推理与证明PPT课件

②先把上面的 n－1 个金属片移到 2 号针，
需要 f(n－1)次，然后把最下面的一个金属片移到 3 号针，
本 讲
需要 1 次，再把 2 号针上的 n－1 个金属片移到 3 号针，
栏 目
需要 f(n－1)次，所以 f(n)＝2f(n－1)＋1，
开
关 得 f(n)＋1＝2[f(n－1)＋1]，
故数列{f(n)＋1}是以 2 为首项，公比为 2 的等比数列， 所以 f(n)＋1＝2n，于是 f(n)＝2n－1.
栏
目 开 关
当 k 为偶数时，N(n，k)＝k－2 2n2＋4－2 kn，
∴N(10,24)＝24－ 2 2×100＋4－224×10
＝1 100－100＝1 000.
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专题三 第3讲
归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别事物发
本 现某些相同的性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表
②小前提——所研究的特殊情况．
本
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
讲 栏
(2)合情推理与演绎推理的区别
目 开
归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是
关
由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊
的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得
的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证
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专题三 第3讲
考点一 归纳推理
例1 (2013·湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种
本 讲
多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为
栏 目 开
nn＋1 2
＝
1 2
n2＋
1 2
n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以
关 下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
专题三 第3讲
第 3 讲 推理与证明
【高考考情解读】
1．高考主要考查对合情推理和演绎推理的理解及应用；直接证
明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，
本 讲
常与函数、数列、不等式、解析几何等综合命题．数学归纳
栏 目
法是证明与正整数有关的数学命题的正确性的一种严格的推
开 关
理方法．考查“归纳—猜想—证明”的模式，常与数列结合
栏 目
②归纳推理的思维过程如下：
开 关
实验、观察 → 概括、推广 → 猜测一般性结论
(2)类比推理
①类比推理是由特殊到特殊的推理
②类比推理的思维过程如下：
观察、比较 → 联想、类推 → 猜测新的结论
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专题三 第3讲
2．演绎推理
(1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般性原理．
栏 目
证明命题“若 p 则 q”的过程可以用如图所示的框图表示．
开
关
主干知识梳理
专题三 第3讲
5．数学归纳法
数学归纳法证明的步骤
本 讲
(1)证明当 n 取第一个值 n0(n0∈N*)时结论成立．
栏 目
(2)假设 n＝k(k∈N*，且 k≥n0)时结论成立，证明 n＝k＋1
开 时结论也成立．
关
由(1)(2)可知，对任意 n≥n0，且 n∈N*时，结论都成立.
本
讲 栏
得 a3＝2，a4＝2，a5＝4，a6＝8，a7＝2，a8＝6，…，
目
开 关
据此周期为 6，
又 2 014＝6×335＋4，
所以 a2 014＝a4＝2.
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专题三 第3讲
(2)如图所示：有三根针和套在一根针上的 n 个金属片，按下 列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．
本 讲 栏
考查.
2．归纳推理和类比推理等主要是和数列、不等式等内容联合考
查，多以填空题的形式出现，难度中等；而考查证明问题的
知识面广，涉及知识点多，题目难度较大，主要考查逻辑推
理能力、归纳能力和综合能力，难度较大．
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专题三 第3讲
1．合情推理
(1)归纳推理
本 讲
①归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．
讲 栏
述的一般性命题．并且在一般情况下，如果归纳的个别事物越
目 开
多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠．
关
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专题三 第3讲
(1)在数列{an}中，若 a1＝2，a2＝6，且当 n∈N*时， an＋2 是 an·an＋1 的个位数字，则 a2 014＝____2____.
解析 由a1＝2，a2＝6，
栏 目 开 关
(2)椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如 下命题：AB 是椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的不平行于对称轴且
答案 ①7
②2n－1
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专题三 第3讲
考点二 类比推理
例 2 (1)在平面几何中有如下结论：若正三角形 ABC 的内切
圆面积为 S1，外接圆面积为 S2，则SS12＝14.推广到空间几何可
以得到类似结论：若正四面体 ABCD 的内切球体积为 V1，
本 讲
外接球体积为 V2，则VV12＝________.
开
关 用 Q 表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为
得到一个明显 Q⇐P1 → P1⇐P2 → P2⇐P3 →…→ 成立的条件
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专题三 第3讲
4．间接证明
反 证 法的 证明 过 程可以 概 括为 “否 定 ——推 理 ——否
定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛
本 讲
盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．用反证法
明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提
下，得到的结论一定正确．
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专题三 第3讲
3．直接证明
(1)综合法
用 P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示
所要证明的结论，则综合法可用框图表示为
本 讲
P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →…→ Qn⇒Q
栏
目 (2)分析法
目 a．每次只能移动一个金属片；
开
关 b．在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小 的金属片上面．将 n 个金属片从 1 号针移到 3 号针最少需要移 动的次数记为 f(n)． 则①f(3)＝________；②f(n)＝________.
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专Байду номын сангаас三 第3讲
解析 ①f(1)＝1，f(2)＝3，f(3)＝2f(2)＋1＝7.
三角形数
N(n,3)＝12n2＋12n，
正方形数 五边形数
N(n,4)＝n2， N(n,5)＝32n2－12n，
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专题三 第3讲
六边形数
N(n,6)＝2n2－n
………………………………………
可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝_1__0_0_0_.
本 讲
解析
由 N(n,4)＝n2，N(n,6)＝2n2－n，…，可以推测：