湖北省十堰市竹溪县2020年中考数学一诊试卷 解析

2020年湖北省十堰市竹溪县中考数学一诊试卷
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．（3分）实数2020的相反数是（）
A．2020B．C．﹣2020D．﹣
2．（3分）体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（）
A．平行线间的距离相等B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短D．两点确定一条直线
3．（3分）如图是一个三视图，则此三视图所对应的直观图是（）
A．B．C．D．
4．（3分）下列运算一定正确的是（）
A．a+a＝a2B．a2•a3＝a6
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．（2a2）3＝6a6
5．（3分）下列说法中，错误的是（）
A．菱形的对角线互相垂直
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．矩形的四个内角都相等
D．四个内角都相等的四边形是矩形
6．（3分）小韩同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤：
①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类
②去图书馆收集学生借阅图书的记录
③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比
④整理借阅图书记录并绘制频数分布表
正确统计步骤的顺序是（）
A．②→④→③→①B．③→④→①→②C．①→②→④→③D．②→③→①→④7．（3分）小明用15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完），已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为x元，根据题意可列出的方程为（）
A．＝B．＝C．＝D．＝
8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，P A切⊙O于点A，连接PO并延长交⊙O于点C，连接AC，若AB＝8，∠P＝30°，则AC＝（）
A．4B．4C．4D．3
9．（3分）在数列，，，，，，，，，，…中，请你观察数列的排列规律，推算该数列中的第5055个数为（）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，直线AB与反比例函数y＝（k＞0）交于点A（m，4），B（﹣4，n），与x轴，y轴交于点C，D，连接OA，OB，若tan∠AOD+tan∠BOC＝3，则k＝（）
A．24B．20C．16D．12
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若ab＝3，a﹣b＝﹣1，则代数式a2b﹣ab2的值等于．
12．（3分）为最大程度减少因疫情延迟开学带来的影响，实现“离校不离教、停课不停学”，我市全面开展了形式多样的“线上教学”活动．为了解教学效果，某校对“线上教学”
的满意度进行了抽样调查，将抽样调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给的信息，计算表示“非常满意”和“满意”的总人数为．
13．（3分）如图，正五边形ABCDE中，对角线AC与BE相交于点F，则∠AFE＝度．
14．（3分）对于任意实数a、b，定义一种运算：a※b＝ab﹣a+b﹣2．例如，2※5＝2×5﹣2+5﹣2＝11．请根据上述的定义解决问题：若不等式3※x＜2，则不等式的正整数解是．
15．（3分）若一个圆锥的母线长是它底面圆半径的3倍，则它的侧面展开图的圆心角为度．
16．（3分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AC平分∠BAD，∠ABC＝60°，E为AD上一点，AE＝2，DE＝4，P为AC上一点，则△PDE周长的最小值为．
三、解答题（本题有9个小题，共72分）
17．（5分）计算：．
18．（6分）化简求值：，其中x＝﹣1．
19．（7分）如图，AB，CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为60米，从建筑物AB的顶部A点测得建筑物CD的顶部C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°，求建筑物CD的高度．
20．（7分）只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数．我国数学家陈景润哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都表示为两个素数的和”．如10＝3+7．
（1）从7，11，13，17这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是11的概率是；
（2）从7，11，13，17这4个素数中随机抽取1个数，再从余下的3个数中随机抽取1个数，用画树状图或列表的方法，求抽到的两个素数之和等于24的概率．
