推理与证明PPT课件
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高中数学《第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.2演绎推理...》851PPT课件
注：１．演绎推理是由一般到特殊的推理；
２．“三段论”是演绎推理的一般模式.包 括 ⑴大前提---已知的一般原理； ⑵小前提---所研究的特殊情况； ⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出 的判断．
2020/4/9
2.1.2 演绎推理
5
例6.如图;在锐角三角形ABC中,AD⊥BC, BE⊥AC,D,E是 垂足,求证AB的中点M到D,E的距离相等.
（1）大前提……已知的一般原理（2）小前提……所研究的特殊情况 （3）结论……根据一般原理，对特殊情况作出的判断
2020/4/9
2.1.2 演绎推理
9
演绎推理是从一般到特殊，即全体
概括个体，即：肯定(否定)了全体，就肯
定(否定)了个体。
只要前提和推理形式正确，则推理所得结论也是正 确的。
思考：
因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形，…大前提 而菱形是所有边长都相等的凸多边形，…………小前提 所以菱形是正多边形………………………………结 论 （1）上面推理形式正确吗？ （2）推理的结论正确吗？为什么？
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
证明:因为有一个内角是直角的三角形是直角
三角形,
大前提
C ED
在△ABD中,AD⊥BC,即∠ADB=900 小前提
所以△ABD是直角三角形 同理△AEB是直角三角形
结论
A
M
B
因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 大前提
M是Rt△ABD斜边AB的中点,DM是斜边上的中线 小前提
2020/4/9
2.1.2 演绎推理
7
例7:证明函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1）内是增函数.
证: 满成立足的对函于数任意f(xx1),,x是2∈区D,间若Dx上1<的x2,增有函f(数x1.)<f(x2大) 前提
函数的证明与推理课件
函数的证明与推理课件函数的证明与推理在数学领域中，函数的证明与推理是一项重要的技能。
通过证明和推理，我们可以得到对函数性质的深刻理解，并在解决数学问题时做出精确的推断和推理。
本课件将介绍函数的证明与推理的基本概念和方法，帮助读者提升这一方面的技能。
一、函数的定义与特性在开始论述函数的证明与推理之前，我们先来回顾一下函数的基本定义和特性。
函数是一个自变量和因变量之间的映射关系，通常表示为f(x)，其中x为自变量，f(x)为因变量。
函数有着以下几个重要特性：1. 函数的定义域与值域：定义域是指自变量的集合，值域是指函数取值的集合。
在证明和推理中，我们需要确定函数的定义域和值域，确保推导的严谨性。
2. 函数的奇偶性：当函数满足f(-x) = f(x)时，我们称其为偶函数；当函数满足f(-x) = -f(x)时，我们称其为奇函数。
在证明中，奇偶性的性质可用于简化推理过程。
3. 函数的单调性：函数的单调性分为递增和递减两种。
当函数满足f(x1) ≤ f(x2)时，称其为递增函数；当函数满足f(x1) ≥ f(x2)时，称其为递减函数。
单调性在证明中常常用于确定函数的极值点和临界点。
二、函数的证明方法1. 直接证明法：直接证明法是一种常用的证明方法，通过列出已知条件和证明结论，逐步演绎证明的正确性。
在函数的证明中，我们需要清晰地列出假设条件、使用数学定理和性质，并逐步推导出目标结论。
2. 反证法：反证法是一种常用的证明方法，通过假设结论不成立，推导出矛盾的结果，从而证明原始结论的正确性。
在函数的证明中，我们可以运用反证法来证明函数的特定性质，如存在唯一性等。
3. 数学归纳法：数学归纳法是一种常用的证明方法，用于证明满足自然数集上的性质。
在函数的证明中，数学归纳法可以用于证明递推关系、等式等。
三、函数的推理方法1. 等式推理：等式推理是函数推理中最基本的方法，通过运用等式的性质，将一个等式变换为另一个等式，以推导出目标结果。
高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法课件1 b选修22b高二选修22数学课件
2.2 直接证明与间接(jiàn 证明 jiē)
2.2.2 反 证 法
第一页，共十二页。
