量子力学习题分析

河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷
— 学年第 学期 级 专业（类）
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 A
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、简述波函数的统计解释；
2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？
3、力学量G
ˆ在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系；
5、电子在位置和自旋z S ˆ表象下，波函数⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释
各项的几率意义。

二（20分）设一粒子在一维势场c bx ax x U ++=2)(中运动（0>a ）。

求其定态
能级和波函数。

三（20分）设某时刻，粒子处在状态)
cos (sin )(212kx kx B x +=ψ，求此时粒子的平均动量和平均动能。

四（20分）某体系存在一个三度简并能级，即E E E E ===)
0(3)0(2)0(1。

在不含时
微扰H
'ˆ作用下，总哈密顿算符H ˆ在)0(ˆH 表象下为⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=*
*21
1
00E E E H βαβα。

求
受微扰后的能量至一级。

五（20分）对电子，求在x S ˆ表象下的x S ˆ、y S ˆ、z S ˆ的矩阵表示。

A —1—1
河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷
— 学年第 学期 级 专业（类）
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 B
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、何为束缚态？
2、当体系处于归一化波函数ψ(,) r t 所描述的状态时，简述在ψ(,)
r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。

3、设粒子在位置表象中处于态),(t r
ψ,采用Dirac 符号时，若将
ψ(,)
r t 改写为
ψ(,)
r t 有何不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如
何表示？
4、简述定态微扰理论。

5、Stern —Gerlach 实验证实了什么？
二（20分）设粒子在三维势场()a
x a z y x U <>⎩⎨
⎧∞
=x 0
,,中运动，求粒子定态能量
和波函数。

三（20分）一维运动的粒子在态()0
00
<>⎩⎨
⎧=-x x Axe x x
当当λψ中运动，其中
0>λ。

求()()?ˆˆ2
2
=∆∙∆p x
四（20分）求一维线性谐振子偶极跃迁的选择定则。

五（20分）对自旋为2
1=
s 的粒子，求在 S y 表象中 S x 、 S y
、 S z 的矩阵表示。

B —1—1
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— 学年第 学期 级 专业（类）
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 C
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？
2、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？
3、测不准关系是否与表象有关？
4、在简并定态微扰论中，如 ()H 0的某一能级)0(n
E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…，f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H H H
'+=ˆˆˆ0的零级近似波函数？
5、在自旋态χ12
()s z 中， S x 和 S y
的测不准关系( )( )∆∆S S x y 22∙是多少？ 二（20分）求在三维势场()b
y a x z y x U <<⎩⎨
⎧∞=且当其它区域
,,中运动的粒子的定态
能量和波函数。

三（20分）求氢原子基态的最可几半径。

四（20分）已知哈密顿算符H ˆ在某表象下⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+=2020500bi i a c
H ω 且知其基态E 0=－3 ω，求实数a ，b ，c 。

五（20分）求在 S z
表象下， ( )S n x z =+ 2
1
232σσ
的本征值及本征函数。

当体系处于χ12
()s z 态时，求S n =
2
的几率为多少？
C —1—1
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— 学年第 学期 级 专业（类）
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 D
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger 方程的解？同一能量对应的各简并态的迭加是否仍为定态
Schrodinger 方程的解？
2、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。

3、说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。

4、何谓选择定则。

5、能否由Schrodinger 方程直接导出自旋？
二（20分）求在一维势阱()其它
b
x a U x U <<⎩⎨
⎧∞
=0中运动的粒子的定态能级和波函数。

三（20分）当体系处在状态 ()ϕπ
ϕπ
ϕψcos 23sin 21+
=
时，
（这里ϕ为角坐标）。

求角动量z 分量L z 的可能值及其平均值。

四（20分）转动惯量为I ，电偶极矩为
D 的空间转子，处在均匀电场 ε中，如
电场较小，用微扰方法求转子基态能量至二级。

五（20分）已知 J J iJ x y
+=+，
J 为角动量算符，jm 为 , J J z 2共同本征态，试证明： ()(),J jm j j m m j m +
=+-++111
D —1—1
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— 学年第 学期 级 专业（类）
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 E
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、叙述量子力学的态迭加原理。

2、厄米算符是如何定义的？
3、据[a
ˆ，+
a ˆ]=1，a a N ˆˆˆ+=，n n n N =ˆ，证明：1ˆ-=n n n a 。

4、非简并定态微扰论的计算公式是什么？写出其适用条件。

5、自旋 S
=2
σ，问 σ是否厄米算符？ σ是否一种角动量算符？ 二（20分）粒子在势场()()a
x a x a x x U ><⎪⎩⎪⎨⎧-∞=22
2
1
μω中运动，求其定态能级及波函
数。