21．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+6＝p（p+1）．
（1）请判断该方程实数根的情况；
（2）若原方程的两实数根为x1，x2，且满足x12+x22＝3p2+5，求p的值．
22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于D，过D作DE⊥AC交AC 延长线于点E，交AB延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若DE＝，tan∠BDF＝，求DF的长．
23．（10分）某超市以20元/kg的价格购进一批商品进行销售，根据以往的销售经验及对市场行情的调研，该超市得到日销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间的关系，部分数据如下表：
销售价格x（元/kg）25303540…
日销售量y（kg）1000800600400…
（1）根据表中的数据，用所学过的函数知识确定y与x之间的函数关系式；
（2）超市应如何确定销售价格，才能使日销售利润W（元）最大？W最大值为多少？
（3）供货商为了促销，决定给予超市a元/kg的补贴，但希望超市在30≤x≤35时，最大利润不超过10240元，求a的最大值．
24．（10分）如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，将△COD绕点O逆时针旋转得到△EOF（旋转角为锐角），连接AE，BF，DF，则AE＝BF．
（1）如图2，若（1）中的正方形为矩形，其他条件不变．
①探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论；
②若BD＝7，AE＝4，求DF的长；
（2）如图3，若（1）中的正方形为平行四边形，其他条件不变，且BD＝10，AC＝6，AE＝5，请直接写出DF的长．
25．（12分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），C（0，3），交x轴于另一点B，其顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上一点，直线CP交x轴于点E，若△CAE与△OCD相似，求P点
坐标；
（3）如果点F在y轴上，点M在直线AC上，那么在抛物线上是否存在点N，使得以C，F，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出菱形的周长；若不存在，请说明理由．
2020年湖北省十堰市竹溪县中考数学一诊试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．（3分）实数2020的相反数是（）
A．2020B．C．﹣2020D．﹣
【分析】直接利用相反数的定义得出答案．
【解答】解：2020的相反数是：﹣2020．
故选：C．
2．（3分）体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（）
A．平行线间的距离相等B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短D．两点确定一条直线
【分析】此题为数学知识的应用，由实际出发，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．【解答】解：体育课上，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．
故选：C．
3．（3分）如图是一个三视图，则此三视图所对应的直观图是（）
A．B．C．D．
【分析】由三视图判断几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
【解答】解：由图可得，此三视图所对应的直观图是．
故选：B．
4．（3分）下列运算一定正确的是（）
A．a+a＝a2B．a2•a3＝a6
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．（2a2）3＝6a6
【分析】分别按照合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、平方差公式及积的乘方的运算法则计算分析即可．
【解答】解：A、a+a＝2a，故A错误；
B、a2•a3＝a5，故B错误；
C、按照平方差公式可知，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故C正确；
D、（2a2）3＝23×（a2）3＝8a6，故D错误．
故选：C．
5．（3分）下列说法中，错误的是（）
A．菱形的对角线互相垂直
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．矩形的四个内角都相等
D．四个内角都相等的四边形是矩形
【分析】根据菱形的判定与性质以及矩形的判定与性质分别对各个选项进行判断，即可得出结论．
【解答】解：A、∵菱形的对角线互相垂直，
∴选项A不符合题意；
B、∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
∴选项B符合题意；
