2020年江苏省苏州市中考数学试卷(最全解析)

2020年江苏省苏州市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B 铅笔涂在答题卡相应位置上．
1．（3分）在下列四个实数中，最小的数是( )
A ．2-
B ．13
C ．0
D ．3
2．（3分）某种芯片每个探针单元的面积为20.00000164cm ，0.00000164用科学记数法可表示为( )
A ．51.6410-⨯
B ．61.6410-⨯
C ．716.410-⨯
D ．50.16410-⨯
3．（3分）下列运算正确的是( )
A ．236a a a =
B ．33a a a ÷=
C ．235()a a =
D ．2242()a b a b =
4．（3分）如图，一个几何体由5个相同的小正方体搭成，该几何体的俯视图是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
5．（3分）不等式213x -的解集在数轴上表示正确的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
6．（3分）某手表厂抽查了10只手表的日走时误差，数据如下表所示（单位：):s
日走时误差
0 1 2 3 只数
3 4 2 1
则这10只手表的平均日走时误差（单位：)s 是( )
A ．0
B ．0.6
C ．0.8
D ．1.1
7．（3分）如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB 的高度，他作了如下操作：（1）在点C 处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角ACE α∠=；
（2）量得测角仪的高度CD a =；
（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB b =．
利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为( )
A ．tan a b α+
B ．sin a b α+
C ．tan b a α+
D ．sin b a α
+ 8．（3分）如图，在扇形OAB 中，已知90AOB ∠=︒，2OA =，过AB 的中点C 作CD OA ⊥，CE OB ⊥，垂足分别为D 、E ，则图中阴影部分的面积为( )
A ．1π-
B ．12π
- C ．12π- D ．122
π
- 9．（3分）如图，在ABC ∆中，108BAC ∠=︒，将ABC ∆绕点A 按逆时针方向旋转得到△AB C ''．若点B '恰好落在BC 边上，且AB CB ''=，则C '∠的度数为( )
A ．18︒
B ．20︒
C ．24︒
D ．28︒
10．（3分）如图，平行四边形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，点(3,2)D 在对角线OB 上，反比例函数(0,0)k y k x x =>>的图象经过C 、D 两点．已知平行四边形OABC 的面积是152
，则点B 的坐标为( )
A ．8(4,)3
B ．9(2，3)
C ．10(5,)3
D ．24(5，16)5
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相应位置上．
11．（3分）使13
x -在实数范围内有意义的x 的取值范围是 ． 12．（3分）若一次函数36y x =-的图象与x 轴交于点(,0)m ，则m = ．
13．（3分）一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是 ．
14．（3分）如图，已知AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，连接OC 交O 于点D ，连接BD ．若40C ∠=︒，则B ∠的度数是 ︒．
15．（3分）若单项式122m x y -与单项式2113
n x y +是同类项，则m n += ． 16．（3分）如图，在ABC ∆中，已知2AB =，AD BC ⊥，垂足为D ，2BD CD =．若E 是AD 的中点，则EC = ．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为(4,0)-、(0,4)，点(3,)C n 在第一象限内，连接AC 、BC ．已知2BCA CAO ∠=∠，则n = ．
18．（3分）如图，已知MON ∠是一个锐角，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM 、ON 于点A 、B ，再分别以点A 、B 为圆心，大于12
AB 长为半径画弧，两弧交于点C ，画射线OC ．过点A 作//AD ON ，交射线OC 于点D ，过点D 作DE OC ⊥，交ON 于点E ．设10OA =，12DE =，则sin MON ∠= ．
三、解答题：本大题共10小题，共76分．把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B 铅笔或黑色墨水签字笔．
