量子力学习题分析
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河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷
— 学年第 学期 级 专业(类)
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 A
(注:考生务必将答案写在答题纸上,写在本试卷上的无效)
一、概念题:(共20分,每小题4分)
1、简述波函数的统计解释;
2、对“轨道”和“电子云”的概念,量子力学的解释是什么?
3、力学量G
ˆ在自身表象中的矩阵表示有何特点? 4、简述能量的测不准关系;
5、电子在位置和自旋z S ˆ表象下,波函数⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化?解释
各项的几率意义。
二(20分)设一粒子在一维势场c bx ax x U ++=2)(中运动(0>a )。
求其定态
能级和波函数。
三(20分)设某时刻,粒子处在状态)
cos (sin )(212kx kx B x +=ψ,求此时粒子的平均动量和平均动能。
四(20分)某体系存在一个三度简并能级,即E E E E ===)
0(3)0(2)0(1。
在不含时
微扰H
'ˆ作用下,总哈密顿算符H ˆ在)0(ˆH 表象下为⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=*
*21
1
00E E E H βαβα。
求
受微扰后的能量至一级。
五(20分)对电子,求在x S ˆ表象下的x S ˆ、y S ˆ、z S ˆ的矩阵表示。
A —1—1
河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷
— 学年第 学期 级 专业(类)
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 B
(注:考生务必将答案写在答题纸上,写在本试卷上的无效)
一、概念题:(共20分,每小题4分)
1、何为束缚态?
2、当体系处于归一化波函数ψ(,) r t 所描述的状态时,简述在ψ(,)
r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。
3、设粒子在位置表象中处于态),(t r
ψ,采用Dirac 符号时,若将
ψ(,)
r t 改写为
ψ(,)
r t 有何不妥?采用Dirac 符号时,位置表象中的波函数应如
何表示?
4、简述定态微扰理论。
5、Stern —Gerlach 实验证实了什么?
二(20分)设粒子在三维势场()a
x a z y x U <>⎩⎨
⎧∞
=x 0
,,中运动,求粒子定态能量
和波函数。
三(20分)一维运动的粒子在态()0
00
<>⎩⎨
⎧=-x x Axe x x
当当λψ中运动,其中
0>λ。
求()()?ˆˆ2
2
=∆∙∆p x
四(20分)求一维线性谐振子偶极跃迁的选择定则。
五(20分)对自旋为2
1=
s 的粒子,求在 S y 表象中 S x 、 S y
、 S z 的矩阵表示。
B —1—1
河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷
— 学年第 学期 级 专业(类)
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 C
(注:考生务必将答案写在答题纸上,写在本试卷上的无效)
一、概念题:(共20分,每小题4分)
1、一个物理体系存在束缚态的条件是什么?
2、两个对易的力学量是否一定同时确定?为什么?
3、测不准关系是否与表象有关?
4、在简并定态微扰论中,如 ()H 0的某一能级)0(n
E ,对应f 个正交归一本征函数i φ(i =1,2,…,f ),为什么一般地i φ不能直接作为()H H H
'+=ˆˆˆ0的零级近似波函数?
5、在自旋态χ12
()s z 中, S x 和 S y
的测不准关系( )( )∆∆S S x y 22∙是多少? 二(20分)求在三维势场()b
y a x z y x U <<⎩⎨
⎧∞=且当其它区域
,,中运动的粒子的定态
能量和波函数。
三(20分)求氢原子基态的最可几半径。
四(20分)已知哈密顿算符H ˆ在某表象下⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+=2020500bi i a c
H ω 且知其基态E 0=-3 ω,求实数a ,b ,c 。
五(20分)求在 S z
表象下, ( )S n x z =+ 2
1
232σσ
的本征值及本征函数。
当体系处于χ12
()s z 态时,求S n =
2
的几率为多少?
C —1—1
河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷
— 学年第 学期 级 专业(类)
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 D
(注:考生务必将答案写在答题纸上,写在本试卷上的无效)
一、概念题:(共20分,每小题4分)
1、在定态问题中,不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger 方程的解?同一能量对应的各简并态的迭加是否仍为定态
Schrodinger 方程的解?
2、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定?举例说明。
3、说明厄米矩阵的对角元素是实的,关于对角线对称的元素互相共轭。
4、何谓选择定则。
5、能否由Schrodinger 方程直接导出自旋?