C、∵矩形的四个角都是直角，
∴矩形的四个内角都相等，
∴选项C不符合题意；
D、∵四个内角都相等的四边形是四个角都是直角，
∴四个内角都相等的四边形是矩形，
∴选项D不符合题意；
故选：B．
6．（3分）小韩同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤：
①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类
②去图书馆收集学生借阅图书的记录
③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比
④整理借阅图书记录并绘制频数分布表
正确统计步骤的顺序是（）
A．②→④→③→①B．③→④→①→②C．①→②→④→③D．②→③→①→④【分析】根据数据的收集、整理、制作扇形统计图及根据统计图分析结果的步骤可得答案．
【解答】解：将本校图书馆最受学生欢迎的图书种类情况制作扇形统计图的步骤如下：
②去图书馆收集学生借阅图书的记录；
④整理借阅图书记录并绘制频数分布表；
③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比；
①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类；
故选：A．
7．（3分）小明用15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完），已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为x元，根据题意可列出的方程为（）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【分析】直接利用用15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本，得出等式求出答案．
【解答】解：设软面笔记本每本售价为x元，
根据题意可列出的方程为：＝．
故选：A．
8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，P A切⊙O于点A，连接PO并延长交⊙O于点C，连接AC，若AB＝8，∠P＝30°，则AC＝（）
A．4B．4C．4D．3
【分析】先根据切线的性质得∠OAP＝90°，再利用含30度的直角三角形三边的关系得到AP＝OA＝4，接着计算出∠C＝30°，从而得到AC＝AP＝4．
【解答】解：∵P A切⊙O于点A，
∴OA⊥P A，
∴∠OAP＝90°，
在Rt△OAP中，∵∠P＝30°，
∴∠AOP＝60°，AP＝OA＝4，
∵∠AOP＝∠C+∠OAC＝60°，
而∠C＝∠OAC，
∴∠C＝30°，
∴AC＝AP＝4．
故选：A．
9．（3分）在数列，，，，，，，，，，…中，请你观察数列的排列规律，推算该数列中的第5055个数为（）
A．B．C．D．
【分析】将数列，，，，，，，，，，…，分开看，可以发现第1组分子是1，和是1；第2组分子是1，2，和是1+2＝3，第3组分子的和是1+2+3＝6，…，第n组分子的和为1+2+3+…+n，进而可得1+2+3+…+100＝5050，即可求出第5055个数
在第几组，再根据规律求解即可．
【解答】解：观察数列发现规律：
第n组的分数有n个，
它们的分子是从1开始的连续自然数，
分母是从n开始的连续降序自然数，
因为前100组有：
1+2+3+…+100＝5050个分数，
所以5055个数在第101组的第5个，
分母为101﹣4＝97，分子是5，
所以第5055个数为：．
故选：B．
10．（3分）如图，直线AB与反比例函数y＝（k＞0）交于点A（m，4），B（﹣4，n），与x轴，y轴交于点C，D，连接OA，OB，若tan∠AOD+tan∠BOC＝3，则k＝（）
A．24B．20C．16D．12
【分析】在Rt△AOE中，tan∠AOE＝＝，在Rt△BOF中，tan∠BOF＝＝﹣，而tan∠AOD+tan∠BOC＝3，即可求解．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥y轴于E，过点B作BF⊥x轴于F，
在Rt△AOE中，tan∠AOE＝＝，
在Rt△BOF中，tan∠BOF＝＝﹣，
而tan∠AOD+tan∠BOC＝3，
所以+＝3①，
而根据点的对称性：m+n＝0②，
联立①②并解得：m＝6，n＝﹣6，
则A（6，4），B（﹣4，﹣6），
将点A的坐标代入反比例函数表达式得：k＝4×6＝24，
故选：A．
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若ab＝3，a﹣b＝﹣1，则代数式a2b﹣ab2的值等于﹣3．【分析】直接提取公因式ab，进而分解因式把已知代入得出答案．
【解答】解：∵ab＝3，a﹣b＝﹣1，
∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝3×（﹣1）＝﹣3．
故答案为：﹣3．
12．（3分）为最大程度减少因疫情延迟开学带来的影响，实现“离校不离教、停课不停学”，我市全面开展了形式多样的“线上教学”活动．为了解教学效果，某校对“线上教学”
的满意度进行了抽样调查，将抽样调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给的信息，计算表示“非常满意”和“满意”的总人数为70．