三（20分）氢原子处于基态。

求(1) r 的平均值；(2) 动量P
的平均值
四（20分）已知哈密顿算符⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=302000
1ai ai H ω
求：（1）能量本征值；（2）当a 很小时，能量修正至二级。

五（20分）设 ( ), F l l L
J L S l
=+++⋅=+12111
σ，其中 , L S =2
σ
分别为轨道角动量和自旋s =1
2
的自旋角动量。

l j ,分别为 , L J 22的量子数。

求证：
在l 确定的态中，当j l =+
12
时F l =1；当
j l =-
1
2
时F l
=0。

E —1—1
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— 学年第 学期 级 专业（类）
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 F
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、波函数的量纲是否与表象有关？举例说明。

2、动量的本征函数有哪两种归一化方法？予以简述。

3、知 Ge
e x x ααα=，问能否得到 G d dx =？为什么？ 4、简述变分法求基态能量及波函数的过程。

5、简单Zeemann 效应是否可以证实自旋的存在？
二（20分）求在辏力场势()a
r a
r r U ><⎩⎨
⎧∞
=0
中运动的粒子，当l =0时的定态能级与波函数。

（l 为角量子数）
三（20分）证明[x L ˆ，y P ˆ]=z P i ˆ 。

其中x
L ˆ为轨道角动量x 分量，y P ˆ为动量y 分量。

四（20分）已知哈密顿算符在某表象下()⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=302020201
bi i a H α。

求：
（1）实数a ，b ；（2）能级和本征态。

五（20分）已知 ( ) H A S S S BL x y z z =+-+222，其中 S
为自旋2
1=s 的自旋角动量， L 为轨道角动量。

求体系的定态能级与波函数。

F —1—1
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— 学年第 学期 级 专业（类）
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 G
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、不考虑自旋，当粒子在库仑场中运动时，束缚态能级E n 的简并度是多少？
若粒子自旋为s ，问E n 的简并度又是多少?
2、根据]ˆ,ˆ[1ˆH F
i t F dt F d +∂=∂说明粒子在辏力场中运动时，角动量守恒。

3、对线性谐振子定态问题，旧量子论与量子力学的结论存在哪些根本区别？ 4、简述氢原子的一级stark 效应。

5、写出 J jm +
的计算公式。

二（20分）已知粒子在势场()a
x a x x U x U ><<<⎪⎩
⎪
⎨⎧-∞
=当当当00
00
中运动，00>U ，求束缚态能级所满足的方程。

三（20分）证明：[x
ˆ，)ˆ(P f ]= x
P i ˆ∂∂ )ˆ(P f 四（20分）求线性谐振子在动量表象下的能级和波函数。

五（20分）已知体系 ( ) H A L L L BS x y z z =+-+222，其中 L 为轨道角动量， S
为自旋（2
1
=s ）角动量。

求体系的定态能级与波函数。

G —1—1
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— 学年第 学期 级 专业（类）
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 H
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、由12
=⎰τψd ，说明波函数的量纲。

2、F
ˆ、G ˆ为厄米算符，问[F ˆ，G ˆ]与i [F ˆ，G ˆ]是否厄米算符？ 3、据[a
ˆ，+
a ˆ]=1，a a N ˆˆˆ+=，n n n N =ˆ证明：11ˆ++=+n n n a 。

4、利用量子力学的含时微扰论，能否直接计算发射系数和吸收系数？
5、什么是耦合表象？
二（20分）粒子在势场()其它
且当c z b y ,x 0,,<<<⎩⎨
⎧
∞
=a z y x U 中运动，求其定态
能级及波函数。

三（20分）球谐振子基态为2
221
2
3r e
απαψ-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=，求动能平均值和最可几半径。

四（20分）某体系()0ˆH 存在三个非简并能级：E 01，E 02，E 03，相应波函数为01
ψ，02ψ，03ψ。

受微扰⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-='c d e d b ai e ai a H 下，求其能量至二级，波函数至一级。

（注：H '是在()0ˆH 表象下给出的）。

五（20分）求在z
S ˆ表象下，)ˆˆ(2
ˆ22
22y x n S σ
σ+= 的本征值及本征函数。

当体系处于χ12
()s z 态时，求2
-=n S 的几率为多少？
H —1—1
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— 学年第 学期 级 专业（类）
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 I
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、不考虑粒子内部自由度，宇称算符P
ˆ是否为线性厄米算符？为什么？ 2、写出几率密度与几率流密度所满足的连续性方程。