二(20分)求在一维势阱()其它
b
x a U x U <<⎩⎨
⎧∞
=0中运动的粒子的定态能级和波函数。
三(20分)当体系处在状态 ()ϕπ
ϕπ
ϕψcos 23sin 21+
=
时,
(这里ϕ为角坐标)。
求角动量z 分量L z 的可能值及其平均值。
四(20分)转动惯量为I ,电偶极矩为
D 的空间转子,处在均匀电场 ε中,如
电场较小,用微扰方法求转子基态能量至二级。
五(20分)已知 J J iJ x y
+=+,
J 为角动量算符,jm 为 , J J z 2共同本征态,试证明: ()(),J jm j j m m j m +
=+-++111
D —1—1
河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷
— 学年第 学期 级 专业(类)
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 E
(注:考生务必将答案写在答题纸上,写在本试卷上的无效)
一、概念题:(共20分,每小题4分)
1、叙述量子力学的态迭加原理。
2、厄米算符是如何定义的?
3、据[a
ˆ,+
a ˆ]=1,a a N ˆˆˆ+=,n n n N =ˆ,证明:1ˆ-=n n n a 。
4、非简并定态微扰论的计算公式是什么?写出其适用条件。
5、自旋 S
=2
σ,问 σ是否厄米算符? σ是否一种角动量算符? 二(20分)粒子在势场()()a
x a x a x x U ><⎪⎩⎪⎨⎧-∞=22
2
1
μω中运动,求其定态能级及波函
数。
三(20分)氢原子处于基态。
求(1) r 的平均值;(2) 动量P
的平均值
四(20分)已知哈密顿算符⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=302000
1ai ai H ω
求:(1)能量本征值;(2)当a 很小时,能量修正至二级。
五(20分)设 ( ), F l l L
J L S l
=+++⋅=+12111
σ,其中 , L S =2
σ
分别为轨道角动量和自旋s =1
2
的自旋角动量。
l j ,分别为 , L J 22的量子数。
求证:
在l 确定的态中,当j l =+
12
时F l =1;当
j l =-
1
2
时F l
=0。
E —1—1
河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷
— 学年第 学期 级 专业(类)
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 F
(注:考生务必将答案写在答题纸上,写在本试卷上的无效)
一、概念题:(共20分,每小题4分)
1、波函数的量纲是否与表象有关?举例说明。
2、动量的本征函数有哪两种归一化方法?予以简述。
3、知 Ge
e x x ααα=,问能否得到 G d dx =?为什么? 4、简述变分法求基态能量及波函数的过程。
5、简单Zeemann 效应是否可以证实自旋的存在?
二(20分)求在辏力场势()a
r a
r r U ><⎩⎨
⎧∞
=0
中运动的粒子,当l =0时的定态能级与波函数。
(l 为角量子数)
三(20分)证明[x L ˆ,y P ˆ]=z P i ˆ 。
其中x
L ˆ为轨道角动量x 分量,y P ˆ为动量y 分量。
四(20分)已知哈密顿算符在某表象下()⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=302020201
bi i a H α。
求:
(1)实数a ,b ;(2)能级和本征态。
五(20分)已知 ( ) H A S S S BL x y z z =+-+222,其中 S
为自旋2
1=s 的自旋角动量, L 为轨道角动量。
求体系的定态能级与波函数。
F —1—1
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— 学年第 学期 级 专业(类)
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 G
(注:考生务必将答案写在答题纸上,写在本试卷上的无效)
一、概念题:(共20分,每小题4分)
1、不考虑自旋,当粒子在库仑场中运动时,束缚态能级E n 的简并度是多少?
若粒子自旋为s ,问E n 的简并度又是多少?