19．（5分）计算：209(2)(3)π+---．
20．（5分）解方程：2111
x x x +=--． 21．（6分）如图，“开心”农场准备用50m 的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为()a m ，宽为()b m ．
（1）当20a =时，求b 的值；
（2）受场地条件的限制，a 的取值范围为1826a ，求b 的取值范围．
22．（6分）为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园．某初中学校组织全校1200名学生参加了“垃圾分类知识竞赛”，为了解学生的答题情况，学校考虑采用简单随机抽样的方法抽取部分学生的成绩进行调查分析．
（1）学校设计了以下三种抽样调查方案：
方案一：从初一、初二、初三年级中指定部分学生成绩作为样本进行调查分析；
方案二：从初一、初二年级中随机抽取部分男生成绩及在初三年级中随机抽取部分女生成绩进行调查分析；
方案三：从三个年级全体学生中随机抽取部分学生成绩进行调查分析．
其中抽取的样本具有代表性的方案是 ．（填“方案一”、“方案二”或“方案三” )
（2）学校根据样本数据，绘制成下表(90分及以上为“优秀”，60分及以上为“及格” ):
样本容量
平均分 及格率 优秀率 最高分 最低分 100 93.5 100% 70% 100 80
分数段统计（学生成绩记为)x
分数段
080x < 8085x < 8590x < 9095x < 95100x 频数 0 5 25 30 40
请结合表中信息解答下列问题：
①估计该校1200名学生竞赛成绩的中位数落在哪个分数段内；
②估计该校1200名学生中达到“优秀”的学生总人数．
23．（8分）在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字0、1、2，它们除数字外都相同．小明先从布袋中任意摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点A 的横坐标，将此球放回、搅匀，再从布袋中任意摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点A 的纵坐标．请用树状图或表格列出点A 所有可能的坐标，并求出点A 在坐标轴上的概率．
24．（8分）如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，DF AE ⊥，垂足为F ．
（1）求证：ABE DFA ∆∆∽；
（2）若6AB =，4BC =，求DF 的长．
25．（8分）如图，二次函数2y x bx =+的图象与x 轴正半轴交于点A ，平行于x 轴的直线l 与该抛物线交于B 、C 两点（点B 位于点C 左侧），与抛物线对称轴交于点(2,3)D -．
（1）求b 的值；
（2）设P 、Q 是x 轴上的点（点P 位于点Q 左侧），四边形PBCQ 为平行四边形．过点P 、Q 分别作x 轴的垂线，与抛物线交于点1(P x '，1)y 、2(Q x '，2)y ．若12||2y y -=，求1x 、2x 的值．
26．（10分）问题1：如图①，在四边形ABCD中，90
B C
∠=∠=︒，P是BC上一点，PA PD
=，90
APD
∠=︒．求证：AB CD BC
+=．
问题2：如图②，在四边形ABCD中，45
B C
∠=∠=︒，P是BC上一点，PA PD
=，
90 APD
∠=︒．求AB CD
BC
+
的值．
27．（10分）某商店代理销售一种水果，六月份的销售利润y（元)与销售量()
x kg之间函数关系的图象如图中折线所示．请你根据图象及这种水果的相关销售记录提供的信息，解答下列问题：
（1）截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利多少元？
（2）求图象中线段BC所在直线对应的函数表达式．
日期销售记录
6月1日库存600kg，成本价8元/kg，售价10元/kg（除了促销降价，其他时间售价保持不变）．
6月9
日
从6月1日至今，一共售出200kg．
6月10、11日这两天以成本价促销，之后售价恢复到10元
/kg．
6月12
日
补充进货200kg，成本价8.5元/kg．
6月30
日
800kg水果全部售完，一共获利1200元．
28．（10分）如图，已知90
MON
∠=︒，OT是MON
∠的平分线，A是射线OM上一点，8
OA cm
=．动点P从点A出发，以1/
cm s的速度沿AO水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以1/
cm s的速度沿ON竖直向上作匀速运动．连接PQ，交OT于点B．经过O、P、Q三点作圆，交OT于点C，连接PC、QC．设运动时间为()
t s，其中08
t<<．（1）求OP OQ
+的值；
（2）是否存在实数t，使得线段OB的长度最大？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（3）求四边形OPCQ的面积．
2020年江苏省苏州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B 铅笔涂在答题卡相应位置上．