【分析】由两个统计图可知，“满意、不满意、较差”的人数为40+50+10＝100人，占调查人数的1﹣15%﹣35%＝50%，可求出调查人数，进而求出“非常满意”的人数，最后计算“非常满意”和“满意”人数之和即可．
【解答】解：调查的总人数：（40+50+10）÷（1﹣15%﹣35%）＝200（人），
“非常满意”的人数：200×15%＝30（人），
因此“非常满意、满意”的人数为：30+40＝70（人），
故答案为：70．
13．（3分）如图，正五边形ABCDE中，对角线AC与BE相交于点F，则∠AFE＝72度．
【分析】根据五边形的内角和公式求出∠EAB，根据等腰三角形的性质，三角形外角的性质计算即可．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠EAB＝∠ABC＝，
∵BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝36°，
同理∠ABE＝36°，
∴∠AFE＝∠ABF+∠BAF＝36°+36°＝72°．
故答案为：72
14．（3分）对于任意实数a、b，定义一种运算：a※b＝ab﹣a+b﹣2．例如，2※5＝2×5﹣2+5﹣2＝11．请根据上述的定义解决问题：若不等式3※x＜2，则不等式的正整数解是1．
【分析】根据新定义可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的正整数即可得出结论．
【解答】解：∵3※x＝3x﹣3+x﹣2＜2，
∴x＜，
∵x为正整数，
∴x＝1．
故答案为：1．
15．（3分）若一个圆锥的母线长是它底面圆半径的3倍，则它的侧面展开图的圆心角为120
度．
【分析】设圆锥的底面半径是r，则母线长即扇形的半径是3r，圆锥底面周长是2πr，根据弧长的公式l＝可得．
【解答】解：2πr＝，
解得n＝120°，
侧面展开图的圆心角为120度．
16．（3分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AC平分∠BAD，∠ABC＝60°，E为AD上一点，AE＝2，DE＝4，P为AC上一点，则△PDE周长的最小值为．
【分析】作点E关于AC的对称点E'，则E'在AB上，过E'作AD的垂线，垂足为F，则AE＝AE'＝2，进而得到AF＝AE'＝1，E'F＝，DF＝7，依据当E'，D，P在同一直线上时，PE+PD的最小值等于DE'的长，即可得到△PDE周长的最小值．
【解答】解：如图所示，作点E关于AC的对称点E'，连接PE'，则E'在AB上，过E'作AD的垂线，垂足为F，则AE＝AE'＝2，
∵AD∥BC，∠ABC＝60°，
∴∠BAF＝∠ABC＝60°，∠AE'F＝30°，
∴AF＝AE'＝1，E'F＝，DF＝7，
当E'，D，P在同一直线上时，PE+PD的最小值等于DE'的长，
此时，Rt△DE'F中，DE'＝＝＝2，
∴PE+PD的最小值等于2，
又∵DE＝4，
∴△PDE周长的最小值为，
故答案为：．
三、解答题（本题有9个小题，共72分）
17．（5分）计算：．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝
＝．
18．（6分）化简求值：，其中x＝﹣1．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
当x＝﹣1时，原式＝＝2+．
19．（7分）如图，AB，CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为60米，从建筑物AB的顶部A点测得建筑物CD的顶部C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°，求建筑物CD的高度．
【分析】作CF⊥AB于F，根据等腰直角三角形的性质得到BD＝AB＝60，根据正切的概念求出AF，结合图形计算即可．
【解答】解：作CF⊥AB于F，
则四边形BDCF为矩形，
∴CF＝BD，
∵∠ADB＝45°，
∴BD＝AB＝60米，
∴CF＝BD＝60米，
在Rt△AFC中，tan∠ACF＝，
AF＝FC×tan∠ACF＝60×＝20（米），
∴BF＝AB﹣AF＝60﹣20（米），
则CD＝BF＝（60﹣20）米，
答：建筑物CD的高度是（60﹣20）米．
20．（7分）只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数．我国数学家陈景润哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都表示为两个素数的和”．如10＝3+7．
（1）从7，11，13，17这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是11的概率是；
（2）从7，11，13，17这4个素数中随机抽取1个数，再从余下的3个数中随机抽取1个数，用画树状图或列表的方法，求抽到的两个素数之和等于24的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式计算可得；
（2）列表得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得．【解答】解：
