轮专题：极限与导数

极限与导数● 高考风向标数学归纳法、数学归纳法应用举例，数列的极限．函数的极限，极限的四则运算，函数的连续性，闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数．两个函数的和、差、积、商的导数，复合函数的导数，基本导数公式．利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值．● 典型题选讲例１求函数241)1ln()(x x x f -+=在[0，2]上的最大值和最小值. 讲解 我们知道，在闭区间上连续函数有最大值和最小值，于是，应用导数得,2111)(x x x f -+=' 令 ,02111=-+x x 化简为 ,022=-+x x 解得122(),1x x =-=舍去．当)(,0)(,10x f x f x >'<≤时单调增加；当)(,0)(,21x f x f x <'≤<时单调减少．所以412ln )1(-=f 为函数)(x f 的极大值． 又因为),2()1(,013ln )2(,0)0(f f f f >>-== 所以 0)0(=f 为函数)(x f 在[0，2]上的最小值，412ln )1(-=f 为函数)(x f 在[0，2]上的最大值． 点评 本小题主要考查函数的导数计算，利用导数讨论函数的性质，判断函数的最大值、最小值以及综合运算能力．例２设函数()(1)(),(1)f x x x x a a =-->（1）求导数/()f x ; 并证明()f x 有两个不同的极值点12,x x ; （2）若不等式12()()0f x f x +≤成立，求a 的取值范围．讲解 （I ）.)1(23)(2a x a x x f ++-=')(,;0)(,;0)(,:)())((3)(,,,04)1(4.0)1(23,0)(221121212122>'><'<<<'<'--='<>≥+-=∆=++-='x f x x x f x x x x f x x x f x x x x x f x x x x a a a a x a x x f 时当时当时当的符号如下可判断由不妨设故方程有两个不同实根因得方程令因此1x 是极大值点，2x 是极小值点.（II ）因故得不等式,0)()(21≤+x f x f.0)(]2))[(1(]3))[((.0)())(1(212122121221212122213231≤++-++--++≤++++-+x x a x x x x a x x x x x x x x a x x a x x 即又由（I ）知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+.3),1(322121a x x a x x 代入前面不等式，两边除以（1+a ），并化简得.0)()(,2,)(212.0252212成立不等式时当因此舍去或解不等式得≤+≥≤≥≥+-x f x f a a a a a 点评 本题是２００４年重庆高考第２０题．我们可以看到由于导数的引入，使得三次函数成为高考命题的热点内容之一．例３ 设函数f x x ln x m =-+（）（）， 其中常数m 为整数． (1) 当m 为何值时, 0fx ≥（）； (2) 定理： 若函数g(x) 在[a, b ]上连续,且g(a) 与g(b)异号,则至少存在一点x 0∈(a,b),使g(x 0)=0.试用上述定理证明:当整数m>1时,方程f(x)= 0,在[e -ｍ-m ,e 2ｍ-m ]内有两个实根． 讲解 （１）函数f(x)=x-ln(x+m),x ∈(-m,+∞)连续，且m x x f mx x f -==+-=1,0)(,11)(''得令． 当x ∈(-m,1-m)时, ()'0fx <，f(x)为减函数,f(x)>f(1-m)；当x ∈(1-m, +∞)时, ()'0fx >，f(x)为增函数,f(x)>f(1-m)．根据函数极值判别方法，f(1-m)=1-m 为极小值，而且 对x ∈(-m, +∞)都有f(x)≥f(1-m)=1-m ， 故当整数m ≤1时，f(x) ≥1-m ≥0．(２)由（I ）知，当整数m>1时，f(1-m)=1-m<0, 函数f(x)=x-ln(x+m),在]1,[m m em--- 上为连续减函数．,)1()(,10)ln()(异号与时当整数m f m ef m e m m e m e m e f mm m m m -->>=+---=------，由所给定理知，存在唯一的0)(),1,(11=--∈-x f m m ex m使，而当整数m>1时，2222(21)()3(11)31230,2(1211,)m m m m m f e m e m m m m m m --=->+->++->>⇒->上述不等式也可用数学归纳法证明 类似地，当整数m>1时，函数f(x)=x-ln(x+m),在],1[m e m m--- 上为连续增函数且f(1-m)与)(2m e f m -异号，由所给定理知，存在唯一的0)(],,,1[22=--∈-x f m e m x m 使，故当m>1时，方程f(x)=0在],[2m e m em m---内有两个实根．点评 本题是２００４年广东高考第２１题，试题当中的定理是高等数学中的基本知识，这种给出新的情景，由此来考查学习的潜能，需要读者在复习数学多多重视．例４ （1）),0(∞+∈x 求证x x x x 11ln 11<+<+； （2）N n ∈ 2≥n 求证 11211ln 13121-+++<<+++n n n ．讲解 想办法构造函数，妙用导数知识来证明不等式．（1）令t x =+11， 由 0>x 知1>t ， 11-=t x ． 于是，原不等式等价于11ln 1t t t-<<-．一方面，令 t t t f ln 1)(--=， 则有tt f 11)(-='，当),1(∞+∈t ，有0)(>'t f 从而可以知道，函数()f t 在),1(∞+∈t 上是递增函数，所以有0)1()(=>f t f ，即得 t t ln 1>- ．