3、已知()+
+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=a a x ˆˆ2ˆ21
μω ，()+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a i p x ˆˆ21ˆ2
1 μω，且1ˆ-=n n n a ψψ，11ˆ+++=n n n a ψψ，试推出线性谐振子波函数的递推公式。

4、写出一级近似下，跃迁几率的计算式。

5、何谓无耦合表象？
二（20分）粒子在()2
222212
121,y x y x U μωμω+=中运动，求其定态能级及波函数。

三（20分）证明：μμ2ˆ122
222r P r r r r =∂∂∂∂- ，其中⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂=r r i P r
1ˆ 。

四（20分）F ˆ在某表象下矩阵形式为 ⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=0000000i i F ，求其本征值及本征函数。

五（20分）证明( )( ) ( ) σσσ⋅⋅=⋅+⋅⨯A B A B i A B 。

其中 , A B 为与 σ
对易的矢量算符， S
=2σ为s =12
的自旋算符。

I —1—1
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— 学年第 学期 级 专业（类）
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 J
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、给出线性谐振子定态波函数的递推公式。

2、*=ψψG
ˆ，G
ˆ是否线性算符？ 3、在什么样的基组中，厄米算符是厄米矩阵？ 4、何谓选择定则？
5、写出jm J -
ˆ公式。

二、（20分）已知粒子在()⎪⎩
⎪⎨⎧∞=b
x a 0a x 0b x 0x 0
＜＜当＜＜当＞或＜当U x U 中运动，求束缚态能级满足
的关系式。

三、（20分）设粒子在一维无限深势阱中运动，其基态能量为2
2
212a
E μπ =，现体系处在由归一化波函数a
x a
x a
ππψ2cos sin 24=所表示的状态，求：
（1）包含区间[0,4
a
]的势阱位置；（2）写出测量基态的几率的计算公式。

四、（20分）当l ＝1时，求在z L ˆ表象中x L ˆ与y L ˆ的矩阵表示。

五、（20分）求在()()⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=
-φθχφθχψ,)(,)(23111211021Y s Y s z z 中，算符2ˆJ
与z J ˆ的本征值。

J —1—1
河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷
— 学年第 学期 级 专业（类）
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 K
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、何为束缚态？
2、写出位置表象中x p ˆ，p ˆ ，x ˆ和r
ˆ 的表示式。

3、对于定态问题，试从含时Schrodinger 方程推导出定态
Schrodinger 方程；
4、对于氢原子，其偶极跃迁的选择定则对主量子数n 是否存在限制？为什
么？
5、在现阶段所学的量子力学中，电子的自旋是作为一个基本假定引入的，还是由其它假定自然推出的？
二、（20分）求在一维势场()B Ax x U +=2（A ＞0）中，运动的粒子的定态能级
和波函数。

三、（20分）一粒子在一维无限深势阱()⎩⎨
⎧≤≤∞
=a
x 0x a x 0 0＞或＜　当当x U 中运动，求其
处于定态时的平均动能T 。

四、（20分）设尝试函数为2
0x ce
α-，c 为归一化系数，0α为与x 无关的变分参数，
试用变分法求线性谐振子的基态能量及波函数。

五、（20分）求在自旋态⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=51)(z s χ中的测不准关系?)()(2
2=∆∙∆y x S S
K —1—1
河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷
— 学年第 学期 级 专业（类）
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 L
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、假如波函数应满足的方程不是线性方程，波函数是否一定能归一化？
2、试写出动量表象中x ˆ，r ˆ ，x p
ˆ，p ˆ 的表式 3、幺正算符是怎样定义的？
4、我们知道，平面单色波的电场能和磁场能相等，而在用微扰论计算发射
系数和吸收系数时，我们为什么忽略了磁场对电子的作用？ 5、对于自旋为3/2的粒子，其自旋本征函数应是几行一列的矩阵？
二、（20分）试求三维各向同性谐振子的基态波函数。

三、（20分）推导对易关系]ˆ,ˆ[x L z ，其中z ˆ为坐标分量算符，x
L ˆ为轨道角动量分量算符。

四、（20分）已知某表象下力学量⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=0000000ˆi i F ，求其本征值及本征函数。

五、（20分）在自旋态⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=32)(z s χ中，其测不准关系 ?)()(2
2=∆∙∆z y S S
L —1—1
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— 学年第 学期 级 专业（类）
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 M
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、写出德布罗意关系式及自由粒子的德布罗意波。