复习
(fùxí)
1.直接证明(zhí jiē zhènɡ mínɡ)的两种基 本证法：
综合法和分析法
2.这两种基本(jīběn)证法的推证过程和特点：
综合法 已知条件 结论 由因导果
分析法 结论 已知条件 执果索因
````````得出矛盾；
存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而 肯定原结论成立。
用反证法证明命题的过程用框图表示为：
肯定条件 否定结论
导致
反设
逻辑矛盾
不成立
第五页，共十二页。
结论 成立
例1 求证 ： 2 (qiúzhèng) 是无理数。
第六页，共十二页。
例2证明 ： (zhèngmíng)
1, ,2不能为同一等差数列的三项。
3、在实际解题时，两种方法如何运用？
通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程
第二页，共十二页。
思考？
（1）如果有5只鸽子(gē zi)飞进两只鸽笼，至少有3只
鸽子在同一只鸽笼，对吗？
（2）A、B、C三个人，A说B撒谎(sā huǎng)，B说C撒谎，C 说A、B都撒谎。则C在撒谎吗？为什么？
分析:假设(jiǎshè)C没有撒谎, 则A、B都撒谎. 由A撒谎, 知B没有撒谎. 这与B撒谎矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立,
结论不成立）经，过正确的推理，
方成法立叫，做反证
法。
三个步骤(bùzhòu)：反设—归谬—存真
归缪矛盾(máodùn)： （1）与已知条件矛盾； （2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾。
第十页，共十二页。
2.2.2 反 证 法
第一页，共十二页。
复习
(fùxí)
1.直接证明(zhí jiē zhènɡ mínɡ)的两种基 本证法：
综合法和分析法
2.这两种基本(jīběn)证法的推证过程和特点：
综合法 已知条件 结论 由因导果
分析法 结论 已知条件 执果索因
````````得出矛盾；
存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而 肯定原结论成立。
用反证法证明命题的过程用框图表示为：
肯定条件 否定结论
导致
反设
逻辑矛盾
不成立
第五页，共十二页。
结论 成立
例1 求证 ： 2 (qiúzhèng) 是无理数。
第六页，共十二页。
例2证明 ： (zhèngmíng)
1, ,2不能为同一等差数列的三项。
3、在实际解题时，两种方法如何运用？
通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程
第二页，共十二页。
思考？
（1）如果有5只鸽子(gē zi)飞进两只鸽笼，至少有3只
鸽子在同一只鸽笼，对吗？
（2）A、B、C三个人，A说B撒谎(sā huǎng)，B说C撒谎，C 说A、B都撒谎。则C在撒谎吗？为什么？
分析:假设(jiǎshè)C没有撒谎, 则A、B都撒谎. 由A撒谎, 知B没有撒谎. 这与B撒谎矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立,
结论不成立）经，过正确的推理，
方成法立叫，做反证
法。
三个步骤(bùzhòu)：反设—归谬—存真
归缪矛盾(máodùn)： （1）与已知条件矛盾； （2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾。
第十页，共十二页。
推理与证明课件
一、合情推理
归纳推理 （1） 组、祖、阻、诅 ） （2） ） 地球 围绕太阳运行 绕轴自转 有大气层 有季节更替 地球上有生命 爼 火星 围绕太阳运行 绕轴自转 有大气层 有季节更替 火星上有生命 类 比 推 理
合 情 推 理
归纳推理: 归纳推理 由某些事物的部分对象具有某些特征， 由某些事物的部分对象具有某些特征，推出 该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理。 的推理。 类比推理： 类比推理： 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的 类对象 具有这些特征 某些已知特征， 某些已知特征，推出 的推理； 的推理； 注：合情推理的推理结果不一定正确。 合情推理的推理结果不一定正确。 如：组、祖、阻、诅 咀