2、根据]ˆ,ˆ[1ˆH F
i t F dt F d +∂=∂说明粒子在辏力场中运动时,角动量守恒。
3、对线性谐振子定态问题,旧量子论与量子力学的结论存在哪些根本区别? 4、简述氢原子的一级stark 效应。
5、写出 J jm +
的计算公式。
二(20分)已知粒子在势场()a
x a x x U x U ><<<⎪⎩
⎪
⎨⎧-∞
=当当当00
00
中运动,00>U ,求束缚态能级所满足的方程。
三(20分)证明:[x
ˆ,)ˆ(P f ]= x
P i ˆ∂∂ )ˆ(P f 四(20分)求线性谐振子在动量表象下的能级和波函数。
五(20分)已知体系 ( ) H A L L L BS x y z z =+-+222,其中 L 为轨道角动量, S
为自旋(2
1
=s )角动量。
求体系的定态能级与波函数。
G —1—1
河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷
— 学年第 学期 级 专业(类)
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 H
(注:考生务必将答案写在答题纸上,写在本试卷上的无效)
一、概念题:(共20分,每小题4分)
1、由12
=⎰τψd ,说明波函数的量纲。
2、F
ˆ、G ˆ为厄米算符,问[F ˆ,G ˆ]与i [F ˆ,G ˆ]是否厄米算符? 3、据[a
ˆ,+
a ˆ]=1,a a N ˆˆˆ+=,n n n N =ˆ证明:11ˆ++=+n n n a 。
4、利用量子力学的含时微扰论,能否直接计算发射系数和吸收系数?
5、什么是耦合表象?
二(20分)粒子在势场()其它
且当c z b y ,x 0,,<<<⎩⎨
⎧
∞
=a z y x U 中运动,求其定态
能级及波函数。
三(20分)球谐振子基态为2
221
2
3r e
απαψ-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=,求动能平均值和最可几半径。
四(20分)某体系()0ˆH 存在三个非简并能级:E 01,E 02,E 03,相应波函数为01
ψ,02ψ,03ψ。
受微扰⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-='c d e d b ai e ai a H 下,求其能量至二级,波函数至一级。
(注:H '是在()0ˆH 表象下给出的)。
五(20分)求在z
S ˆ表象下,)ˆˆ(2
ˆ22
22y x n S σ
σ+= 的本征值及本征函数。
当体系处于χ12
()s z 态时,求2
-=n S 的几率为多少?
H —1—1
河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷
— 学年第 学期 级 专业(类)
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 I
(注:考生务必将答案写在答题纸上,写在本试卷上的无效)
一、概念题:(共20分,每小题4分)
1、不考虑粒子内部自由度,宇称算符P
ˆ是否为线性厄米算符?为什么? 2、写出几率密度与几率流密度所满足的连续性方程。
3、已知()+
+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=a a x ˆˆ2ˆ21
μω ,()+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a i p x ˆˆ21ˆ2
1 μω,且1ˆ-=n n n a ψψ,11ˆ+++=n n n a ψψ,试推出线性谐振子波函数的递推公式。
4、写出一级近似下,跃迁几率的计算式。
5、何谓无耦合表象?
二(20分)粒子在()2
222212
121,y x y x U μωμω+=中运动,求其定态能级及波函数。
三(20分)证明:μμ2ˆ122
222r P r r r r =∂∂∂∂- ,其中⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂=r r i P r
1ˆ 。
四(20分)F ˆ在某表象下矩阵形式为 ⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=0000000i i F ,求其本征值及本征函数。
五(20分)证明( )( ) ( ) σσσ⋅⋅=⋅+⋅⨯A B A B i A B 。
其中 , A B 为与 σ
对易的矢量算符, S
=2σ为s =12
的自旋算符。
I —1—1
河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷
— 学年第 学期 级 专业(类)
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 J
(注:考生务必将答案写在答题纸上,写在本试卷上的无效)
一、概念题:(共20分,每小题4分)
1、给出线性谐振子定态波函数的递推公式。
2、*=ψψG
ˆ,G
ˆ是否线性算符? 3、在什么样的基组中,厄米算符是厄米矩阵? 4、何谓选择定则?
5、写出jm J -
ˆ公式。
二、(20分)已知粒子在()⎪⎩
⎪⎨⎧∞=b
x a 0a x 0b x 0x 0
<<当<<当>或<当U x U 中运动,求束缚态能级满足
的关系式。
三、(20分)设粒子在一维无限深势阱中运动,其基态能量为2
2
212a
E μπ =,现体系处在由归一化波函数a
x a
x a
ππψ2cos sin 24=所表示的状态,求:
(1)包含区间[0,4
a
]的势阱位置;(2)写出测量基态的几率的计算公式。
四、(20分)当l =1时,求在z L ˆ表象中x L ˆ与y L ˆ的矩阵表示。
五、(20分)求在()()⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=
-φθχφθχψ,)(,)(23111211021Y s Y s z z 中,算符2ˆJ
与z J ˆ的本征值。
J —1—1
河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷
— 学年第 学期 级 专业(类)
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 K
(注:考生务必将答案写在答题纸上,写在本试卷上的无效)
一、概念题:(共20分,每小题4分)
1、何为束缚态?