2、一维线性谐振子基态归一化波函数为 2
2
21
x e απ
αψ-=
，试计算积
分
x d e x ⎰
∞
-0
2
β；
3、当体系处于归一化波函数ψ所描述的状态时，简述在ψ态中测量力学量
F 的可能值及其几率的方法；
4、已知氢原子径向Schrodinger 方程无简并，微扰项只与r 有关，问非
简并定态微扰论能否适用？ 5、自旋是否意味着自转？ 二、（20分）一体系哈氏量为z 022
2L r
4e 2∧∧
+-∇-=c H πεμ　
其中c 为常数，
求其定态能级及波函数。

三、（20分）试证明 p ˆi 2L
ˆp ˆp ˆL ˆ ＝⨯+⨯ 四、一粒子在一维势场()bx x x U +=
222
1
μω中运动，b 很小，试用微扰论求其定态能量至二级，波函数至一级。

五、（20分）已知角动量21ˆˆˆL L J +=，求在态l l jm 121110=中的21ˆˆL L ⋅的值。

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— 学年第 学期 级 专业（类）
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 N
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、光到底是粒子还是波；
2、两个对易的力学量是否一定同时具有确定值？在什么情况下才同时具有
确定值？
3、不考虑自旋，求球谐振子能级E n 的简并度；
4、我们学过，氢原子的选择定则1±=∆l ，这是否意味着∆l =±3的跃迁绝
对不可能发生？
5、克莱布希－高豋系数是为解决什么问题提出的？
二、（20分）设粒子在二维势场()cx By Ax y x U ++=22,中运动，其中常数0A ＞　
，0 B ＞　．求其定态能级和波函数。

三、（20分）在一维无限深势阱()⎩⎨
⎧≤≤∞
=a
x 0x a x 0 0＞或＜　当当x U 中运动的粒子，求它
处在定态时的平均坐标x 。

四、（20分）求氢原子处于基态时，在恒定外弱电场ε
作用下，其定态能级至二
级和波函数至一级。

五、（20分）根据在z S ˆ表象下的矩阵表示，求自旋y
S ˆ的本征值及对应本征函数（粒子s=2
1）。

河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷
— 学年第 学期 级 专业（类）
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 O
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、在球坐标系下，波函数()φθψ,,r 为什么应是进动角φ的周期函数？
2、设当a ＜x 和b y ＜时，势能为常数0U ，试将此区域内的二维
Schrodinger 方程分离变量(不求解)；
3、何谓力学量完全集？
4、定性说明为什么在氢原子的Stark 效应中，可将r e H ∙='εˆ视为微扰项？
5、Pauli 算符σ
ˆ 是否满足角动量的定义式？
二、（20分）有一粒子在一维势场 ()⎩⎨
⎧≤≤∞
=其它
当b
x a 0
U x U 中运动，求其定态
能级及波函数。

三、（20分）已知K i G F
ˆ]ˆ,ˆ[=，其中F ˆ、G ˆ均为厄米算符，利用关系()(
)
0ˆˆ2≥∆-∆=⎰
τψξξd G i F I 证明测不准关系 4
)ˆ()ˆ(222k G F ≥
∆∙∆。

四、（20分）已知
z
L ˆ、
y
L ˆ的伴随表示分别为⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=0000000ˆi i L z 及
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=0000000ˆi i L y
求x
L ˆ的矩阵表示。

五、（20分）求在自旋态⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=10)(2
1y s χ的测不准关系 ?)ˆ()ˆ(22=∆⋅∆x z S S
O —1—1
河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷
— 学年第 学期 级 专业（类）
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 P
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、简述量子力学产生的背景；
2、写出位置表象中直角坐标系下x L ˆ、y L ˆ、z
L ˆ、2
ˆL 的表示式； 3、l n r R 为有心力场中的径向波函数，问
r r r r n n l l l n l n dr r R R ''''∞
*=⎰δδ2
是否成立？为什么？
4、定态微扰论是否适用于主量子数n 很大的氢原子情况？为什么？
5、有关角动量的定义，我们学过哪两种？哪一种更广泛？自旋角动量是按哪一种定义的？
二、（20分）电子在三维势场 ()x
L D r
e r U ˆ402+-=πε 中运动，其中D 为常数，求其定态能级及波函数。