通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题： 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题： 3 2 2 o 2 o sin α + sin (α + 60 ) + sin (α + 120 ) = 并证明 2 变式训练1： 变式训练 ： tan 5° • tan10° + tan 5° • tan 75° + tan10° • tan 75° = 1
1 (3) 三角形的面积为S = (a + b + c)r,r为三角形内切圆半径 为三角形内切圆半径 2
请类比出四面体的有关性质？ 请类比出四面体的有关性质？
二、演绎推理
（1）所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜 ）所有的金属都能导电，铜是金属， （2）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王 ）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行， 星是太阳系的大行星， 星是太阳系的大行星，因此 演绎推理：从一般性的原理出发， 演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况 的结论的推理
归纳推理 （1） 组、祖、阻、诅 ） （2） ） 地球 围绕太阳运行 绕轴自转 有大气层 有季节更替 地球上有生命 爼 火星 围绕太阳运行 绕轴自转 有大气层 有季节更替 火星上有生命 类 比 推 理
合 情 推 理
归纳推理: 归纳推理 由某些事物的部分对象具有某些特征， 由某些事物的部分对象具有某些特征，推出 该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理。 的推理。 类比推理： 类比推理： 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的 类对象 具有这些特征 某些已知特征， 某些已知特征，推出 的推理； 的推理； 注：合情推理的推理结果不一定正确。 合情推理的推理结果不一定正确。 如：组、祖、阻、诅 咀
通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题： 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题： 3 2 2 o 2 o sin α + sin (α + 60 ) + sin (α + 120 ) = 并证明 2 变式训练1： 变式训练 ： tan 5° • tan10° + tan 5° • tan 75° + tan10° • tan 75° = 1
1 (3) 三角形的面积为S = (a + b + c)r,r为三角形内切圆半径 为三角形内切圆半径 2
请类比出四面体的有关性质？ 请类比出四面体的有关性质？
二、演绎推理
（1）所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜 ）所有的金属都能导电，铜是金属， （2）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王 ）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行， 星是太阳系的大行星， 星是太阳系的大行星，因此 演绎推理：从一般性的原理出发， 演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况 的结论的推理
高中数学《第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.2演绎推理...》843PPT课件
满足对于任意x1,x2∈D,若x1<x2,有f(x1)<f(x2) 成立的函数f(x),是区间D上的增函数.
大前提
任取x1,x2 ∈(-∞,1） 且x1<x2 ,
f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1)-(x22+2x2)
=(x2-x1)(x1+x2-2) 因为x1<x2所以 x2-x1>0
小前提
3、结论--------- 根据一般原理，对特殊情况做 出的判断
例如，刚才的例子中
1.所有的金属都能导电, 因为铜是金属, 所以铜能够导电.
2.一切奇数都不能被2整除, 因为(2100+1)是奇数, 所以(2100+1)不能被2整除.
3.三角函数都是周期函数,
因为tan 三角函数, 所以 tan 是周期函数
1.所有的金属都能导电, 因为铜是金属, 所以铜能够导电.
