常见截面的几何性质

A
Iy
z 2 dA;
A
矩形截面： Iz
bh3 12
;
Iy
hb3 12
;
圆形截面：I y
Iz
D 4
64
;
几何关系：
IP
2dA
A
(y2
A
z2 )dA
IZ
Iy.
四、惯性积：
Izy
z y dA;
A
五、平行移轴公式：
I z1 z a2 A; y1 y b2 A;
I z1y1 I zy abA;
附录Ⅰ 截面的几何性质
第一节 • 静矩和形心 第二•节 惯性矩和惯性积
第三• 节 •
惯性矩和惯性积的 平行移轴和转轴公式
第• 四节 主惯性轴和主惯性矩
• 第五节 组合截面惯性矩的计算
•
小结
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附录Ⅰ 截面的几何性质
• 第一节 静矩和形心
一、静矩(面积矩）定义： 微面积dA对 z轴和y轴的静矩分别为 y dA 和 z dA
A
I z1
Iz
Iy 2
Iz
Iy 2
cos 2
I zy
sin 2;
I y1
Iz
2
Iy
Iz
2
Iy
cos 2
I zy
sin 2;
I z1y1
Iz
Iy 2
sin 2
I zy
cos 2;
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第四节 主惯性轴和主惯性矩：
主惯性轴（主轴）—使截面对zo、yo轴的惯性积 I zoyo 0 的这对 正交坐标轴；
解：取yoz坐标系。取微面积dA=bdy,则：
Iz
y2dA
A
h/2
y2bdy
bh3 ;
h / 2
12
取微面积dA=hdz,则：
I y
z2dA
A
b/2 z2hdz hb3 ;
b / 2
12
取微面积dA=dzdy，则：I zy 0;
例5-3 圆形截面对其形心轴的惯性矩。
解：取yoz坐标系。取微面积dA=2zdy,则：
y若c 分A解1Ay11为１AA22、y2 ２ 、0.0３72三0.02个7.426矩形00.4.，488则1.2 1.36m;
y'c
0.6 2.52 (1.26 1.2) 0.6 2.52 2 0.2 2.4
0.16m;
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第二节 惯性矩和惯性积
一、极惯性矩：
定义：平面图形中任一微面积dA与它到坐 标原点Ｏ的距离ρ平方的乘积ρ2dA,称为该面积 dA对于坐标原点o的极惯性矩。
4. 惯性积：图形面积相对于指定的一对正交坐标轴之间分布的 集中或分散程度。
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z1 y1dA (y a)2 dA A
y2dA 2a ydA a2 dA
I z1 z a2 A; y1 y b2 A;
I z1y1 I zy abA;
注意：y、z轴必须是形心轴。
二、转轴公式：
Iz1
A y12dA
( y cos z sin)2 dA;
n
S y Ai zci; i 1
n
四、组合截面形心公式：
Ai yci
yc
i 1 n
;
Ai
i 1
例5-1 求图示T形截面形心位置。
n
Ai zci
zc
i 1 n
;
Ai
i 1
解：取参考坐标轴y、z,由对称图形,zc=0。 分解图形为１、２两个矩形，则
A1 0.072 m2 , y1 2.46m; A2 0.48m2 , y2 1.2m;
Sy
z
A
dA
A
zc ;
当Sz=0或Sy=0时，必有yc=0或zc=0，可知截面对某轴的
静矩为零时，该轴必通过截面形心；反之，若某轴通过形心，
则截面对该轴的静矩为零。
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二、形心公式：
yc
Sz A
; zc
Sy A
.