三、（20分）试推导 ]ˆ,ˆ[z L y 的对易关系。

四、（20分）在各向同性三维谐振子H
ˆ中加入微扰项xy H λ='ˆ，其中λ为很小的常数，求第一激发态能量的一级修正。

五、（20分）求在态1,3,1,221=jm l l 中的21ˆˆL L ⋅的值，其中角动量21ˆˆˆL L J +=。

P —1—1
河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷
— 学年第 学期 级 专业（类）
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 Q
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、说明()x δ的量纲；
2、说明在定态问题中，定态能量的最小值不可能低于势能的最低值；
3、简述占有数表象；
4、试说明对易的厄米算符的乘积也是厄米算符；
5、何为偶极近似？
二、（20分）一粒子的哈密顿算符为
∧
∧
+-∇-=20222L r
4e 2B H
πεμ　
，其中B
为常数，求其定态能级及本征函数。

三、（20分）已知x ˆ、z L ˆ分别为坐标和角动量的分量算符，推导其对易关系 ]ˆ,ˆ[z L x 。

四、（20分）在各向同性三维谐振子的哈氏算符H
ˆ中加入微扰项yz H λ='ˆ，其中λ为很小的常数，求其第一激发态能量的一级近似。

五、（20分）求在y S ˆ表象下，x S ˆ的本征值及对应本征函数（粒子s=2
1）。

Q —1—1
河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷
— 学年第 学期 级 专业（类）
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 R
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、量子力学克服了旧量子论的哪些不足？
2、写出φ
∂∂=i L z
ˆ的本征值及对应本征函数； 3、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 4、简述态的表象变换的方法；
5、已知总角动量21ˆˆˆJ J J +=，试说明0]ˆ,ˆ[21
2=J J 。

二、（20分）令()0ˆH 为氢原子哈密顿算符，已知一粒子()y
L A H H ˆˆˆ0+=，求此粒子的定态能级及波函数（其中A 为常数）。

三、（20分）设粒子在一维线性谐振子势中运动，求其基态的测不准关系
?)ˆ()(22=∆⋅∆p
x 四、（20分）已知()H H H '+=ˆˆˆ0，其中()()()()0000ˆn
n n E H ψψ=已精确求出，试推导()1n E 、()2n
E 、()1n ψ、()
2n ψ（分别为能量的一级、二级修正及波函数的一级、二级修正）所满足的方程组。

五、（20分）已知总角动量21ˆˆˆL L J +=，1ˆL 、2ˆL 的角量子数分别为1
l 、2l ，J ˆ 的角量子数和磁量子数分别为j 、m ，当体系处在态1,1,2,221-=jm l l 时，问
21ˆˆL L ⋅的值为多少？
R —1—1
河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷
— 学年第 学期 级 专业（类）
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 S
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、旧量子论存在哪些不足？
2、对于旧量子论中氢原子的“轨道”，量子力学的解释是什么？
3、两个不对易的力学量一定不能同时确定吗？举例说明；
4、简述变分法的思想；
5、写出电子在z
S ˆ表象下的三个Pauli 矩阵。

二、（20分）已知一粒子在三维势场 ()202ˆ4x
L A r
e r U +-=πε 中运动，求其定态能级及波函数。

三、（20分）求线性谐振子基态的动能平均值T 。

四、（20分）已知()zx H H
λ+=0ˆˆ，其中()0ˆH 为三维各向同性谐振子的哈氏算符，λ为很小的常数，试用微扰方法求其第一激发态能量的一级近似。

五、（20分）已知y x J i J J ˆˆˆ±=±，J ˆ 为角动量算符，jm 为2ˆJ 、z
J ˆ共同本征态，证明：1)1()1(ˆ---+=-
m j m m j j jm J
S —1—1
河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷
— 学年第 学期 级 专业（类）
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 T
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、简述波函数的Born 统计解释；
2、设ψ是定态Schrodinger 方程的解，说明*ψ也是对应同一本征能级的解，
进而说明无简并能级的波函数一定可以取为实数； 3、引入Dirac 符号的意义何在？ 4、定态微扰论的适用范围是什么？ 5、简述两个角动量耦合的三角形关系。

二、（20分）一粒子在一维势场 ()⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤-∞
=b x 0b x a a x 0＞当当＜当U x U 中运动，求其束缚态
能级所满足的方程（0U ＞0）。

三、（20分）试求线性谐振子基态的势能平均值U 。

四、（20分）已知哈密顿函数⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=3020001ci ci H ω ，求：（1）能量本征值；
（2）当c 很小时，能量修正至二级。

五、（20分）令L ˆ
为轨道角动量，S ˆ 为电子自旋角动量，如体系哈氏算符
()
z z z y x S f L L L L e H ˆˆˆˆˆˆ222++-+=α，其中e 、α、f 均为常数，试求体系定态能级和波函数。

T—1—1。