的概念：

1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =附近有改变x ∆时，则函数

)(x f y =相应地有改变)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比

x

y

∆∆（也叫函数的平均变化率）无限趋近于某个常数l ，我们把这个常数l 叫做函数)(x f y =在0x x →处的瞬时变化率.

记作 ____________________________________ .

还可以说，当0x ∆→时，函数平均变化率的极限值等于函数在x0处瞬时变化率，

可记作 ，函数在x0的瞬时变化率，通常就定义为f(x)在x=x0处的导数，并记作：

注意：○

1“0x ∆→”的意义：x ∆与0的距离要多近有多近，即|0|x ∆-可以小于给定的任意小的正数，但始终0x ∆≠ 。

○

2当0x ∆→时，存在一个常数与 00()()

f x x f x x

+∆-∆ 无限的接近。

2.导函数： 称这个函数)(/

x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，记作 .

注：⑴如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导。 ⑵导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系是函数)(x f y =在点0x 处的导数就是导函数)(/

x f 在点0x 的函数值。

⑶求导函数时，只需将求导数式中的0x 换成x 就可，即)(/

x f ＝x

x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 0

⑷今后，如不特别说明求某一点的导数，求导数指得就是求导函数.

3.由导数的定义可知，利用导数的定义求函数)(x f y =的导数的一般步骤是： 第一步，求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；

第二步：求平均变化率

0()

f x x y x x

+∆∆=

∆∆； 第三步：取极限得导数00()lim x y

f x x

∆→∆'=∆.

三、典型例题

例1.物体作自由落体运动,运动方程为2

2

1gt S =

，其中位移单位是m,时间单位是s,g=10m/s 2.求：

(1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度； (2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度； (3) 物体在t =2(s)时的瞬时速度.

例2. 竖直向上弹射一个小球，小球的初速度为100m/s ．试求小球何时速度为0.

例3.求y =x 2+2在点x =1处的导数.

三、深化提高

练1.设一物体的运动方程是()2

02

1at t v t s +=．其中0v 为初速度，a 是加速度，时间单位为s ，求s t 2=的瞬时速度．