材料力学(强度计算)
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（1）各段杆横截面上的内力和应力； （2）杆件内最大正应力； （3）杆件的总变形。
轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律
解：(1)、计算支反力
Fx 0, F2 F1 FRA 0
FRA F2 F1 (10 30) =－20kN
(2)、计算各段杆件 横截面上的轴力
AB段： FNAB=FRA=－20kN
材料在拉伸与压缩时的力学性能
铸铁是脆性材料，压缩时的应力–应变图，如图 示，试样在较小变形时突然破坏，压缩时的强度 极限远高于拉伸强度极限（约为3 ~ 6倍），破 坏断面与横截面大致成45°的倾角。 铸铁压缩破坏属于剪切破坏。
材料在拉伸与压缩时的力学性能 建筑专业用的混凝土，压缩时的应力–应变 图，如图示。
其伸长率 5% 强度指标只有强度极限 b
对于没有明显屈服阶段的塑性材料，通常以产 生0.2%的塑性应变所对应的应力值作为屈服极限
称为名义屈服极限，用 0.2 表示。
材料在拉伸与压缩时的力学性能
（2002年的标准称为规定残余延伸强度，用 Rf 表示， 例如，Rf0.2表示规定残余延伸率为0.2%时的应力。）
强度和变形计算
一、应力 二、轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律 三、金属材料的拉伸、压缩的力学性质 四、轴向拉压杆件的强度问题 五、剪切、挤压问题的实用计算 六、圆轴扭转强度计算 七、弯曲应力
一、应力
概念
杆件截面上某一点处的内力 集度称为该点的应力
应力
图a所示杆m-m截面上K点处的应 力，在K点周围取一微小面积A， 设A面积上分布内力的合力为P， 则p为△A上的平均应力
轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律
可以看到所有的纵向线都仍为直线，都伸长相等的 长度；所有的横向线也仍为直线，保持与纵向线垂 直，只是它们之间的相对距离增大了。由此，可以 作出平面假设：变形前为平面的横截面，变形后仍 为平面，但沿轴线发生了平移。由材料的均匀连续 性假设可知，横截面上的内力是均匀分布的，即各 点的应力相等
拉应力（箭头背离截面）为正，压应力（箭头指向截 面）为负；对于切应力τ规定：顺时针（切应力对研 究部分内任一点取矩时，力矩的转向为顺时针）为正， 逆时针为负。
二、轴向拉压杆件的变形 应变
胡克定律
轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律
轴向拉（压）杆横截面上的正应力
轴向拉（压）杆横截面上的内 力是轴力，方向与横截面垂直。 由内力与应力的关系，我们知 道：在轴向拉（压）杆横截面 上与轴力相应的应力只能是垂 直于截面的正应力。而要确定 正应力，必须了解内力在横截 面上的分布规律，不能由主观 推断。应力与变形有关，要研 究应力，可以先从较直观的杆 件变形入手。
泊松比
实验表明：当轴向拉（压）杆的应力不超
过材料的比例极限时，横向线应变ε′与 纵向线应变ε的比值的绝对值为一常数，
通常将这一常数称为泊松比或横向变形系
数。用ν表示。
'
ε′=－νε
轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律
胡克定律
变形的计算建立在实验的基础上，实验表明：工程 中使用的大部分材料都有一个弹性范围。在弹性范
代表材料强度性能的主要指标：
屈服极限 s
强度极限 b
可以测得表示材料塑性变形能力的两个指 标：伸长率和断面收缩率。
（1）伸长率 （2）断面收缩率
l1 l 100%
l
A A1 100% A
材料在拉伸与压缩时的力学性能
灰口铸铁是典型的脆性材料，其应力–应变图是 一微弯的曲线，如图示
没有明显的直线。 无屈服现象，拉断 时变形很小，
0.12~0.20 0.16~0.34
轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律
拉压杆的位移
等直杆在轴向外力作用下，发生变形，会 引起杆上某点处在空间位置的改变，即产 生了位移。
轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律
P 1=30kN，P 2=10kN , AC段的横截面面积 A AC=500mm2, CD段的横截面面积 ACD=200mm2， 弹性模量E=200GPa。 试求：