一般性的原理 特殊情况 结论
大前提 小前提 结论
2.一切奇数都不能被2整除, 一般性的原理
因为2007是奇数,
特殊情况
所以2007不能被2整除. 结论
二、演绎推理的“三段论”
“三段论”是演绎推理的一般形式，包括： 1、大前提------ 已知的一般性原理； 2、小前提------ 所研究的特殊情况；
4、演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重
要思维过程．但数学结论、证明思路等的发
现，主要靠合情推理．因此，我们不仅要学会 证明，也要学会猜想．
演绎推理
把“函数y x2 x 1的图象是一条抛物线” 恢复成三段论。
解：二次函数的图象是一条抛物线
函数y x2 x 1是二次函数
（大前提）
（小前提）
命题逻辑的推理理论,证明方法演示课件
(2) P 1 (P2 P 1) (3) (P 1 P2) (P 1 P 1)
L1 MP规L2则
L1 (1)、(2)，MP L1 (3)、(4)，MP
38
例10 证明 ├L AA
[证] (1) (A((AA)A))((A(AA))(AA))
(2) A((AA)A) (3) (A(AA))(AA) (4) A(AA) (5) AA
• 课堂实训
应用实例1 分析下列事实“如果我有很高的收 入，那么我就能资助许多贫困学生；如果我能资 助许多贫困学生，那么我很高兴；但我不高兴， 所以我没有很高的收入。”试指明前提和结论， 并给予证明。
33
应用实例2 将下列条件作为前提，验证所得结论是 否有效：
(a) 明天或是天晴，或是下雨； (b) 如果是天晴，我去公园； (c) 如果我去公园，我就不看书。 结论：如果我在看书，则天下雨。
39
3、演绎定理
例11 证明 A ,B (A C )├L (BC)
[证] (1) B (A C)
假设
(2) (B (A C)) ((B A) (B C)) L2
(3) (B A) (B C)
(1)、(2)，MP
(4) A (B A) (5) A (6) (B A) (7) (B C)
30
例8 构造下面推理的证明
前提: (pq)r, rs, s, p ；结论: q
证明：用归缪法
①q
结论否定引入
② rs
前提引入
③ s
前提引入
④ r
②③拒取式
⑤ (pq)r
前提引入
⑥ (pq)
④⑤析取三段论
⑦ pq
⑥置换
⑧ p
①⑦析取三段论
《逻辑和证明》PPT课件
解 ：有许多方法翻译这个句子为逻辑表达式。尽管可以 用一个命题变量，如q来表示这一句子，但在分析其含义或 用其作推理时，这种表示不会有什么作用。
我们的办法是用命题变量表示其中的每一个句子成分， 并找出期间合适的逻辑联结词。具体的说，令a，c和f分别 表示“你可以从校园内访问因特网”、“你主修计算机科学” 和“你是个新生”。注意到“只有……才”是表达蕴含的一 种方式，上述句子可以译为：
7
❖例 太阳从西方升起，则2+2=4。 ❖联结词（运算符）的优先级：，，，，
减少所需的括号数目
❖例 p q s ❖命题符号化是命题演算的基础，符号化过程：
找出命题中的原子命题，分别用小写英文字母表示它 们 将原子命题用适当的联结词联结起来
a
8
❖ 例8 怎样把下面的句子翻译成逻辑表达式？ “只有你主修计算机科学或不是新生，才可以从校园内访问 因特网。”
(5)定义6 双蕴涵（等价）联结词 ， p q ：p与q的等价
a
6
❖ 真值表：给出命题真值之间的关系
❖ 含有n(n>0)个命题变量的命题公式的真值表有2n行
❖ 在数理逻辑中，组成一个复合命题的原子命题在语义可以没 有任何联系 数理逻辑关心复合命题的结构，其真值由组成它的原子命题 的真值唯一确定
பைடு நூலகம்
a
假命题 真命题 真命题 不是命题 不是命题 不是命题 不是命题 不是命题 假命题 不是命题
a
3
❖命命题题（符p、号q化、：r、用s字）母来表示命题，常用小写字母表示原子
❖比较：代数中用字母表示变量
❖例 p：2+4=8 q：水是液体
❖命题的真值：命题的真假性
真命题的真值为真，表示为T 假命题的真值为假，表示为F 比较：命题变量的真值与代数变量的值
我们的办法是用命题变量表示其中的每一个句子成分， 并找出期间合适的逻辑联结词。具体的说，令a，c和f分别 表示“你可以从校园内访问因特网”、“你主修计算机科学” 和“你是个新生”。注意到“只有……才”是表达蕴含的一 种方式，上述句子可以译为：
7
❖例 太阳从西方升起，则2+2=4。 ❖联结词（运算符）的优先级：，，，，
减少所需的括号数目
❖例 p q s ❖命题符号化是命题演算的基础，符号化过程：
找出命题中的原子命题，分别用小写英文字母表示它 们 将原子命题用适当的联结词联结起来
a
8