1．（3分）在下列四个实数中，最小的数是( )
A ．2-
B ．13
C ．0
D ．3
【分析】将2-，13
，0，3在数轴上表示，根据数轴表示数的大小规律可得答案． 【解答】解：将2-，13
，0，3在数轴上表示如图所示：
于是有12033
-<<
< 故选：A ．
【点评】本题考查实数的大小比较，数轴表示数，掌握实数大小比较的方法是解决问题的关键．
2．（3分）某种芯片每个探针单元的面积为20.00000164cm ，0.00000164用科学记数法可表示为( )
A ．51.6410-⨯
B ．61.6410-⨯
C ．716.410-⨯
D ．50.16410-⨯ 【分析】根据负指数次幂的意义，将一个较小的数写成10n a ⨯的形式，其中010a <<，n 为整数即可．
【解答】解：60.00000164 1.6410-=⨯，
故选：B ．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小数的方法，写成10n a ⨯的形式是关键．
3．（3分）下列运算正确的是( )
A ．236a a a =
B ．33a a a ÷=
C ．235()a a =
D ．2242()a b a b =
【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方，积的乘方的意义和计算方法，分别进行计算，做出判断和选择．
【解答】解：23235a a a a +==，因此选项A 不符合题意；
3312a a a a -÷==，因此选项B 不符合题意；
23236()a a a ⨯==；因此选项C 不符合题意；
2242()a b a b =，因此选项D 符合题意；
故选：D ．
【点评】本题考查同底数幂的乘除法、幂的乘方，积的乘方的意义和计算方法，掌握计算法则是正确计算的前提．
4．（3分）如图，一个几何体由5个相同的小正方体搭成，该几何体的俯视图是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】根据俯视图是从上面看到的图形结合几何体判定则可．
【解答】解：从上面看，是一行三个小正方形．
故选：C ．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
5．（3分）不等式213x -的解集在数轴上表示正确的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】解：移项得，231x +，
合并同类项得，24x ，
x 的系数化为1得，2x ．
在数轴上表示为：
．
故选：C ．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心原点与空心原点的区别是解答此题的关键．
6．（3分）某手表厂抽查了10只手表的日走时误差，数据如下表所示（单位：):s 日走时误差 0 1 2 3 只数 3 4 2 1
则这10只手表的平均日走时误差（单位：)s 是( )
A ．0
B ．0.6
C ．0.8
D ．1.1
【分析】利用加权平均数的计算方法进行计算即可．
【解答】解：142231 1.13421
x ⨯+⨯+⨯=
=+++， 故选：D ．
【点评】本题考查加权平均数的意义和计算方法，掌握计算方法是正确计算的前提．
7．（3分）如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB 的高度，他作了如下操作：（1）在点C 处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角ACE α∠=；
（2）量得测角仪的高度CD a =；
（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB b =．
利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为( )
A ．tan a b α+
B ．sin a b α+
C ．tan b a α+
D ．sin b a α
+ 【分析】过C 作CF AB ⊥于F ，则四边形BFCD 是矩形，根据三角函数的定义即可得到结
论．
【解答】解：过C 作CF AB ⊥于F ，则四边形BFCD 是矩形，
BF CD a ∴==，CF BD b ==，
ACF α∠=，
tan AF AF CF b
α∴==， tan AF b α∴=，
tan AB AF BF a b α∴=+=+，
故选：A ．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的定义，并根据题意构建合适的直角三角形是解题的关键．
8．（3分）如图，在扇形OAB 中，已知90AOB ∠=︒，2OA =，过AB 的中点C 作CD OA ⊥，CE OB ⊥，垂足分别为D 、E ，则图中阴影部分的面积为( )
A ．1π-
B ．12π
- C ．12π- D ．122
π