另一面，令 t t t g 11ln )(+-= ，则有 22111)(tt t t t g -=-='，当),1(∞+∈t 时，有0)(>'t g ，从而可以知道，函数()g t 在),1(∞+∈t 上是递增函数，所以有0)1()(=>g t g ，即得tt 11ln ->．综上可知xx x x 11ln 11<+<+． （2）联系不等式（１）和（２），就会发现，令1,2,,1x n =- 时，不等式xx x x 11ln 11<+<+也成立，于是代入，将所得各不等式相加，得112111lg 23ln 12ln 13121-+++<-+++<+++n n n n ， 即 11211ln 13121-+++<<+++n n n ． 点评 本题的解答中构造的函数与２００４年高考全国２压卷题中显示的函数f(x )=ln(1+x )－x 没有什么区别．有着高等数学背景的、如同２００４年江苏卷的压轴题相近的不等式证明题似乎是高考命题的又一新的开挖点，昆明市第一次统测21题就是典型例子．例５×过点)0,1(P 作曲线kx y C =:（),0(+∞∈x ，+∈N k ，1>k ）的切线切点为1Q ，设1Q 点在x 轴上的投影是点1P ；又过点1P 作曲线C 的切线切点为2Q ，设2Q 点在x 轴上的投影是点2P ；……；依此下去，得到一系列点 ,,,,21n Q Q Q ，设点n Q 的横坐标是n a ．（1）求证：nn k k a )1(-=，+∈N n ； （2）求证：11-+≥k na n ；（3）求证：k k a i ni i -<∑=21（注：121ni n i a a a a ==+++∑）．讲解：（１）为了求切线的斜率，只要对ky x =求导数，得/1k y kx-=．若切点是(,)k n n n Q a a ，则切线方程是1()k k n n n y a ka x a --=-． 当1n =时，切线过点(1,0)P ，即11110(1)k k a ka a --=-，得11ka k =-； 当1n >时，切线过点11(,0)n n P a --，即110()k k n n n n a ka a a ---=-，得11n n a k a k -=-． 所以数列{}n a 是首项为1k k -，公比为1k k -的等比数列，nn k k a )1(-=，+∈N n ． （２）应用二项式定理，得1()(1)11n nn k a k k ==+--0122011111()()111111nn n nn n n n n C C C C C C k k k k k =++++≥+=+-----至少2项． （３）记121121n n n n n S a a a a --=++++，则2311121n n n k n nS k a a a a +--⋅=++++，两式错位相减，得121121111111(1)n n n nk n S k a a a a a a a +--=+++-<+++， 11[1()]1111nn k k k k S k k k k---<<---，故 2n S k k <-．点评：本题综合解析几何、导数、数列、二项式定理、不等式等知识点，在解答时，需要较强的思维能力和排除万难的吃苦精神．将函数与数列相综合也是高考命题的一个关注的方向，而数列的不等式证明又是常考不衰的话题．针对性演练 1.)12112131211(lim +-+-+-+++-+∞→n nn n n n n n 的值为（ ）． A ．1- B.0 C ．12 D.12.⎪⎭⎫ ⎝⎛----→2111411lim x x x x 的值等于（ ）． Ａ．31-Ｂ．41 Ｃ．41- Ｄ．313. 已知nn nn n e e n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→311lim ,(11lim 则为常数）等于（ ）． Ａ．１ Ｂ．E Ｃ．31e Ｄ．3e 4.f /(3)= —2, f(3)=2，则=--→3)(32lim 3x x f x x （ ）. A.－4 B. 0 C.8D.不存在5. 下列函数在x ＝０处连续的是（ ）．Ａ．⎩⎨⎧>-≤-=)0(1)0(1)(x x x x f Ｂ．x x f ln )(=Ｃ．x x x f =)( Ｄ．⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=)0(1)0(0)0(1)(x x x x f 6. 如图，正方形上连接等腰直角三角形，直角三角形边上再连接正方形，……，无限重复.设正方形原面积为,,,321S S S ……，三角形的面积为321,,T T T ，……，当1S 的边长为2时，这些正方形和三角形的面积总和为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．137. 函数()y f x =是定义在R 上的可导函数，则()y f x =为R 上的严格单调增函数是()0f x '>的（ ）． Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分又不必要条件 8. 已知函数x x f 2sin )(2=，则)(x f '等于（ ）．Ａ．x 4sin 2 B ．x 4cos 2 C ．x 2sin 4 D ．x 2cos 4 9. 已知函数1)6()(23++++=x m mx x x f 既存在极大值又存在最小值，则实数m 的取值范围是（ ）． Ａ()2,1-Ｂ．),6()3,(∞+--∞Ｃ．()6,3- D. ),2()1,(∞+--∞10. 点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =-的最小距离为（ ）．A.1B. 2C.22D.3 11. 设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图所示，则导函数y=f(x)可能为（ ）.12. 若点Ｐ在曲线23+-=x x y 上移动，经过点Ｐ的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（ ）．