❖ 例8 怎样把下面的句子翻译成逻辑表达式？ “只有你主修计算机科学或不是新生，才可以从校园内访问 因特网。”
(5)定义6 双蕴涵（等价）联结词 ， p q ：p与q的等价
a
6
❖ 真值表：给出命题真值之间的关系
❖ 含有n(n>0)个命题变量的命题公式的真值表有2n行
❖ 在数理逻辑中，组成一个复合命题的原子命题在语义可以没 有任何联系 数理逻辑关心复合命题的结构，其真值由组成它的原子命题 的真值唯一确定
பைடு நூலகம்
a
假命题 真命题 真命题 不是命题 不是命题 不是命题 不是命题 不是命题 假命题 不是命题
a
3
❖命命题题（符p、号q化、：r、用s字）母来表示命题，常用小写字母表示原子
❖比较：代数中用字母表示变量
❖例 p：2+4=8 q：水是液体
❖命题的真值：命题的真假性
真命题的真值为真，表示为T 假命题的真值为假，表示为F 比较：命题变量的真值与代数变量的值
选修2-2推理与证明优质课件：演绎推理
演绎推理在代数中的应用
[典例] x－2 已知函数 f(x)＝a ＋ (a＞1)，求证：函数 f(x)在 x＋1
x
(－1，＋∞)上为增函数．
[证明]
对于任意 x1，x2∈(－1，＋∞)，且 x1＜x2，若 f(x1)
＜f(x2)，则 y＝f(x)在(－1，＋∞)上是增函数．(大前提) 设 x1，x2∈(－1，＋∞)，且 x1＜x2，
小前提：零向量是向量． 结论：零向量也有大小和方向
(2)大前提：所有的循环小数都是有理数． 小前提：0.332是循环小数． 结论：0.332是有理数． (3)大前提：三角函数是周期函数． 小前提：y＝sin x(x∈R)是三角函数． 结论：y＝sin x(x∈R)是周期函数．
· ·
用三段论写推理过程的技巧 (1)关键：用三段论写推理过程时，关键是明确大、小 前提，三段论中大前提提供了一个一般原理，小前提提供 了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与 特殊情况的内在联系． (2)何时省略：有时可省略小前提，有时甚至也可将大 前提、小前提都省略． (3)如何寻找：在寻找大前提时可找一个使结论成立的 充分条件作大前提．
①大前提：M是P；
②小前提：S是M； ③结论：S是P
【常考题型】
把演绎推理写成三段论的形式
[典例] 将下列推理写成“三段论”的形式：
(1)向量是既有大小又有方向的量， 故零向量也有大小和方向； (2)0.332是有理数； (3)y＝sin x(x∈R)是周期函数．
·
[解]
(1)大前提：向量是既有大小又有方向的量．
演绎推理
【知识梳理】
1．演绎推理 (1)概念：从一般性的 原理 出发，推出某个特殊情况 下的 结论 ，我们把这种推理称为演绎推理． (2)特点：演绎推理是从 一般 到 特殊 的推理． (3)模式：三段论．
高考数学：专题三 第三讲 推理与证明课件
本 讲 栏 目 开 关
191,202，„，999.则 (1)4 位回文数有________个； (2)2n＋1(n∈N＋)位回文数有________个.
解析 (1)4 位回文数有： 1001,1111,1221，„，1991,10 个 2001,2112,2222，„，2992,10 个 „„ 9009,9119,9229，„，9999,10 个 共 90 个.
－ －
∴{an}的通项公式为 an＝4· (－1)n－1－n (n∈N*).
题型与方法
(3)解 ∵{an}的通项公式为
n n
－
第三讲
an＝4· (－1)n－1－n (n∈N*)，
本 讲 栏 目 开 关
所以 Sn＝∑ ak＝∑ [4· (－1)k 1－k] k＝1 k＝1
＝∑ [4· (－1) k＝1
代入 an－1＝an(an＋1－1)得 bn＝(bn＋1)bn＋1.
Байду номын сангаас
整理得 bn－bn＋1＝bnbn＋1，
由题意知，bn≠0，(否则 an＝1，与 a1＝2 矛盾) 1 1 从而得 － ＝1， bn＋1 bn
∵b1＝a1－1＝1，
本 讲 栏 目 开 关
题型与方法 1 ∴数列{b }是首项为 1，公差为 1 的等差数列. n 1 1 ∴b ＝n，即 bn＝n. n 1 1 1 (2)证明 ∵Sn＝1＋ ＋ ＋„＋ ， 2 3 n
本 讲 栏 目 开 关
n∈N*， C4n＋11＋C4n＋15＋C4n＋19＋„＋C4n＋14n 1＝____________.
解析 这是一种需类比推理方法破解的问题， 结论由两项构成， 第二项前有(－1)n，两项指数分别为 4n－1，2n－1，
191,202，„，999.则 (1)4 位回文数有________个； (2)2n＋1(n∈N＋)位回文数有________个.