- 【分析】根据矩形的判定定理得到四边形CDOE 是矩形，连接OC ，根据全等三角形的性质得到OD OE =，得到矩形CDOE 是正方形，根据扇形和正方形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：CD OA ⊥，CE OB ⊥，
90CDO CEO AOB ∴∠=∠=∠=︒，
∴四边形CDOE 是矩形，
连接OC ，
点C 是AB 的中点，
AOC BOC ∴∠=∠，
OC OC =，
()COD COE AAS ∴∆≅∆，
OD OE ∴=，
∴矩形CDOE 是正方形， 2OC OA ==，
1OE ∴=，
∴图中阴影部分的面积9021113602
ππ⨯=-⨯=-， 故选：B ．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确识别图形是解题的关键．
9．（3分）如图，在ABC ∆中，108BAC ∠=︒，将ABC ∆绕点A 按逆时针方向旋转得到△AB C ''．若点B '恰好落在BC 边上，且AB CB ''=，则C '∠的度数为( )
A ．18︒
B ．20︒
C ．24︒
D ．28︒
【分析】由旋转的性质可得C C '∠=∠，AB AB '=，由等腰三角形的性质可得C CAB '∠=∠，B AB B '∠=∠，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解．
【解答】解：AB CB ''=，
C CAB '∴∠=∠，
2AB B C CAB C ''∴∠=∠+∠=∠，
将ABC ∆绕点A 按逆时针方向旋转得到△AB C ''，
C C '∴∠=∠，AB AB '=，
2B AB B C '∴∠=∠=∠，
180B C CAB ∠+∠+∠=︒，
3180108C ∴∠=︒-︒，
24C ∴∠=︒，
24C C '∴∠=∠=︒，
故选：C ．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些的性质解决问题是本题的关键．
10．（3分）如图，平行四边形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，点(3,2)D 在对角线OB 上，反比例函数(0,0)k y k x x =>>的图象经过C 、D 两点．已知平行四边形OABC 的面积是152
，则点B 的坐标为( )
A ．8(4,)3
B ．9(2，3)
C ．10(5,)3
D ．24(5，16)5
【分析】求出反比例函数6y x =
，设OB 的解析式为y mx b =+，由OB 经过点(0,0)O 、(3,2)D ，得出OB 的解析式为23y x =，设6(,)C a a ，且0a >，由平行四边形的性质得//BC OA ，2OBC OABC S S ∆=平行四边形，则9(B a ，6)a ，9BC a a
=-，代入面积公式即可得出结果． 【解答】解：反比例函数(0,0)k y k x x
=>>的图象经过点(3,2)D ， 23
k ∴=， 6k ∴=，
∴反比例函数6y x
=， 设OB 的解析式为y mx b =+， OB 经过点(0,0)O 、(3,2)D ，
∴023b m b =⎧⎨=+⎩
， 解得：230
m b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，
OB ∴的解析式为23
y x =， 反比例函数6y x =
经过点C ， ∴设6
(,)C a a ，且0a >，
四边形OABC 是平行四边形，
//BC OA ∴，2OBC OABC S S ∆=平行四边形，
∴点B 的纵坐标为6a
， OB 的解析式为23y x =
， 9(B a ∴，6)a
， 9BC a a
∴=-， 169()2OBC S a a a
∆∴=⨯⨯-， 169152()22
a a a ∴⨯⨯⨯-=， 解得：2a =，
9(2
B ∴，3)， 故选：B ．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的性质、三角形面积计算等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相应位置上．
11．（3
在实数范围内有意义的x 的取值范围是 1x ．
【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得，10x -，
解得，1x ，
故答案为：1x ．
【点评】本题考查了二次根式的意义和性质，二次根式中的被开方数必须是非负数．
12．（3分）若一次函数36y x =-的图象与x 轴交于点(,0)m ，则m = 2 ．
【分析】把点(,0)m 代入36y x =-即可求得m 的值．
【解答】解：一次函数36y x =-的图象与x 轴交于点(,0)m ，
360m ∴-=，
解得2m =，
故答案为2．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
13．（3分）一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是 38
．
【分析】若将每个小正方形的面积记为1，则大正方形的面积为16，其中阴影部分的面积为6，再根据概率公式求解可得．