Ａ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π Ｂ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎢⎣⎡πππ,432, o Ｃ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,43 Ｃ．⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡43,22,0πππ 13. 如图P 1是一块半径为1的半圆形纸板，在P 1的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形P 2，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P 3，xyO xy O A xy O BxyO Cx y O Df(x)P4，…..，P n ，…,记纸板P n 的面积为n S ，则n n S ∞→lim = _.14.n ,10<<b 若n n S ∞→lim 存在，则=∞→n n S lim __________.15. 曲线106323-++=x x x y 的切线中，斜率最小的切线方程是 ３x －y －11＝０.１６．某汽车启动阶段的路程函数为32()25S t t t =-，则2t =秒时，汽车的瞬时速度是 . 4.17．已知0>c .设P ：0lim =∞→nn c ，Q ：当]2,21[∈x 时，函数cx x x f 11)(>+=恒成立. 如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围. 18. 已知函数23)(2+-+=x x x x f ，1,(-∞∈x ]（1）判断)(x f 的单调性；（2）求)(lim x f x ∞→；（3）求出该函数的值域. 19．已知函数).,()(23R b a b ax x x f ∈++-=（1）若1=a ，函数)(x f 的图象能否总在直线b y =的下方？说明理由；（2）若函数)(x f 在[0，2]上是增函数，2=x 是方程)(x f =0的一个根，求证：2)1(-≤f ； （3）若函数)(x f 图象上任意不同的两点连线斜率小于1，求实数a 的取值范围. 20．甲方是一农场，乙方是一工厂. 由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x （元）与年产量t （吨）满足函数关系t x 2000=.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s 元（以下称s 为赔付价格），（1）将乙方的年利润w （元）表示为年产量t （吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额2002.0t y =（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s 是多少？ 21．已知f (x )=222+-x ax (x ∈R )在区间[-1，1]上是增函数． （１）求实数a 的值组成的集合A ； （２）设关于x 的方程f (x )=x1的两个非零实根为x 1、x 2.试问：是否存在实数m ，使得不等式m 2+tm +1≥|x 1-x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由．２２．如图，A 、B 为函数图像上两点，且AB ∥x 轴，点M （1，m ）（m>3）是△ABC 边AC 的中点．（1）设点B 的横坐标为t ，△ABC 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式)(t f S =； （2）求函数)(t f S =的最大值，并求出相应的点C 的坐标．参考答案１．A. ２．D.３．C.４．C.５．A. ６．A. ７．B.８．D. ９．B. １０．B. １１．D. １２．B. 13．3π．14．1． 15．３x －y －11＝０．16． 4． 17. 100lim <<⇒=∞→c c nn ．当]2,21[∈x 时，因为211)(xx f -='，故函数)(x f 在)1,21[为减函数，在]2,1(上为增函数，∴x x x f 1)(+=在]2,21[∈x 的最小值为2)1(=f ．当]2,21[∈x 时，函数c x x x f 11)(>+=恒成立.2112>⇒>⇔c c ．如果P 正确，且Q 不正确，则210≤<c ．如果P 不正确，且Q 正确，则1≥c ．所以c 的取值范围为),1[]21,0(+∞ ．18. (1).)(x f 在(]1,∞-是减函数.(2)23.(3)由(1) (2)知值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡23,1.19. （1）不能． （2）略． （3）.33<<-a20．（1）因为赔付价格为s 元/吨,所以乙方的实际年利润为：w st =.由'w s==，令'0w =得201000()t t s ==. 当0t t <时，'0w >；当0t t >时'0w <，所以0t t =时， w 取得最大值.（可略） 因此乙方取得最大年利润的年产量201000()t s=（吨）. （2）设甲方净收入为v 元，则20.002v st t =-. 将21000()t s=代入上式，得到甲方净收入v 与赔付价格s 之间的函数关系式 234100021000v s s ⨯=-.又23232551000810001000(8000)'s v s s s ⨯⨯-=-+=，令'0v =，得20s =.当20s <时，'0v >；当20s >时，'0v < ，所以20s =时，v 取得最大值. 因此甲方向乙方要求赔付价格s 20=（元/吨）时，获最大净收入。