p
sin
cos sin
p sin 2
2
p cos cos2
轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律
应力集中
杆件截面尺寸的突然变化而引起局部应 力急剧增大的现象，称为应力集中。
应力集中对杆件是不利的， 实验表明：截面尺寸改变的 越急剧，应力集中的现象越 明显。因此，在设计时应尽 可能不使杆的截面尺寸发生 突变，避免带尖角的孔和槽， 在阶梯轴和凸肩处要用圆弧 过渡，并且要尽量使圆弧半 径大一些。另外，应力集中 对杆件强度的影响还与材料 有关。
国际上使用的比例系数k的值为5.65。 若k 为5.65的值不能符合这一最小标距要求
时，可以采取较高的值（优先采用11.3值）。
材料在拉伸与压缩时的力学性能
采用圆形试样，换算后
试样按照GB/T2975的要求切取样坯和制 备试样。
r
d
l
r
a b
l
材料在拉伸与压缩时的力学性能
低碳钢为典型的塑性材料。 在应力–应变图中呈现如下四个阶段：
500
200
整个杆件伸长0.015mm。
三、材料在拉伸 (压缩)时的力学性能
材料在拉伸与压缩时的力学性能
材料拉伸时的力学性能 材料的力学性能： 是材料在受力过程中表现出的各种物理性质。
在常温、静载条件下，塑性材料和脆性材 料在拉伸和压缩时的力学性能。 标准试样
试样原始标距与原始横截面面积 l0 k A 关系者,有为比例试样。
混凝土的抗压强度要比抗拉强度大10倍 左右。
材料在拉伸与压缩时的力学性能 安全因数、许用应力、强度条件
安全因数与许用应力
塑性材料，当应力达到屈服极限时，构件已发 生明显的塑性变形，影响其正常工作，称之为 失效，因此把屈服极限作为塑性材料极限应力。
脆性材料，直到断裂也无明显的塑性变 形，断裂是失效的唯一标志，因而把强 度极限作为脆性材料的极限应力。
根据失效的准则，将屈服极限与强度极限通
称为极限应力( u
)
材料在拉伸与压缩时的力学性能
把极限应力除以一个大于1的因数，得到
的应力值称为许用应力( )
u
n 大于1的因数n 称为安全因数。
许用拉应力( t 、许)用压应力用( c )
工程中安全因数n的取值范围，由国家标准
规定，一般不能任意改变。
pm
P A
p lim P dP A0 A dA
一般来说，截面上的内力分布并 不是均匀的，因而，我们将微面 积A趋向于零时的极限值称为K点 的内力集度，即K点的应力p
应力
应力p是一个矢量。通常情况下，它既不与截面垂直，
也不与截面相切。为了研究问题时方便，习惯上常将
它分解为与截面垂直的分量σ和与截面相切的分量τ。 σ称为正应力，τ称为切应力。对于正应力σ规定：
轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律
轴向拉伸（或压缩）时，杆件长度的伸长
（或缩短）量，称为纵向变形，以Δl表示，
Δl=l1-l 拉伸时，Δl＞0；压缩时，Δl＜0
纵向变形与杆件的原始长度有关，不能 反映杆件的变形程度。通常用单位长度上的 变形称为相对变形或线应变，以ε表示，即
l
l
轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律
四、轴向拉压杆件 的强度问题
轴向拉压杆件的强度问题
为了保障构件安全工作，构件内最大工作 应力必须小于许用应力。
max
FN A
max
公式称为拉压杆的强度条件
利用强度条件，可以解决以下三类强度问题：
1、强度校核：在已知拉压杆的形状、尺寸和许 用应力及受力情况下，检验构件能否满足上述 强度条件，以判别构件能否安全工作。
50MPa
(5)、计算杆件内最大应力
max
10 103 200
50MPa
轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律
（6）计算杆件的总变形
l lAB lBC LCD
FNABlAB FNBDlBC FNBDlCD
EAAC
EAAC
EACD
1 ( 20103 100
200 103
500
10103 100 10 103 100) =0.015mm
轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律
轴向拉(压)杆的变形及其计算
杆件在受到轴向拉(压)力作用时，将主要产生沿轴线 方向的伸长(缩短)变形，这种沿纵向的变形称为纵向 变形。同时，与杆轴线相垂直的方向（横向）也随之 产生缩小(增大)的变形，将与杆轴线相垂直方向的变 形称为横向变形。 设直杆原长为l，直径为d。在轴向拉力（或压力）P作 用下，变形后的长度为l1，直径为d1，如图所示。