【解答】解：若将每个小正方形的面积记为1，则大正方形的面积为16，其中阴影部分的面积为6，
所以该小球停留在黑色区域的概率是
63168
=， 故答案为：38． 【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
14．（3分）如图，已知AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，连接OC 交O 于点D ，连接BD ．若40C ∠=︒，则B ∠的度数是 25 ︒．
【分析】先根据切线的性质得90OAC ∠=︒，再利用互余计算出9050AOC C ∠=︒-∠=︒，由
于OBD ODB ∠=∠，利用三角形的外角性质得1252
OBD AOC ∠=∠=︒． 【解答】解：
AC 是O 的切线，
OA AC ∴⊥， 90OAC ∴∠=︒，
90904050AOC C ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，
OB OD =，
OBD ODB ∴∠=∠，
而AOC OBD ODB ∠=∠+∠，
1252
OBD AOC ∴∠=∠=︒， 即ABD ∠的度数为25︒，
故答案为：25．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的性质．
15．（3分）若单项式122m x y -与单项式2113
n x y +是同类项，则m n += 4 ． 【分析】根据同类项的意义，列方程求解即可．
【解答】解：单项式122m x y -与单项式2113
n x y +是同类项， ∴1212m n -=⎧⎨+=⎩
， 4m n ∴+=，
故答案为：4．
【点评】本题考查同类项的意义，理解同类项的意义是正确解答的前提．
16．（3分）如图，在ABC ∆中，已知2AB =，AD BC ⊥，垂足为D ，2BD CD =．若E 是AD 的中点，则EC = 1 ．
【分析】设AE ED x ==，CD y =，根据勾股定理即可求出答案．
【解答】解：设AE ED x ==，CD y =，
2BD y ∴=，
AD BC ⊥，
90ADB ADC ∴∠=∠=︒，
在Rt ABD ∆中，
22244AB x y ∴=+，
221x y ∴+=，
在Rt CDE ∆中，
2221EC x y ∴=+=，
1EC ∴=，
故答案为：1
【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为(4,0)-、(0,4)，点(3,)C n 在第一象限内，连接AC 、BC ．已知2BCA CAO ∠=∠，则n = 145
．
【分析】作CD x ⊥轴于D ，CE y ⊥轴于E ，则4BE n =-，3CE =，CD n =，7AD =，根据平行线的性质得出ECA CAO ∠=∠，根据题意得出BCE CAO ∠=∠，通过解直角三角形得到tan tan CD BE CAO BCE AD CE ∠==∠=，即可得到4343
n n -=+，解得即可． 【解答】解：作CD x ⊥轴于D ，CE y ⊥轴于E ，
点A 、B 的坐标分别为(4,0)-、(0,4)，点(3,)C n 在第一象限内，则(0,)E n ，(3,0)D ， 4BE n ∴=-，3CE =，CD n =，7AD =，
//CE OA ，
ECA CAO ∴∠=∠，
2BCA CAO ∠=∠，
BCE CAO ∴∠=∠，
在Rt CAD ∆中，tan CD CAO AD ∠=
，在Rt CBE ∆中，tan BE BCE CE ∠=， ∴CD BE AD CE =，即4343
n n -=+， 解得145
n =， 故答案为
145．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质，平行线的性质，解直角三角形等，求得
BCE CAO ∠=∠，得出CD BE AD CE =是解题的关键． 18．（3分）如图，已知MON ∠是一个锐角，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM 、ON 于点A 、B ，再分别以点A 、B 为圆心，大于12
AB 长为半径画弧，两弧交于点C ，画射线OC ．过点A 作//AD ON ，交射线OC 于点D ，过点D 作DE OC ⊥，交ON 于点E ．设10OA =，12DE =，则sin MON ∠= 2425
．
【分析】如图，连接DB ，过点D 作DH ON ⊥于H ．首先证明四边形AOBD 是菱形，解直角三角形求出DH 即可解决问题．
【解答】解：如图，连接DB ，过点D 作DH ON ⊥于H ．
由作图可知，AOD DOE ∠=∠，OA OB =，
//AD EO ，
ADO DOE ∴∠=∠，
AOD ADO ∴∠=∠，
AO AD ∴=，
AD OB ∴=，//AD OB ，
∴四边形AOBD 是平行四边形，
OA OB =，
∴四边形AOBD 是菱形，
10OB BD OA ∴===，//BD OA ，
MON DBE ∴∠=∠，BOD BDO ∠=∠，
DE OD ⊥，
90BOD DEO ∴∠+∠=︒，90ODB BDE ∠+∠=︒，
BDE BED ∴∠=∠，