解析 (1)4 位回文数有： 1001,1111,1221，„，1991,10 个 2001,2112,2222，„，2992,10 个 „„ 9009,9119,9229，„，9999,10 个 共 90 个.
－ －
∴{an}的通项公式为 an＝4· (－1)n－1－n (n∈N*).
题型与方法
(3)解 ∵{an}的通项公式为
n n
－
第三讲
an＝4· (－1)n－1－n (n∈N*)，
本 讲 栏 目 开 关
所以 Sn＝∑ ak＝∑ [4· (－1)k 1－k] k＝1 k＝1
＝∑ [4· (－1) k＝1
代入 an－1＝an(an＋1－1)得 bn＝(bn＋1)bn＋1.
Байду номын сангаас
整理得 bn－bn＋1＝bnbn＋1，
由题意知，bn≠0，(否则 an＝1，与 a1＝2 矛盾) 1 1 从而得 － ＝1， bn＋1 bn
∵b1＝a1－1＝1，
本 讲 栏 目 开 关
题型与方法 1 ∴数列{b }是首项为 1，公差为 1 的等差数列. n 1 1 ∴b ＝n，即 bn＝n. n 1 1 1 (2)证明 ∵Sn＝1＋ ＋ ＋„＋ ， 2 3 n
本 讲 栏 目 开 关
n∈N*， C4n＋11＋C4n＋15＋C4n＋19＋„＋C4n＋14n 1＝____________.
解析 这是一种需类比推理方法破解的问题， 结论由两项构成， 第二项前有(－1)n，两项指数分别为 4n－1，2n－1，
高中数学选修2第二章小结(推理与证明)课件
1- 22 2 (n N *) 的值. 2. 猜想 11
2n个 n个
解 : 当 n= 1 时 , 当 n= 2 时 , 当 n= 3 时 , 猜想89 =33, 111111 - 222 = 110889 =333.
4. 演绎推理
从一般性原理出发, 推出某个特殊情况下 的结论, 这样的推理叫演绎推理. 三段论是演绎推理的一般模式, 包括: (1) 大前提 — 已知的一般原理; (2) 小前提 — 所研究的特殊情况;
(3) 结论 — 根据一般原理, 对特殊情况做出 判断.
5. 三段论 大前提：某类事物都有某特征, M 是 P.
2.1 合情推理与演绎推理 2.2 直接证明与间接证明 2.3 数学归纳法 第二章 小结
本章小结
知识要点 例题选讲
复习参考题 自我检测题
1. 归纳推理
由某事物的部分对象具有某些特征, 推出该 类事物的全部对象都具有这些特征的推理, 或者 由个别事实概括出一般结论的推理, 即由部分到 整体, 由个别到一般.
例2. 观察下列各式: 55=3125, 56=15625, 57=78125, … 则 52013的末四位数字为 ( A ) (A) 3125 (B) 5625 (C) 0625 (D) 8125 分析: 56 与 55 的末四位之差为 5625-3125=2500, 57 与 56 的末四位之差为 8125-5625=2500. 猜测: 5n+1 比 5n 末四位多 2500. 而 4 个2500 等于 10000,
例6. 在数列 {an}, {bn} 中, a1=2, b1=4, 且 an, bn, an+1 成等差数列, bn, an+1, bn+1 成等比数列 (nN*). 求 a2, a3, a4 及 b2, b3, b4. 由此猜测 {an}, {bn} 的通项 公式, 并证明你的结论. 求证: an=n2+n, bn=(n+1)2. 证明: 数学归纳法, 2+1=2, 2=4, 2+ 2+(k ① 当a n = 1 时 , a = 1 b = (1 + 1) 解得 = k 3 k + 2 = ( k + 1) + 1). 1 1 k+1 2 =[ 结果与已知相符 , 2) 即 n( = 时+猜测成立 . bk+1=(k+ k1 +1) 1]2. 2+k, b =(k+1)2 成立, ② 假设当 n = k 时 , a = k k k 即 n=k+1 时猜测也成立 . 由已知得 根据①②两步可知 nN*时, an=n2+n, bn=(n+1)2 2=k2+k+a 2( k + 1) , 2 b = a + a , 都成立. k + 1 k k k+1 ( 推证 a , b 时 , 思路源于 k + 1 k + 1 ak+12=(k+1)2bk+1. ak+12=bkbk+1.. ∴猜测是正确的 求 a2, b2 时解方程组的思想)
高中数学 模块复习课 第2课时 推理与证明课件 a选修12a高二选修12数学课件
kǎo)体验
专题二
演绎推理(yǎn yì tuī lǐ)及其应用
【例 2】已知函数
1 2
f(x)= x +aln
2
x(a∈R).