（1）∵从7，11，13，17这4个素数中随机抽取一个，
∴抽到的数是11的概率是，
故答案为：；
（2）列表如下：
7111317
7*182024
1118*2428
132024*30
17242830*
由表可以看出，分别从这4个素数中随机抽取1个数，再从余下的3个数中随机抽取1个数，可能出现的结果有12种，并且他们出现的可能性相等，抽到的两个素数之和等于24的有4种情况．所以，抽到的两个素数之和等于24的概率为P＝．
21．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+6＝p（p+1）．
（1）请判断该方程实数根的情况；
（2）若原方程的两实数根为x1，x2，且满足x12+x22＝3p2+5，求p的值．
【分析】（1）方程整理为一般形式，表示出根的判别式，判断其正负即可得到结果；
（2）利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，已知等式变形后代入计算即可求出p的值．
【解答】（1）证明：原方程可变形为x2﹣5x+6﹣p2﹣p＝0，
∵△＝（﹣5）2﹣4（6﹣p2﹣p），
＝25﹣24+4p2+4p＝4p2+4p+1＝（2p+1）2，
∵无论p取何值，（2p+1）2≥0，
∴此方程总有两个实数根；
（2）解：由韦达定理知：x1+x2＝5，x1x2＝6﹣p2﹣p，
∵x12+x22＝3p2+5，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝3p2+5，
即52﹣2（6﹣p2﹣p）＝3p2+5，
∴p2﹣2p﹣8＝0，
解得：p＝﹣2或4，
∴p＝﹣2或4．
22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于D，过D作DE⊥AC交AC 延长线于点E，交AB延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若DE＝，tan∠BDF＝，求DF的长．
【分析】（1）连接OD，根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠DAE推出∠E＝∠ODF，根据平行线的性质得到∠ODF＝90°，于是得到结论；
（2）根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，求得∠BDF＝∠DAE，解直角三角形得到AB ＝6，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AD平分∠F AC，
∴∠BAD＝∠DAE
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠DAE＝∠ODA，
∴OD∥AE，
∴∠E＝∠ODF，
∵DE⊥AC，
∴∠E＝90°，
∴∠ODF＝90°，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADE+∠BDF＝90°，
∵∠E＝90°，
∴∠ADE+∠DAE＝90°
∴∠BDF＝∠DAE，
∵∠BAD＝∠DAE，
∴∠BDF＝∠DAE＝∠BAD，
∵tan∠BDF＝，
∴tan∠BDF＝tan∠DAE＝tan∠BAD＝，
∴，
∵DE＝，
∴AE＝，AD＝，
∴BD＝，
∴AB＝6，
又∠F＝∠F，∠BDF＝∠BAD，
∴△FBD∽△FDA，
∴，
∴DF＝2BF，FD2＝FB•F A，
∴（2BF）2＝BF•（FB+BA），又BA＝6，
∴BF＝2，
∴DF＝4．
23．（10分）某超市以20元/kg的价格购进一批商品进行销售，根据以往的销售经验及对市场行情的调研，该超市得到日销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间的关系，部分数据如下表：
销售价格x（元/kg）25303540…
日销售量y（kg）1000800600400…
（1）根据表中的数据，用所学过的函数知识确定y与x之间的函数关系式；
（2）超市应如何确定销售价格，才能使日销售利润W（元）最大？W最大值为多少？
（3）供货商为了促销，决定给予超市a元/kg的补贴，但希望超市在30≤x≤35时，最大利润不超过10240元，求a的最大值．
【分析】（1）观察表格符合一次函数，取2个点代入上式，即可求解；
（2）由题得W＝y（x﹣20），即可求解；
（3）由题得，W＝y（x﹣20+a）＝（﹣40x+2000）（x﹣20+a）＝﹣40x2+40（70﹣a）x ﹣2000（20﹣a），即可求解．
【解答】解：（1）观察表格，设y＝kx+b，得，，解得，
∴y＝﹣40x+2000．
检验：当x＝25时，y＝1000；当x＝35时，y＝600，符合上述函数式，
∴y＝﹣40x+2000；
（2）由题得W＝y（x﹣20）＝（﹣40x+2000）（x﹣20）＝﹣40（x﹣35）2+9000，∵﹣40＜0，
∴当x＝35时，W取最大值，最大值为9000．
即销售价格为35元时，日销售利润W最大，最大利润为9000（元）；
（3）由题得，W＝y（x﹣20+a）＝（﹣40x+2000）（x﹣20+a）＝﹣40x2+40（70﹣a）x ﹣2000（20﹣a），
对称轴，
若a≥10，则当x＝30时，y有最大值，即W＝800（10+a）＞10240（舍去），