10BD BE ∴==， 220OE OB ∴==，
16OD ∴===， DH OE ⊥， 161248
205
OD DE DH EO ⨯∴=
==
， 48
24
5sin sin 1025
DH MON DBH DB ∴∠=∠===
． 故答案为
2425
． 【点评】本题考查作图-复杂作图，平行线的性质，角平分线的定义，菱形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 三、解答题：本大题共10小题，共76分．把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B 铅笔或黑色墨水签字笔．
19．（520(2)(3)π+---．
【分析】根据实数的计算法则进行计算即可，如何不为0的零次幂为1．
【解答】20(2)(3)π---． 341=+-， 6=．
【点评】本题考查零次幂的性质、实数的运算，掌握计算法则是正确计算的前提． 20．（5分）解方程：
2
111
x x x +=
--． 【分析】根据解分式方程的步骤解答即可．
【解答】解：方程的两边同乘1x -，得(1)2x x +-=， 解这个一元一次方程，得3
2
x =， 经检验，3
2
x =
是原方程的解． 【点评】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握把分式方程转化为整式方程是解答本题的关
键．
21．（6分）如图，“开心”农场准备用50m 的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为()a m ，宽为()b m ． （1）当20a =时，求b 的值；
（2）受场地条件的限制，a 的取值范围为1826a ，求b 的取值范围．
【分析】（1）由护栏的总长度为50m ，可得出关于b 的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）由a 的取值范围结合502a b =-，即可得出关于b 的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）依题意，得：20250b +=， 解得：15b =．
（2）1826a ，502a b =-， ∴5021850226b b -⎧⎨-⎩
，
解得：1216b ．
答：b 的取值范围为1216b ．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
22．（6分）为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园．某初中学校组织全校1200名学生参加了“垃圾分类知识竞赛”，为了解学生的答题情况，学校考虑采用简单随机抽样的方法抽取部分学生的成绩进行调查分析． （1）学校设计了以下三种抽样调查方案：
方案一：从初一、初二、初三年级中指定部分学生成绩作为样本进行调查分析；
方案二：从初一、初二年级中随机抽取部分男生成绩及在初三年级中随机抽取部分女生成绩进行调查分析；
方案三：从三个年级全体学生中随机抽取部分学生成绩进行调查分析．
其中抽取的样本具有代表性的方案是方案三．（填“方案一”、“方案二”或“方案三”)
（2）学校根据样本数据，绘制成下表(90分及以上为“优秀”，60分及以上为“及格”):
080
x<8085
x<8590
x<9095
x<
052530
请结合表中信息解答下列问题：
①估计该校1200名学生竞赛成绩的中位数落在哪个分数段内；
②估计该校1200名学生中达到“优秀”的学生总人数．
【分析】（1）工具抽样的代表性、普遍性和可操作性可知，方案三符合题意；
（2）①根据样本的中位数，估计总体中位数所在的范围；
②样本中“优秀”人数占调查人数的3040
100
+
，因此估计总体1200人的70%是“优秀”．
【解答】解：（1）根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可得，方案三：从三个年级全体学生中随机抽取部分学生成绩进行调查分析，是最符合题意的．
故答案为：方案三；
（2）①样本100人中，成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都在9095
x<，因此中位数在9095
x<组中；
②由题意得，120070%840
⨯=（人)，
答：该校1200名学生中达到“优秀”的有840人．
【点评】考查平均数、中位数的意义和计算方法，样本估计总体是统计中常用的方法．23．（8分）在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字0、1、2，它们除数字外都相同．小明先从布袋中任意摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点A的横坐标，将此球放回、搅匀，再从布袋中任意摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点A的纵坐标．请用树状图或表格列出点A所有可能的坐标，并求出点A在坐标轴上的概率．