(1)若 f(x)在[1,e]上是增函数,求 a 的取值范围;
2
3
(2)若 a=1,1≤x≤e,求证:f(x)< x3.
12/8/2021
第十一页，共三十六页。
专题整合
专题
2
2Байду номын сангаас
2
12/8/2021
第十八页，共三十六页。
C+ccos A)
专题整合
专题
(zhuāntí)归
纳
高考(ɡāo
kǎo)体验
专题四 反证法及其应用
【例4】 已知直线ax-y=1与曲线x2-2y2=1相交于P,Q两点,证明不存在实
数(shìshù)a,使得以PQ为直径的圆恰好经过坐标原点O.
证明:假设存在实数 a,使得以 PQ 为直径的圆经过坐标原点 O,
(2)分析法是从待证的结论出发,一步一步地寻找结论成立的充分条件,最
后达到题设的已知条件或已被证明的事实.
12/8/2021
第四页，共三十六页。
自主梳理
知识(zhī
网络
shi)
要点
(yàodiǎn)
梳理
思考(sīkǎo)
辨析
4.反证法
(1)反证法是一种间接证明的方法.
(2)反证法中,必须首先否定结论,即肯定结论的反面,当结论的反面呈现多样
|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为 (
A.76
B.80
)
C.86 D.92
专题二
演绎推理(yǎn yì tuī lǐ)及其应用
【例 2】已知函数
1 2
f(x)= x +aln
2
x(a∈R).
(1)若 f(x)在[1,e]上是增函数,求 a 的取值范围;
2
3
(2)若 a=1,1≤x≤e,求证:f(x)< x3.
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2
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C+ccos A)
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纳
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专题四 反证法及其应用
【例4】 已知直线ax-y=1与曲线x2-2y2=1相交于P,Q两点,证明不存在实
数(shìshù)a,使得以PQ为直径的圆恰好经过坐标原点O.
证明:假设存在实数 a,使得以 PQ 为直径的圆经过坐标原点 O,
(2)分析法是从待证的结论出发,一步一步地寻找结论成立的充分条件,最
后达到题设的已知条件或已被证明的事实.
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知识(zhī
网络
shi)
要点
(yàodiǎn)
梳理
思考(sīkǎo)
辨析
4.反证法
(1)反证法是一种间接证明的方法.
(2)反证法中,必须首先否定结论,即肯定结论的反面,当结论的反面呈现多样
|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为 (
A.76
B.80
)
C.86 D.92
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答案 ①7
②2n－1
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专题三 第3讲
考点二 类比推理
例 2 (1)在平面几何中有如下结论：若正三角形 ABC 的内切
圆面积为 S1，外接圆面积为 S2，则SS12＝14.推广到空间几何可
以得到类似结论：若正四面体 ABCD 的内切球体积为 V1，
本 讲
外接球体积为 V2，则VV12＝________.
目 a．每次只能移动一个金属片；
开
关 b．在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小 的金属片上面．将 n 个金属片从 1 号针移到 3 号针最少需要移 动的次数记为 f(n)． 则①f(3)＝________；②f(n)＝________.
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专题三 第3讲
解析 ①f(1)＝1，f(2)＝3，f(3)＝2f(2)＋1＝7.
三角形数
N(n,3)＝12n2＋12n，
正方形数 五边形数
N(n,4)＝n2， N(n,5)＝32n2－12n，
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专题三 第3讲
六边形数
N(n,6)＝2n2－n
………………………………………
可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝_1__0_0_0_.