若0＜a＜10，则当时，y有最大值，即W＝10（30+a）2≤10240，
∴0＜a≤2，
即a的最大值为2．
24．（10分）如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，将△COD绕点O逆时针旋转得到△EOF（旋转角为锐角），连接AE，BF，DF，则AE＝BF．
（1）如图2，若（1）中的正方形为矩形，其他条件不变．
①探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论；
②若BD＝7，AE＝4，求DF的长；
（2）如图3，若（1）中的正方形为平行四边形，其他条件不变，且BD＝10，AC＝6，AE＝5，请直接写出DF的长．
【分析】（1）①由矩形的性质得出OA＝OB＝OC＝OD，由旋转的性质证得OF＝OE，易证∠BOF＝∠AOE，由SAS证得△BOF≌△AOE，即可得出AE＝BF；
②由OB＝OD＝OF，得出∠BFD＝90°，由勾股定理即可得出结果DF；
（2）由平行四边形和旋转的性质得出OF＝OB＝OD，OE＝OA＝OC，易证∠BOF＝∠AOE，由＝＝1，得出△BOF∽△AOE，则＝，求出BF＝，证明△BFD 为直角三角形，则DF＝，即可得出结果．
【解答】解：（1）①AE与BF的数量关系为：AE＝BF；理由如下：
∵ABCD为矩形，
∴AC＝BD，OA＝OB＝OC＝OD，
∵△COD绕点O旋转得△EOF，
∴OC＝OE，OD＝OF，∠COE＝∠DOF，
∴OF＝OE，
∵∠BOD＝∠AOC＝180°，
∴∠BOD﹣∠DOF＝∠AOC﹣∠COE，
即∠BOF＝∠AOE，
在△BOF和△AOE中，，
∴△BOF≌△AOE（SAS），
∴AE＝BF；
②∵OB＝OD＝OF，
∴∠BFD＝90°
∴△BFD为直角三角形，
∴BF2+DF2＝BD2，
∴DF＝＝＝＝；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∵△COD绕点O旋转得△EOF，
∴OC＝OE，OD＝OF，∠COE＝∠DOF，
∴OF＝OB＝OD，OE＝OA＝OC，
∵∠BOD＝∠AOC＝180°，
∴∠BOD﹣∠DOF＝∠AOC﹣∠COE，
即∠BOF＝∠AOE，
∵＝＝1，
∴△BOF∽△AOE，
∴＝，
∵BD＝10，AC＝6，
∴OB＝5，OA＝3，
∴BF＝＝＝，
∵OB＝OD＝OF，
∴∠BFD＝90°
∴△BFD为直角三角形，
∴BF2+DF2＝BD2，
∴DF＝＝＝．
25．（12分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），C（0，3），交x轴于另一点B，其顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上一点，直线CP交x轴于点E，若△CAE与△OCD相似，求P点坐标；
（3）如果点F在y轴上，点M在直线AC上，那么在抛物线上是否存在点N，使得以C，F，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出菱形的周长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据待定系数法可求抛物线的解析式；
（2）分两种情况：①若△CAE∽△DCO；②若△CAE∽△OCD；进行讨论即可求解；（3）分两种情形：①若CF为对角线，则CF与NM互相垂直平分时，四边形CNFM为菱形；②若CF为菱形的一边，则MN∥CF，CM∥FN，NM＝NF时，四边形CNFM为菱形；进行讨论即可解决问题．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），C（0，3），
∴，
解得．
故此抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴顶点D（﹣1，4）．
∵A（﹣3，0），C（0，3），D（﹣1，4），
∴AC＝，OA＝OC＝3，CD＝，∠OCD＝∠CAE＝135°，
∴点E只能在A点左边．
①若△CAE∽△DCO，
则，
∴AE＝9，
∴OE＝12，
∴E（﹣12，0）．
∵C（0，3），
∴．
联立，
解得，（舍去），
∴P；
②若△CAE∽△OCD，
则，
∴AE＝2，
∴OE＝5，
∴E（﹣5，0）．
∵C（0，3），
∴．
联立，
解得，（舍去），
∴P．
因此，P或；
（3）在抛物线上存在点N，使得以C，F，M，N为顶点的四边形是菱形．
①若CF为对角线，则CF与NM互相垂直平分时，四边形CNFM为菱形，
∵∠NCF＝∠FCM＝∠ACO＝45°，
∴∠NCM＝90°，
∴CN⊥CM，四边形CNFM为正方形，
∴N点与顶点D重合，
∵D（﹣1，4），
∴N（﹣1，4），CN＝，
∴菱形CNFM的周长为；
②若CF为菱形的一边，则MN∥CF，CM∥FN，NM＝NF时，四边形CNFM为菱形．过F作FH⊥NM于H，设直线NM交x轴于G，N（m，﹣m2﹣2m+3），则M（m，m+3），G（m，0）．
∴NM＝|m+3﹣（﹣m2﹣2m+3）|＝|m2+3m|＝NF，
∵CM∥FN，∠ACO＝45°，
∴∠NFH＝∠FNH＝45°，
∴NF＝FH，
又∵FH＝OG＝|m|，
∴|m2+3m|＝|m|，
∴m＝﹣3﹣或m＝﹣3+，
∴NF＝，或NF＝，
∴菱形周长为或
因此，存在菱形，其周长为或或．。