BD段： FNBD=F2=10kN
轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律
(3)、画出轴力图，如图（c）所示。
(4)、计算各段应力
AB段：
AB
FNAB AAC
20103 500
40MPa
BC段：
Baidu NhomakorabeaC
FNBD AAC
10103 500
20MPa
CD段：
CD
FNBD ACD
10103 200
冷作硬化现象，在强化阶段某一点f处，缓慢卸载，则 试样的应力–应变曲线会沿着fo1回到o1，冷作硬化使材 料的弹性强度提高，而塑性降低。
材料在拉伸与压缩时的力学性能
4、局部变形阶段（de段）
试样变形集中到某一局部区域，由于该区域横 截面的收缩，形成了图示的“颈缩”现象最后 在“颈缩”处被拉断。
材料在拉伸与压缩时的力学性能
杆件在发生纵向变形的同时，也发生了横性变形， 通常把横向尺寸的缩小（或增大）量，称为横向 变形，以Δd表示，即
Δd=d1-d 拉伸时，Δd＜0；压缩时，Δd＞0 对应的单位横向尺寸上的变形称为横向线应
变，以ε′
' d
d
线应变是无量纲 的量，其正负号 规定与杆的纵向 变形相同。
轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律
轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律
轴向拉（压）杆横截面上只有一种应力——正应 力，并且正应力在横截面上是均匀分布的，所以 横截面上的平均应力就是任一点的应力。即拉 （压）杆横截面上正应力的计算公式为
FN
A
max
FN m ax A
对于等截面直 杆，最大正应 力一定发生在 轴力最大的截 面上。
轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律 轴向拉（压）杆斜截面上的应力
工程上常称下屈服强度为材料的屈服极限，用 s 表示
材料屈服时，在光滑 试样表面可以观察到 与轴线成的纹线，称 为45°滑移线。
材料在拉伸与压缩时的力学性能
3、强化阶段（ cd 段）
材料晶格重组后，又增 加了抵抗变形的能力， 要使试件继续伸长就必 须再增加拉，这阶段称 为强化阶段。
曲线最高点d处的应力，称为强度极限( b )
围内，杆的纵向变形量l与杆所受的轴力FN，杆的原 长l成正比，而与杆的横截面积A成反比，即：
l FN l A
引进比例常数E（E称为材料的弹性模量，可
由实验测出）后，得
l FN l EA
轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律
从上式可以推断出：对于长度相同，轴力相同的杆
件，分母EA越大，杆的纵向变形l就越小，可见EA反
映了杆件抵抗拉（压）变形的能力，称为杆件的抗 拉（压）刚度。
若将式的两边同时除以杆件的原长l，并将代入，于
是得
或 E
E
上式是胡克定律的另一表达形式。它表明：在弹 性范围内，正应力与线应变成正比。比例系数即
为材料的弹性模量E。
轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律
工程中常用材料的弹性模量E见表5-1
材料在拉伸与压缩时的力学性能
1、弹性阶段（oa ’段） oa段为直线段，点a对应的应
力称为比例极限，用 p 表示
弹性模量E 和 的关系：
正应力和正应变成线 性正比关系，即遵循 胡克定律
E
材料在拉伸与压缩时的力学性能
2、屈服阶段（bc 段）
曲线过b点，应力变化不大，
应变急剧增大，曲线上出现水 平锯齿形状，材料失去继续抵 抗变形的能力，发生屈服现象
材料名称 低碳钢（Q235） 16锰钢 铸铁 铝合金 混凝土 木材（顺纹） 砖石料 花岗岩
E值（单位GPa） ν值
200~210 200~220 115-160 70-72 15-36 9-12 2.7~3.5 49
0.24~0.28 0.25~0.33 0.23~0.27 0.26~0.33 0.16~0.18
材料在拉伸与压缩时的力学性能
材料压缩时的力学性能
金属材料的压缩试样，一般制成短圆柱形，柱的高度约为 直径的1.5 ~ 3倍，试样的上下平面有平行度和光洁度的 要求非金属材料，如混凝土、石料等通常制成正方形。
低碳钢是塑性材料，压缩时的应力–应变图，如图示。