本 讲
解析
由 N(n,4)＝n2，N(n,6)＝2n2－n，…，可以推测：
本
讲 栏
得 a3＝2，a4＝2，a5＝4，a6＝8，a7＝2，a8＝6，…，
目
开 关
据此周期为 6，
又 2 014＝6×335＋4，
所以 a2 014＝a4＝2.
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专题三 第3讲
(2)如图所示：有三根针和套在一根针上的 n 个金属片，按下 列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．
本 讲 栏
栏
目 开 关
当 k 为偶数时，N(n，k)＝k－2 2n2＋4－2 kn，
∴N(10,24)＝24－ 2 2×100＋4－224×10
＝1 100－100＝1 000.
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专题三 第3讲
归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别事物发
本 现某些相同的性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表
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专题三 第3讲
考点一 归纳推理
例1 (2013·湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种
本 讲
多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为
栏 目 开
nn＋1 2
＝
1 2
n2＋
1 2
n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以
关 下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
开
关 用 Q 表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为
得到一个明显 Q⇐P1 → P1⇐P2 → P2⇐P3 →…→ 成立的条件
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专题三 第3讲
4．间接证明
反 证 法的 证明 过 程可以 概 括为 “否 定 ——推 理 ——否
定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛
本 讲
盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．用反证法
考查.
2．归纳推理和类比推理等主要是和数列、不等式等内容联合考
查，多以填空题的形式出现，难度中等；而考查证明问题的
知识面广，涉及知识点多，题目难度较大，主要考查逻辑推
理能力、归纳能力和综合能力，难度较大．
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专题三 第3讲
1．合情推理
(1)归纳推理
本 讲
①归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．
专题三 第3讲
第 3 讲 推理与证明
【高考考情解读】
1．高考主要考查对合情推理和演绎推理的理解及应用；直接证
明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，
本 讲
常与函数、数列、不等式、解析几何等综合命题．数学归纳
栏 目
法是证明与正整数有关的数学命题的正确性的一种严格的推
开 关
理方法．考查“归纳—猜想—证明”的模式，常与数列结合
栏 目
证明命题“若 p 则 q”的过程可以用如图所示的框图表示．
开
关
主干知识梳理
专题三 第3讲
5．数学归纳法
数学归纳法证明的步骤
本 讲
(1)证明当 n 取第一个值 n0(n0∈N*)时结论成立．
栏 目
(2)假设 n＝k(k∈N*，且 k≥n0)时结论成立，证明 n＝k＋1
开 时结论也成立．
关
由(1)(2)可知，对任意的 n－1 个金属片移到 2 号针，
需要 f(n－1)次，然后把最下面的一个金属片移到 3 号针，
本 讲
需要 1 次，再把 2 号针上的 n－1 个金属片移到 3 号针，
栏 目
需要 f(n－1)次，所以 f(n)＝2f(n－1)＋1，
开
关 得 f(n)＋1＝2[f(n－1)＋1]，
故数列{f(n)＋1}是以 2 为首项，公比为 2 的等比数列， 所以 f(n)＋1＝2n，于是 f(n)＝2n－1.
栏 目 开 关
(2)椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如 下命题：AB 是椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的不平行于对称轴且
栏 目
②归纳推理的思维过程如下：
开 关
实验、观察 → 概括、推广 → 猜测一般性结论
(2)类比推理
①类比推理是由特殊到特殊的推理
②类比推理的思维过程如下：
观察、比较 → 联想、类推 → 猜测新的结论
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专题三 第3讲
2．演绎推理
(1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般性原理．
讲 栏
述的一般性命题．并且在一般情况下，如果归纳的个别事物越
目 开
多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠．
关
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专题三 第3讲
(1)在数列{an}中，若 a1＝2，a2＝6，且当 n∈N*时， an＋2 是 an·an＋1 的个位数字，则 a2 014＝____2____.
解析 由a1＝2，a2＝6，
②小前提——所研究的特殊情况．
本
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
讲 栏
(2)合情推理与演绎推理的区别
目 开
归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是
关
由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊
的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得
的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证
明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提
下，得到的结论一定正确．
主干知识梳理
专题三 第3讲
3．直接证明
(1)综合法
用 P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示
所要证明的结论，则综合法可用框图表示为
本 讲
P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →…→ Qn⇒Q
栏
目 (2)分析法