2、写出位置表象中x p ˆ,p ˆ ,x ˆ和r
ˆ 的表示式。
3、对于定态问题,试从含时Schrodinger 方程推导出定态
Schrodinger 方程;
4、对于氢原子,其偶极跃迁的选择定则对主量子数n 是否存在限制?为什
么?
5、在现阶段所学的量子力学中,电子的自旋是作为一个基本假定引入的,还是由其它假定自然推出的?
二、(20分)求在一维势场()B Ax x U +=2(A >0)中,运动的粒子的定态能级
和波函数。
三、(20分)一粒子在一维无限深势阱()⎩⎨
⎧≤≤∞
=a
x 0x a x 0 0>或< 当当x U 中运动,求其
处于定态时的平均动能T 。
四、(20分)设尝试函数为2
0x ce
α-,c 为归一化系数,0α为与x 无关的变分参数,
试用变分法求线性谐振子的基态能量及波函数。
五、(20分)求在自旋态⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=51)(z s χ中的测不准关系?)()(2
2=∆∙∆y x S S
K —1—1
河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷
— 学年第 学期 级 专业(类)
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 L
(注:考生务必将答案写在答题纸上,写在本试卷上的无效)
一、概念题:(共20分,每小题4分)
1、假如波函数应满足的方程不是线性方程,波函数是否一定能归一化?
2、试写出动量表象中x ˆ,r ˆ ,x p
ˆ,p ˆ 的表式 3、幺正算符是怎样定义的?
4、我们知道,平面单色波的电场能和磁场能相等,而在用微扰论计算发射
系数和吸收系数时,我们为什么忽略了磁场对电子的作用? 5、对于自旋为3/2的粒子,其自旋本征函数应是几行一列的矩阵?
二、(20分)试求三维各向同性谐振子的基态波函数。
三、(20分)推导对易关系]ˆ,ˆ[x L z ,其中z ˆ为坐标分量算符,x
L ˆ为轨道角动量分量算符。
四、(20分)已知某表象下力学量⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=0000000ˆi i F ,求其本征值及本征函数。
五、(20分)在自旋态⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=32)(z s χ中,其测不准关系 ?)()(2
2=∆∙∆z y S S
L —1—1
河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷
— 学年第 学期 级 专业(类)
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 M
(注:考生务必将答案写在答题纸上,写在本试卷上的无效)
一、概念题:(共20分,每小题4分)
1、写出德布罗意关系式及自由粒子的德布罗意波。
2、一维线性谐振子基态归一化波函数为 2
2
21
x e απ
αψ-=
,试计算积
分
x d e x ⎰
∞
-0
2
β;
3、当体系处于归一化波函数ψ所描述的状态时,简述在ψ态中测量力学量
F 的可能值及其几率的方法;
4、已知氢原子径向Schrodinger 方程无简并,微扰项只与r 有关,问非
简并定态微扰论能否适用? 5、自旋是否意味着自转? 二、(20分)一体系哈氏量为z 022
2L r
4e 2∧∧
+-∇-=c H πεμ
其中c 为常数,
求其定态能级及波函数。
三、(20分)试证明 p ˆi 2L
ˆp ˆp ˆL ˆ =⨯+⨯ 四、一粒子在一维势场()bx x x U +=
222
1
μω中运动,b 很小,试用微扰论求其定态能量至二级,波函数至一级。
五、(20分)已知角动量21ˆˆˆL L J +=,求在态l l jm 121110=中的21ˆˆL L ⋅的值。
河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷
— 学年第 学期 级 专业(类)
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 N
(注:考生务必将答案写在答题纸上,写在本试卷上的无效)
一、概念题:(共20分,每小题4分)
1、光到底是粒子还是波;
2、两个对易的力学量是否一定同时具有确定值?在什么情况下才同时具有
确定值?