【分析】用树状图或列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率．【解答】解：用列表格法表示点A所有可能的情况如下：
共有9种可能出现的结果，其中点A在坐标轴上有5种，
P
∴（点A在坐标轴上）
5
9 =．
【点评】考查树状图或列表法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果是解决问题的关键．
24．（8分）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF AE
⊥，垂足为F．
（1）求证：ABE DFA
∆∆
∽；
（2）若6
AB=，4
BC=，求DF的长．
【分析】（1）由矩形性质得//
AD BC，进而由平行线的性质得AEB DAF
∠=∠，再根据两角对应相等的两个三角形相似；
（2）由E是BC的中点，求得BE，再由勾股定理求得AE，再由相似三角形的比例线段求得DF．
【解答】解：（1）四边形ABCD是矩形，
//
AD BC
∴，90
B
∠=︒，
DAF AEB
∴∠=∠，
DF AE
⊥，
90
AFD B
∴∠=∠=︒，
ADF EAB
∴∆∆
∽，
ABE DFA ∴∆∆∽；
（2）
E 是BC 的中点，4BC =，
2BE ∴=，
6AB =，
222262210AE AB BE ∴=+=+=， 四边形ABCD 是矩形， 4AD BC ∴==，
ABE DFA ∆∆∽，
∴
AB AE
DF AD
=
， ∴646
105
210AB AD DF AE ⨯===．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是证明三角形相似．
25．（8分）如图，二次函数2y x bx =+的图象与x 轴正半轴交于点A ，平行于x 轴的直线l 与该抛物线交于B 、C 两点（点B 位于点C 左侧），与抛物线对称轴交于点(2,3)D -． （1）求b 的值；
（2）设P 、Q 是x 轴上的点（点P 位于点Q 左侧），四边形PBCQ 为平行四边形．过点P 、Q 分别作x 轴的垂线，与抛物线交于点1(P x '，1)y 、2(Q x '，2)y ．若12||2y y -=，求1x 、2
x 的值．
【分析】（1）抛物线的对称轴为2x =，即1
22
b =，解得：4b =-，即可求解；
（2）求出点B 、C 的坐标分别为(1,3)-、(3,3)-，则2BC =，而四边形PBCQ 为平行四边形，则2PQ BC ==，故212x x -=，即可求解．
【解答】解：（1）直线与抛物线的对称轴交于点(2,3)D -， 故抛物线的对称轴为2x =，即1
22
b =，解得：4b =-，
故抛物线的表达式为：24y x x =-；
（2）把3y =-代入24y x x =-并解得1x =或3， 故点B 、C 的坐标分别为(1,3)-、(3,3)-，则2BC =， 四边形PBCQ 为平行四边形， 2PQ BC ∴==，故212x x -=，
又
21114y x x =-，2
2224y x x =-，12||2y y -=，
故22
112
2|(4)(4)2x x x x ---=，12|4|1x x +-=． 125x x ∴+=或123x x +=-，
由211225x x x x -=⎧⎨+=⎩，解得1232
72
x x ⎧
=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩；
由211223x x x x -=⎧⎨+=⎩，解得1212
52
x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩．
【点评】本题考查的是抛物线与x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 26．（10分）问题1：如图①，在四边形ABCD 中，90B C ∠=∠=︒，P 是BC 上一点，PA PD =，90APD ∠=︒．求证：AB CD BC +=．
问题2：如图②，在四边形ABCD 中，45B C ∠=∠=︒，P 是BC 上一点，PA PD =，90APD ∠=︒．求
AB CD
BC
+的值．
【分析】（1）由“AAS ”可知BAP CPD ∆≅∆，可得BP CD =，AB PC =，可得结论； （2）过点A 作AE BC ⊥于E ，过点D 作DF BC ⊥于F ，由（1）可知EF AE DF =+，由等腰直角三角形的性质可得BE AE =，CF DF =，2AB AE =，2CD DF =，即可求解． 【解答】证明：（1）90B APD ∠=∠=︒， 90BAP APB ∴∠+∠=︒，90APB DPC ∠+∠=︒， BAP DPC ∴∠=∠，
又PA PD =，90B C ∠=∠=︒， ()BAP CPD AAS ∴∆≅∆， BP CD ∴=，AB PC =， BC BP PC AB CD ∴=+=+；
（2）如图2，过点A 作AE BC ⊥于E ，过点D 作DF BC ⊥于F ，
由（1）可知，EF AE DF
=+，
45
B C
∠=∠=︒，AE BC
⊥，DF BC
⊥，
45
B BAE
∴∠=∠=︒，45
C CDF
∠=∠=︒，
BE AE
∴=，CF DF
=
，AB=