在屈服以前，压缩时的曲线和拉 伸时的曲线基本重合，屈服以后 随着压力的增大，试样被压成 “鼓形”，最后被压成“薄饼” 而不发生断裂，所以低碳钢压缩 时无强度极限。
轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律
解：(1)、计算支反力
Fx 0, F2 F1 FRA 0
FRA F2 F1 (10 30) =－20kN
(2)、计算各段杆件 横截面上的轴力
AB段： FNAB=FRA=－20kN
材料在拉伸与压缩时的力学性能
铸铁是脆性材料，压缩时的应力–应变图，如图 示，试样在较小变形时突然破坏，压缩时的强度 极限远高于拉伸强度极限（约为3 ~ 6倍），破 坏断面与横截面大致成45°的倾角。 铸铁压缩破坏属于剪切破坏。
材料在拉伸与压缩时的力学性能 建筑专业用的混凝土，压缩时的应力–应变 图，如图示。
其伸长率 5% 强度指标只有强度极限 b
对于没有明显屈服阶段的塑性材料，通常以产 生0.2%的塑性应变所对应的应力值作为屈服极限
称为名义屈服极限，用 0.2 表示。
材料在拉伸与压缩时的力学性能
（2002年的标准称为规定残余延伸强度，用 Rf 表示， 例如，Rf0.2表示规定残余延伸率为0.2%时的应力。）
强度和变形计算
一、应力 二、轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律 三、金属材料的拉伸、压缩的力学性质 四、轴向拉压杆件的强度问题 五、剪切、挤压问题的实用计算 六、圆轴扭转强度计算 七、弯曲应力
一、应力
概念
杆件截面上某一点处的内力 集度称为该点的应力
应力
图a所示杆m-m截面上K点处的应 力，在K点周围取一微小面积A， 设A面积上分布内力的合力为P， 则p为△A上的平均应力
轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律
可以看到所有的纵向线都仍为直线，都伸长相等的 长度；所有的横向线也仍为直线，保持与纵向线垂 直，只是它们之间的相对距离增大了。由此，可以 作出平面假设：变形前为平面的横截面，变形后仍 为平面，但沿轴线发生了平移。由材料的均匀连续 性假设可知，横截面上的内力是均匀分布的，即各 点的应力相等
拉应力（箭头背离截面）为正，压应力（箭头指向截 面）为负；对于切应力τ规定：顺时针（切应力对研 究部分内任一点取矩时，力矩的转向为顺时针）为正， 逆时针为负。
二、轴向拉压杆件的变形 应变
胡克定律
轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律
轴向拉（压）杆横截面上的正应力
轴向拉（压）杆横截面上的内 力是轴力，方向与横截面垂直。 由内力与应力的关系，我们知 道：在轴向拉（压）杆横截面 上与轴力相应的应力只能是垂 直于截面的正应力。而要确定 正应力，必须了解内力在横截 面上的分布规律，不能由主观 推断。应力与变形有关，要研 究应力，可以先从较直观的杆 件变形入手。
泊松比
实验表明：当轴向拉（压）杆的应力不超
过材料的比例极限时，横向线应变ε′与 纵向线应变ε的比值的绝对值为一常数，
通常将这一常数称为泊松比或横向变形系
数。用ν表示。
'
ε′=－νε
轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律
胡克定律
变形的计算建立在实验的基础上，实验表明：工程 中使用的大部分材料都有一个弹性范围。在弹性范
代表材料强度性能的主要指标：
屈服极限 s
强度极限 b
可以测得表示材料塑性变形能力的两个指 标：伸长率和断面收缩率。
（1）伸长率 （2）断面收缩率
l1 l 100%
l
A A1 100% A
材料在拉伸与压缩时的力学性能
灰口铸铁是典型的脆性材料，其应力–应变图是 一微弯的曲线，如图示
没有明显的直线。 无屈服现象，拉断 时变形很小，
0.12~0.20 0.16~0.34
轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律
拉压杆的位移
等直杆在轴向外力作用下，发生变形，会 引起杆上某点处在空间位置的改变，即产 生了位移。
轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律
P 1=30kN，P 2=10kN , AC段的横截面面积 A AC=500mm2, CD段的横截面面积 ACD=200mm2， 弹性模量E=200GPa。 试求：
p
sin
cos sin
p sin 2
2
p cos cos2
轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律
应力集中
杆件截面尺寸的突然变化而引起局部应 力急剧增大的现象，称为应力集中。
应力集中对杆件是不利的， 实验表明：截面尺寸改变的 越急剧，应力集中的现象越 明显。因此，在设计时应尽 可能不使杆的截面尺寸发生 突变，避免带尖角的孔和槽， 在阶梯轴和凸肩处要用圆弧 过渡，并且要尽量使圆弧半 径大一些。另外，应力集中 对杆件强度的影响还与材料 有关。
国际上使用的比例系数k的值为5.65。 若k 为5.65的值不能符合这一最小标距要求
时，可以采取较高的值（优先采用11.3值）。
材料在拉伸与压缩时的力学性能
采用圆形试样，换算后
试样按照GB/T2975的要求切取样坯和制 备试样。
r
d
l
r
a b
l
材料在拉伸与压缩时的力学性能
低碳钢为典型的塑性材料。 在应力–应变图中呈现如下四个阶段：
500
200
整个杆件伸长0.015mm。
三、材料在拉伸 (压缩)时的力学性能
材料在拉伸与压缩时的力学性能
材料拉伸时的力学性能 材料的力学性能： 是材料在受力过程中表现出的各种物理性质。
在常温、静载条件下，塑性材料和脆性材 料在拉伸和压缩时的力学性能。 标准试样
试样原始标距与原始横截面面积 l0 k A 关系者,有为比例试样。
混凝土的抗压强度要比抗拉强度大10倍 左右。
材料在拉伸与压缩时的力学性能 安全因数、许用应力、强度条件
安全因数与许用应力
塑性材料，当应力达到屈服极限时，构件已发 生明显的塑性变形，影响其正常工作，称之为 失效，因此把屈服极限作为塑性材料极限应力。
脆性材料，直到断裂也无明显的塑性变 形，断裂是失效的唯一标志，因而把强 度极限作为脆性材料的极限应力。
根据失效的准则，将屈服极限与强度极限通
称为极限应力( u
)
材料在拉伸与压缩时的力学性能
把极限应力除以一个大于1的因数，得到
的应力值称为许用应力( )
u
n 大于1的因数n 称为安全因数。
许用拉应力( t 、许)用压应力用( c )
工程中安全因数n的取值范围，由国家标准
规定，一般不能任意改变。
pm
P A
p lim P dP A0 A dA
一般来说，截面上的内力分布并 不是均匀的，因而，我们将微面 积A趋向于零时的极限值称为K点 的内力集度，即K点的应力p
应力
应力p是一个矢量。通常情况下，它既不与截面垂直，
也不与截面相切。为了研究问题时方便，习惯上常将
它分解为与截面垂直的分量σ和与截面相切的分量τ。 σ称为正应力，τ称为切应力。对于正应力σ规定：
轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律
轴向拉伸（或压缩）时，杆件长度的伸长
（或缩短）量，称为纵向变形，以Δl表示，
Δl=l1-l 拉伸时，Δl＞0；压缩时，Δl＜0
纵向变形与杆件的原始长度有关，不能 反映杆件的变形程度。通常用单位长度上的 变形称为相对变形或线应变，以ε表示，即
l
l
轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律
四、轴向拉压杆件 的强度问题
轴向拉压杆件的强度问题
为了保障构件安全工作，构件内最大工作 应力必须小于许用应力。
max
FN A
max
公式称为拉压杆的强度条件
利用强度条件，可以解决以下三类强度问题：
1、强度校核：在已知拉压杆的形状、尺寸和许 用应力及受力情况下，检验构件能否满足上述 强度条件，以判别构件能否安全工作。
50MPa
(5)、计算杆件内最大应力
max
10 103 200
50MPa
轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律
（6）计算杆件的总变形
l lAB lBC LCD
FNABlAB FNBDlBC FNBDlCD
EAAC
EAAC
EACD
1 ( 20103 100
200 103
500
10103 100 10 103 100) =0.015mm
轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律
轴向拉(压)杆的变形及其计算
杆件在受到轴向拉(压)力作用时，将主要产生沿轴线 方向的伸长(缩短)变形，这种沿纵向的变形称为纵向 变形。同时，与杆轴线相垂直的方向（横向）也随之 产生缩小(增大)的变形，将与杆轴线相垂直方向的变 形称为横向变形。 设直杆原长为l，直径为d。在轴向拉力（或压力）P作 用下，变形后的长度为l1，直径为d1，如图所示。