3、不考虑自旋,求球谐振子能级E n 的简并度;
4、我们学过,氢原子的选择定则1±=∆l ,这是否意味着∆l =±3的跃迁绝
对不可能发生?
5、克莱布希-高豋系数是为解决什么问题提出的?
二、(20分)设粒子在二维势场()cx By Ax y x U ++=22,中运动,其中常数0A >
,0 B > .求其定态能级和波函数。
三、(20分)在一维无限深势阱()⎩⎨
⎧≤≤∞
=a
x 0x a x 0 0>或< 当当x U 中运动的粒子,求它
处在定态时的平均坐标x 。
四、(20分)求氢原子处于基态时,在恒定外弱电场ε
作用下,其定态能级至二
级和波函数至一级。
五、(20分)根据在z S ˆ表象下的矩阵表示,求自旋y
S ˆ的本征值及对应本征函数(粒子s=2
1)。
河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷
— 学年第 学期 级 专业(类)
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 O
(注:考生务必将答案写在答题纸上,写在本试卷上的无效)
一、概念题:(共20分,每小题4分)
1、在球坐标系下,波函数()φθψ,,r 为什么应是进动角φ的周期函数?
2、设当a <x 和b y <时,势能为常数0U ,试将此区域内的二维
Schrodinger 方程分离变量(不求解);
3、何谓力学量完全集?
4、定性说明为什么在氢原子的Stark 效应中,可将r e H ∙='εˆ视为微扰项?
5、Pauli 算符σ
ˆ 是否满足角动量的定义式?
二、(20分)有一粒子在一维势场 ()⎩⎨
⎧≤≤∞
=其它
当b
x a 0
U x U 中运动,求其定态
能级及波函数。
三、(20分)已知K i G F
ˆ]ˆ,ˆ[=,其中F ˆ、G ˆ均为厄米算符,利用关系()(
)
0ˆˆ2≥∆-∆=⎰
τψξξd G i F I 证明测不准关系 4
)ˆ()ˆ(222k G F ≥
∆∙∆。
四、(20分)已知
z
L ˆ、
y
L ˆ的伴随表示分别为⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=0000000ˆi i L z 及
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=0000000ˆi i L y
求x
L ˆ的矩阵表示。
五、(20分)求在自旋态⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=10)(2
1y s χ的测不准关系 ?)ˆ()ˆ(22=∆⋅∆x z S S
O —1—1
河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷
— 学年第 学期 级 专业(类)
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 P
(注:考生务必将答案写在答题纸上,写在本试卷上的无效)
一、概念题:(共20分,每小题4分)
1、简述量子力学产生的背景;
2、写出位置表象中直角坐标系下x L ˆ、y L ˆ、z
L ˆ、2
ˆL 的表示式; 3、l n r R 为有心力场中的径向波函数,问
r r r r n n l l l n l n dr r R R ''''∞
*=⎰δδ2
是否成立?为什么?
4、定态微扰论是否适用于主量子数n 很大的氢原子情况?为什么?
5、有关角动量的定义,我们学过哪两种?哪一种更广泛?自旋角动量是按哪一种定义的?
二、(20分)电子在三维势场 ()x
L D r
e r U ˆ402+-=πε 中运动,其中D 为常数,求其定态能级及波函数。
三、(20分)试推导 ]ˆ,ˆ[z L y 的对易关系。
四、(20分)在各向同性三维谐振子H
ˆ中加入微扰项xy H λ='ˆ,其中λ为很小的常数,求第一激发态能量的一级修正。
五、(20分)求在态1,3,1,221=jm l l 中的21ˆˆL L ⋅的值,其中角动量21ˆˆˆL L J +=。
P —1—1
河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷
— 学年第 学期 级 专业(类)
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 Q
(注:考生务必将答案写在答题纸上,写在本试卷上的无效)
一、概念题:(共20分,每小题4分)
1、说明()x δ的量纲;
2、说明在定态问题中,定态能量的最小值不可能低于势能的最低值;
3、简述占有数表象;
4、试说明对易的厄米算符的乘积也是厄米算符;
5、何为偶极近似?