三、组合截面的静矩：n个简单图形组成的截面，其静矩为：
n
Sz Ai yci; i 1
Izy
z y dA;
A
特点：①惯性积是截面对某两个正交
坐标轴而言。不同截面对同一对轴或同一截面对不同轴的惯性积
均不同。惯性积是代数值。
②若截面有一根为对称轴,则该截面对包括此对称轴在 内的一对正交坐标轴的惯性积必为零。
单位： m4 , mm 4;
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例5-2 求矩形截面对其对称轴的惯性矩和惯性积。
截面（面积A)对z轴和y轴的静矩分
别为：
Sz
y dA;
A
Sy
z dA;
A
静矩为代数值。静矩单位：m3; mm3;
不同截面对同一坐标轴的静矩不同；同
一截面对不同坐标轴的静矩也不同。
若截面形心坐标为zc、yc，将面积视为平行力（即看作等 厚、均质薄板的重力），由合力矩定理可得：
Sz A y dA A yc;
第五节 组合截面惯性矩的计算 工程中常遇到组合截面。计算其形心主惯性矩时，应先确定形 心位置、形心主轴，再求形心主惯性矩。
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例5–4:试计算图示T形截面的形心主惯性矩。 解:(1)确定形心坐标yc.
yc
1 y1 2 y2 1 2
500 5 500 10 25 20cm;
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小结
一、静矩： Sz A y dA A yc;
Sy
z
A
dA
A
zc ;
性质：截面对某轴的静矩为零时，该轴必通过截面形心；
二、极惯性矩：
IP
2dA;
A
实心圆截面：
IP
D 4
32
;
空心圆截面：I P
D 4
32
(1 4 ); (
dபைடு நூலகம் D
三、惯性矩：
Iz
y 2 dA;
500 500
(2)计算形心主惯性矩：
(z、y轴即形心主轴）
z1
z1
a12 1
50 103 12
20
52
500
1.17
105 cm4;
z2
z2
a22 2
10
503 12
35
20 2
500
2.17
105 cm4;
z z1 z2 117 2 17105 3.34 105 cm4;
Iz
y 2 dA;
A
Iy
z 2 dA;
A
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惯性矩是对某轴而言的，同一截面对不同轴的惯性矩值不同。 惯性矩单位：m4或mm4； 惯性矩恒为正值。 简单图形对轴的惯性矩由定义式积分计算。
三、惯性积：
定义:平面图形内，微面积dA与其两个 坐标z、y的乘积zydA在整个图形内的积分称 为该图形对z、y轴的惯性积。
主惯性矩（主惯矩）—截面对主惯性轴的惯性矩；
形心主惯性轴（形心主轴）—通过形心的主惯性轴；
形心主惯性矩（形心主惯矩）—截面对形心主轴的惯性矩。
特点：①两个形心主惯性矩是截面对过形心所有各轴的惯性矩 中的极大值和极小值；
②有一根对称轴的截面，形心主轴是对称轴和与之垂直 的形心轴；
③有两根对称轴的截面，形心主轴是两根对称轴； ④无对称轴的截面，由转轴公式求对形心的惯性积为零 的o 角，即 形心主惯性轴。
Iz
y 2 dA
A
由对称性： I
R
2y R
y Iz
2 R D4 ; 64
2 y2 dy R4 D4 ;
4 64 由几何关系： 2＝y2
z
2
,
IP
2dA
A
(y2
A
z2 )dA
IZ
Iy.
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第三节 惯性矩和惯性积的平行移轴和转轴公式
一、平行移轴公式：
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六、主惯性轴和主惯性矩： 主惯性轴（主轴）—使 I zoyo 0 的这对正交坐标轴； 主惯性矩（主惯矩）—截面对主惯性轴的惯性矩； 形心主惯性轴（形心主轴）—通过形心的主惯性轴； 形心主惯性矩（形心主惯矩）—截面对形心主轴的惯性矩。
七、平面图形几何性质的几何意义： 1. 静矩：图形的形心相对于指定坐标轴之间距离的远近程度； 2. 极惯性矩：图形的面积相对于指定坐标原点之间分布的集 中或分散程度； 3. 惯性矩：图形的面积相对于指定坐标轴之间分布的集中或分 散程度；
截面对坐标原点o的极惯性矩为：
IP
2dA;
A
简单图形的极惯性矩可由定义式积分计算。
实心圆截面：
IP
D 2
2
2 dA
D 4
;
0
32
空心圆截面：
IP
D 4
32
(1 4 ); (
d) D
二、惯性矩：
定义：平面图形中任一微面积dA对z轴、y轴的惯性矩分别为： y2dA和Z2dA；则整个图形（面积为A)对z轴、y轴的惯性矩分别为：