BD段： FNBD=F2=10kN
轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律
(3)、画出轴力图，如图（c）所示。
(4)、计算各段应力
AB段：
AB
FNAB AAC
20103 500
40MPa
BC段：
Baidu NhomakorabeaC
FNBD AAC
10103 500
20MPa
CD段：
CD
FNBD ACD
10103 200
冷作硬化现象，在强化阶段某一点f处，缓慢卸载，则 试样的应力–应变曲线会沿着fo1回到o1，冷作硬化使材 料的弹性强度提高，而塑性降低。
材料在拉伸与压缩时的力学性能
4、局部变形阶段（de段）
试样变形集中到某一局部区域，由于该区域横 截面的收缩，形成了图示的“颈缩”现象最后 在“颈缩”处被拉断。
材料在拉伸与压缩时的力学性能
杆件在发生纵向变形的同时，也发生了横性变形， 通常把横向尺寸的缩小（或增大）量，称为横向 变形，以Δd表示，即
Δd=d1-d 拉伸时，Δd＜0；压缩时，Δd＞0 对应的单位横向尺寸上的变形称为横向线应
变，以ε′
' d
d
线应变是无量纲 的量，其正负号 规定与杆的纵向 变形相同。
轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律
轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律
轴向拉（压）杆横截面上只有一种应力——正应 力，并且正应力在横截面上是均匀分布的，所以 横截面上的平均应力就是任一点的应力。即拉 （压）杆横截面上正应力的计算公式为
FN
A
max
FN m ax A
对于等截面直 杆，最大正应 力一定发生在 轴力最大的截 面上。
轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律 轴向拉（压）杆斜截面上的应力
工程上常称下屈服强度为材料的屈服极限，用 s 表示
材料屈服时，在光滑 试样表面可以观察到 与轴线成的纹线，称 为45°滑移线。
材料在拉伸与压缩时的力学性能
3、强化阶段（ cd 段）
材料晶格重组后，又增 加了抵抗变形的能力， 要使试件继续伸长就必 须再增加拉，这阶段称 为强化阶段。
曲线最高点d处的应力，称为强度极限( b )
围内，杆的纵向变形量l与杆所受的轴力FN，杆的原 长l成正比，而与杆的横截面积A成反比，即：
l FN l A
引进比例常数E（E称为材料的弹性模量，可
由实验测出）后，得
l FN l EA
轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律
从上式可以推断出：对于长度相同，轴力相同的杆
件，分母EA越大，杆的纵向变形l就越小，可见EA反
映了杆件抵抗拉（压）变形的能力，称为杆件的抗 拉（压）刚度。
若将式的两边同时除以杆件的原长l，并将代入，于
是得
或 E
E
上式是胡克定律的另一表达形式。它表明：在弹 性范围内，正应力与线应变成正比。比例系数即
为材料的弹性模量E。
轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律
工程中常用材料的弹性模量E见表5-1
材料在拉伸与压缩时的力学性能
1、弹性阶段（oa ’段） oa段为直线段，点a对应的应
力称为比例极限，用 p 表示
弹性模量E 和 的关系：
正应力和正应变成线 性正比关系，即遵循 胡克定律
E
材料在拉伸与压缩时的力学性能
2、屈服阶段（bc 段）
曲线过b点，应力变化不大，
应变急剧增大，曲线上出现水 平锯齿形状，材料失去继续抵 抗变形的能力，发生屈服现象
材料名称 低碳钢（Q235） 16锰钢 铸铁 铝合金 混凝土 木材（顺纹） 砖石料 花岗岩
E值（单位GPa） ν值
200~210 200~220 115-160 70-72 15-36 9-12 2.7~3.5 49
0.24~0.28 0.25~0.33 0.23~0.27 0.26~0.33 0.16~0.18
材料在拉伸与压缩时的力学性能
材料压缩时的力学性能
金属材料的压缩试样，一般制成短圆柱形，柱的高度约为 直径的1.5 ~ 3倍，试样的上下平面有平行度和光洁度的 要求非金属材料，如混凝土、石料等通常制成正方形。
低碳钢是塑性材料，压缩时的应力–应变图，如图示。
在屈服以前，压缩时的曲线和拉 伸时的曲线基本重合，屈服以后 随着压力的增大，试样被压成 “鼓形”，最后被压成“薄饼” 而不发生断裂，所以低碳钢压缩 时无强度极限。