轮专题：极限与导数

极限与导数

● 高考风向标

数学归纳法、数学归纳法应用举例，数列的极限．函数的极限，极限的四则运算，函数的连续性，闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．

导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数．两个函数的和、差、积、商的导数，复合函数的导数，基本导数公式．利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值．

● 典型题选讲

例１求函数2

4

1)1ln()(x x x f -

+=在[0，2]上的最大值和最小值. 讲解 我们知道，在闭区间上连续函数有最大值和最小值，于是，应用导数得

,2111)(x x x f -+=

' 令 ,02

111=-+x x 化简为 ,022

=-+x x 解得122(),1x x =-=舍去．

当)(,0)(,10x f x f x >'<≤时单调增加；当)(,0)(,21x f x f x <'≤<时单调减少．

所以4

1

2ln )1(-

=f 为函数)(x f 的极大值． 又因为),2()1(,013ln )2(,0)0(f f f f >>-== 所以 0)0(=f 为函数)(x f 在[0，2]上的最小值，4

1

2ln )1(-

=f 为函数)(x f 在[0，2]上的最大值． 点评 本小题主要考查函数的导数计算，利用导数讨论函数的性质，判断函数的最大值、最小值以及综合运算能力．

例２设函数()(1)(),(1)f x x x x a a =-->

（1）求导数/

()f x ; 并证明()f x 有两个不同的极值点12,x x ; （2）若不等式12()()0f x f x +≤成立，求a 的取值范围．

讲解 （I ）.)1(23)(2

a x a x x f ++-='

)(,;0)(,;0)(,:)())((3)(,,,04)1(4.

0)1(23,0)(221121212

122>'><'<<<'<'--='<>≥+-=∆=++-='x f x x x f x x x x f x x x f x x x x x f x x x x a a a a x a x x f 时当时当时当的符号如下可判断由不妨设故方程有两个不同实根因得方程令

因此1x 是极大值点，2x 是极小值点.

（II ）因故得不等式,0)()(21≤+x f x f

.

0)(]2))[(1(]3))[((.

0)())(1(21212

212122121212

2213231≤++-++--++≤++++-+x x a x x x x a x x x x x x x x a x x a x x 即

又由（I ）知

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧=+=+.3),1(3

22121a x x a x x 代入前面不等式，两边除以（1+a ），并化简得

.

0)()(,2,)(2

1

2.

0252212成立不等式时当因此舍去或解不等式得

≤+≥≤

≥≥+-x f x f a a a a a 点评 本题是２００４年重庆高考第２０题．我们可以看到由于导数的引入，使得三次函数成为高考命题的热点内容之一．

例３ 设函数f x x ln x m =-+（）（）， 其中常数m 为整数． (1) 当m 为何值时, 0f

x ≥（）； (2) 定理： 若函数g(x) 在[a, b ]上连续,且g(a) 与g(b)异号,则至少存在一点

x 0∈(a,b),使g(x 0)=0.

试用上述定理证明:当整数m>1时,方程f(x)= 0,在[e -ｍ-m ,e 2ｍ

-m ]内有两个实根． 讲解 （１）函数f(x)=x-ln(x+m),x ∈(-m,+∞)连续，且

m x x f m

x x f -==+-

=1,0)(,1

1)(''得令． 当x ∈(-m,1-m)时, ()'

0f

x <，f(x)为减函数,

f(x)>f(1-m)；

当x ∈(1-m, +∞)时, ()'

0f

x >，f(x)为增函数,

f(x)>f(1-m)．

根据函数极值判别方法，f(1-m)=1-m 为极小值，而且 对x ∈(-m, +∞)都有f(x)≥f(1-m)=1-m ， 故当整数m ≤1时，f(x) ≥1-m ≥0．

(２)由（I ）知，当整数m>1时，f(1-m)=1-m<0, 函数f(x)=x-ln(x+m),在]1,[m m e

m

--- 上为连续减函数．

,

)1()(,10)ln()(异号与时当整数m f m e

f m e m m e m e m e f m

m m m m -->>=+---=------，

由所给定理知，存在唯一的0)(),1,(11=--∈-x f m m e

x m

使，而当整数m>1时，

2222(21)

()3(11)31230,

2

(1211,)m m m m m f e m e m m m m m m --=->+->++

->>⇒->上述不等式也可用数学归纳法证明 类似地，当整数m>1时，函数f(x)=x-ln(x+m),在],1[m e m m

--- 上为连续增函数且

f(1-m)与

)(2m e f m -异号，由所给定理知，存在唯一的

0)(],,,1[22=--∈-x f m e m x m 使，

故当m>1时，方程f(x)=0在],[2m e m e

m m

---内有两个实根．

点评 本题是２００４年广东高考第２１题，试题当中的定理是高等数学中的基本知识，这种给出新的情景，由此来考查学习的潜能，需要读者在复习数学多多重视．

例４ （1）),0(∞+∈x 求证

x x x x 11ln 11<+<+； （2）N n ∈ 2≥n 求证 1

1

211ln 13121-+++<<+++n n n ．

讲解 想办法构造函数，妙用导数知识来证明不等式．

（1）令t x =+

11， 由 0>x 知1>t ， 1

1

-=

t x ． 于是，原不等式等价于1

1ln 1t t t

-<<-．

一方面，令 t t t f ln 1)(--=， 则有t

t f 1

1)(-='，当),1(∞+∈t ，有

0)(>'t f 从而可以知道，函数()f t 在),1(∞+∈t 上是递增函数，所以有0)1()(=>f t f ，即得 t t ln 1>- ．

另一面，令 t t t g 11ln )(+-= ，则有 221

11)(t

t t t t g -=-=

'，当),1(∞+∈t 时，有0)(>'t g ，从而可以知道，函数()g t 在),1(∞+∈t 上是递增函数，所以有

0)1()(=>g t g ，即得t

t 1

1ln ->．

综上可知

x

x x x 11ln 11<+<+． （2）联系不等式（１）和（２），就会发现，令1,2,

,1x n =- 时，不等式

x

x x x 1

1ln 11<+<+也成立，于是代入，将所得各不等式相加，得