二、(20分)一粒子的哈密顿算符为
∧
∧
+-∇-=20222L r
4e 2B H
πεμ
,其中B
为常数,求其定态能级及本征函数。
三、(20分)已知x ˆ、z L ˆ分别为坐标和角动量的分量算符,推导其对易关系 ]ˆ,ˆ[z L x 。
四、(20分)在各向同性三维谐振子的哈氏算符H
ˆ中加入微扰项yz H λ='ˆ,其中λ为很小的常数,求其第一激发态能量的一级近似。
五、(20分)求在y S ˆ表象下,x S ˆ的本征值及对应本征函数(粒子s=2
1)。
Q —1—1
河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷
— 学年第 学期 级 专业(类)
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 R
(注:考生务必将答案写在答题纸上,写在本试卷上的无效)
一、概念题:(共20分,每小题4分)
1、量子力学克服了旧量子论的哪些不足?
2、写出φ
∂∂=i L z
ˆ的本征值及对应本征函数; 3、一个物理体系存在束缚态的条件是什么? 4、简述态的表象变换的方法;
5、已知总角动量21ˆˆˆJ J J +=,试说明0]ˆ,ˆ[21
2=J J 。
二、(20分)令()0ˆH 为氢原子哈密顿算符,已知一粒子()y
L A H H ˆˆˆ0+=,求此粒子的定态能级及波函数(其中A 为常数)。
三、(20分)设粒子在一维线性谐振子势中运动,求其基态的测不准关系
?)ˆ()(22=∆⋅∆p
x 四、(20分)已知()H H H '+=ˆˆˆ0,其中()()()()0000ˆn
n n E H ψψ=已精确求出,试推导()1n E 、()2n
E 、()1n ψ、()
2n ψ(分别为能量的一级、二级修正及波函数的一级、二级修正)所满足的方程组。
五、(20分)已知总角动量21ˆˆˆL L J +=,1ˆL 、2ˆL 的角量子数分别为1
l 、2l ,J ˆ 的角量子数和磁量子数分别为j 、m ,当体系处在态1,1,2,221-=jm l l 时,问
21ˆˆL L ⋅的值为多少?
R —1—1
河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷
— 学年第 学期 级 专业(类)
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 S
(注:考生务必将答案写在答题纸上,写在本试卷上的无效)
一、概念题:(共20分,每小题4分)
1、旧量子论存在哪些不足?
2、对于旧量子论中氢原子的“轨道”,量子力学的解释是什么?
3、两个不对易的力学量一定不能同时确定吗?举例说明;
4、简述变分法的思想;
5、写出电子在z
S ˆ表象下的三个Pauli 矩阵。
二、(20分)已知一粒子在三维势场 ()202ˆ4x
L A r
e r U +-=πε 中运动,求其定态能级及波函数。
三、(20分)求线性谐振子基态的动能平均值T 。
四、(20分)已知()zx H H
λ+=0ˆˆ,其中()0ˆH 为三维各向同性谐振子的哈氏算符,λ为很小的常数,试用微扰方法求其第一激发态能量的一级近似。
五、(20分)已知y x J i J J ˆˆˆ±=±,J ˆ 为角动量算符,jm 为2ˆJ 、z
J ˆ共同本征态,证明:1)1()1(ˆ---+=-
m j m m j j jm J
S —1—1
河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷
— 学年第 学期 级 专业(类)
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 T
(注:考生务必将答案写在答题纸上,写在本试卷上的无效)
一、概念题:(共20分,每小题4分)
1、简述波函数的Born 统计解释;
2、设ψ是定态Schrodinger 方程的解,说明*ψ也是对应同一本征能级的解,
进而说明无简并能级的波函数一定可以取为实数; 3、引入Dirac 符号的意义何在? 4、定态微扰论的适用范围是什么? 5、简述两个角动量耦合的三角形关系。
二、(20分)一粒子在一维势场 ()⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤-∞
=b x 0b x a a x 0>当当<当U x U 中运动,求其束缚态
能级所满足的方程(0U >0)。
三、(20分)试求线性谐振子基态的势能平均值U 。
四、(20分)已知哈密顿函数⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=3020001ci ci H ω ,求:(1)能量本征值;
(2)当c 很小时,能量修正至二级。
五、(20分)令L ˆ
为轨道角动量,S ˆ 为电子自旋角动量,如体系哈氏算符
()
z z z y x S f L L L L e H ˆˆˆˆˆˆ222++-+=α,其中e 、α、f 均为常数,试求体系定态能级和波函数。
T—1—1。