，CD=，2()
BC BE EF CF AE DF
∴=++=+，
∴
2
AB CD
BC
+
==．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
27．（10分）某商店代理销售一种水果，六月份的销售利润y（元)与销售量()
x kg之间函数关系的图象如图中折线所示．请你根据图象及这种水果的相关销售记录提供的信息，解答下列问题：
（1）截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利多少元？
（2）求图象中线段BC所在直线对应的函数表达式．
【分析】（1）由表格信息可知，从6月1日到6月9日，成本价8元/kg ，售价10元/kg ，一共售出200kg ，根据利润=每千克的利润⨯销售量列式计算即可；
（2）设B 点坐标为(,400)a ，根据题意列方程求出点B 的坐标，设线段BC 所在直线对应的函数表达式为y kx b =+，利用待定系数法解答即可． 【解答】解：（1）200(108)400⨯-=（元)
答：截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利400元；
（2）设点B 坐标为(,400)a ，根据题意得： (108)(600)(108.5)2001200400a -⨯-+-⨯=-，
解这个方程，得350a =，
∴点B 坐标为(350,400)，
设线段BC 所在直线对应的函数表达式为y kx b =+，则： 3504008001200k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得169
20009k b ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
， ∴线段BC 所在直线对应的函数表达式为162000
99
y x =
-
． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用一次函数的性质解答．
28．（10分）如图，已知90MON ∠=︒，OT 是MON ∠的平分线，A 是射线OM 上一点，8OA cm =．动点P 从点A 出发，以1/cm s 的速度沿AO 水平向左作匀速运动，与此同时，
动点Q 从点O 出发，也以1/cm s 的速度沿ON 竖直向上作匀速运动．连接PQ ，交OT 于点B ．经过O 、P 、Q 三点作圆，交OT 于点C ，连接PC 、QC ．设运动时间为()t s ，其中08t <<． （1）求OP OQ +的值；
（2）是否存在实数t ，使得线段OB 的长度最大？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．
（3）求四边形OPCQ 的面积．
【分析】（1）由题意得出8OP t =-，OQ t =，则可得出答案；
（2）如图，过点B 作BD OP ⊥，垂足为D ，则//BD OQ ．设线段BD 的长为x ，则BD OD x ==，22OB BD x ==，8PD t x =--，得出
PD BD OP OQ =，则88t x x
t t
--=-，解出
2
88
t t x -=．由二次函数的性质可得出答案； （3）证明PCQ ∆是等腰直角三角形．则21122122224
PCQ S PC QC PQ PQ PQ ∆=
=⨯=．在Rt POQ ∆中，22222(8)PQ OP OQ t t =+=-+．由四边形OPCQ 的面积POQ PCQ S S S ∆∆=+可得
出答案．
【解答】解：（1）由题意可得，8OP t =-，OQ t =， 88()OP OQ t t cm ∴+=-+=．
（2）当4t =时，线段OB 的长度最大．
如图，过点B 作BD OP ⊥，垂足为D ，则//BD OQ ．
OT 平分MON ∠， 45BOD OBD ∴∠=∠=︒， BD OD ∴=，2OB BD =．
设线段BD的长为x，则BD OD x
==
，OB=，8
PD t x
=--，
//
BD OQ，
∴PD BD OP OQ
=，
∴8
8
t x x
t t
--
=
-
，
2
8
8
t t
x
-
∴=．
2
2
8
4)
8
t t
OB t
-
∴==-+
当4
t=时，线段OB的长度最大，最大为．
（3）90
POQ
∠=︒，
PQ
∴是圆的直径．
90
PCQ
∴∠=︒．
45
PQC POC
∠=∠=︒，
PCQ
∴∆是等腰直角三角形．
2
11221
22224
PCQ
S PC QC PQ PQ PQ
∆
∴==⨯=．
在Rt POQ
∆中，22222
(8)
PQ OP OQ t t
=+=-+．
∴四边形OPCQ的面积2
11
24
POQ PCQ
S S S OP OQ PQ
∆∆
=+=+，
22
11
(8)[(8)]
24
t t t t
=-+-+，
22
11
416416
22
t t t t
=-++-=．
∴四边形OPCQ的面积为2
16cm．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理，三角形的面积，二次函数的性质等知识，熟练掌握圆的性质定理是解题的关键．
第31页（共31页）。