实数指数幂及其运算PPT

数的图象与性质解决一些实际问题是重点，也是难点， 同
时考查分类讨论思想和数形结合思想． 3.题型以选择题和填空题为主，与其他知识点交汇则以解 答
题的形式出现.
一、根式
1．根式的概念
根式的概念
符号表示
备注
如果 xn＝a ，那么x叫做a的n次方根
n＞1且n∈N*
当n是奇数时，正数的n次方根是一
个正数 ，负数的n次方根是一个负数
[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)
5．(2012·温州调研)设函数f(x)＝a－|x|(a＞0，且a≠1)，
f(2)＝4，则
()
A．f(－2)＞f(－1)
B．f(－1)＞f(－2)
C．f(1)＞f(2)
D．f(－2)＞f(2)
解析：由a－2＝4，a＞0得a＝12， ∴f(x)＝12－|x|＝2|x|. 又∵|－2|＞|－1|，∴2|－2|＞2|－1|， 即f(－2)＞f(－1)．
答案： [－1，－∞)
5．函数y＝121－x的值域是________． 解析：函数的定义域为R，令u＝1－x∈R，
∴y＝12u>0.
答案：(0，＋∞)
1．分数指数幂与根式的关系 分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数 幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而简化计 算过程．
2．函数y＝ax、y＝|ax|、y＝a|x|(a>0，a≠1)三者之间的关系 函数y＝ax与y＝|ax|是同一个函数的不同表现形式， 函数y＝a|x|与y＝ax不同，前者是一个偶函数，其图象 关于y轴对称，当x≥0时两函数图象相同．
n a
零的n次方根是零
当n是偶数时，正数的n次方根有
两个，这两个数互为 相反数
±n a(a>0) 负数没有偶次方根
2．两个重要公式
a
(1)n
an＝|a|＝
a a≥0 －a a＜0
n为奇数
n为偶数
；
(2)(n a)n＝ a (注意a必须使n a有意义)．
二、有理数指数幂
1．幂的有关概念
m
(1)正分数指数幂：a n ＝
(2)4
2·
1.
0.1－2a3b－3 2
解：(1)原式＝1
27 000
1 3
－(－1)－217－2＋295
1 2
－1
＝130－49＋53－1＝－45.
13
(2)原式＝4120·402
·a
3 2
·a
3 2
·b
3 2
·b
3 2
＝245a0·b0＝245.
[冲关锦囊] 指数幂的化简与求值的原则及结果要求 1．化简原则 (1)化负指数为正指数； (2)化根式为分数指数幂； (3)化小数为分数； (4)注意运算的先后顺序．
答案：A
[高手点拨] 本题给出三种比较指数幂大小的方法，法一是构造函 数法，利用指数函数性质比较大小，利用这种方法应注意 底数是否大于1；法二与法三两种方法相类似，都是对a、 b、c进行简单变形，转化为同次根式的形式，由被开方数 的大小可得出a、b、c的大小．
解题样板 指数幂大小的比较方法
[考题范例]
(2010·安徽高考)设a＝35
2 5
，b＝25
3 5
，c＝25
2 5
，则a，b，c的大小
关系是
()
A．a＞c＞b
B．a＞b＞c
C．c＞a＞b
D．b＞c＞a
[快速得分]
法一：先比较b与c，构造函数y＝25x.
∵0<25<1，∴y＝25x为减函数且35>25，∴b＝25
函
数
、
导 数 及 其 应
指 数 函 数
用
抓基础 明考向 提能力
教你一招 我来演练
[备考方向要明了]
考什么 1.了解指数函数模型的实际背景． 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，
掌握幂的运算． 3.理解指数幂的概念，理解指数函数的单调性，会解决
与指数函数性质有关的问题.
怎么考 1.指数函数的概念、图象与性质是近几年高考的热点． 2.通过具体问题考查指数函数的图象与性质，或利用指数 函
图象之间的关系是
()
A．关于y轴对称
B．关于x轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线y＝x对称
解析：∵y＝12x＝2－x，∴它与函数y＝2x的图象关于y轴对称．
答案： A
4．(2011·安康二模)方程|3x－1|＝k有两解，则k的范围 为________．
解析：函数y＝|3x－1|的图象是由 函数y＝3x的图象向下平移一个单 位后，再把位于x轴下方的图象沿 x轴翻折到x轴上方得到的，函数 图象如图所示． ∴当0<k<1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有两 个不同交点，所以方程有两解．
5 6
＝1a.
(2)原式＝295
1 2
＋0.112＋6247
2 3
－3＋3478＝
53＋100＋196－3＋3478＝100.
[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)
1．下列等式3 6a3＝2a；3 －2＝6 －22；－34 2＝4 －34×2
中一定成立的有
()
A．0个
B．1个
C．2个
[精析考题]
[例1] 化简下列各式(其中各字母均为正数)．
(1)
a
2 3
·b－1
1 2
·a
1 2
·b
1 3
；
6 a·b5
(2)2790.5＋0.1－2＋21207
2 3
Hale Waihona Puke Baidu
－3π0＋3478.
[自主解答]
1 1 1 1
(1)原式＝ a
3b2 a
15
2b3
a6b6
＝a
1 3
1 2
1 6
·b
1 2
1 3
2．结果要求 (1)若题目以根式形式给出，则结果用根式表示； (2)若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指
数幂表示； (3)结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有
分母又有负指数幂.
[精析考题]
[例2] (2011·萧山一模)函数f(x)＝ax－b
的图象如图所示，其中a、b为常数，
则下列结论正确的是
三、指数函数的图象和性质
函数
y＝ax(a>0，且a≠1)
0<a<1
a>1
图象
图象 特征
在x轴 上方 ，过定点(0,1)
定义域 值域
R (0，＋∞)
单调性
减函数
增函数
性质
当x＝0时，y＝1
函数值
变化规 当x<0时， y>1 ； 当x<0时，0<y<1 ；
律
当x>0时， 0<y<1 当x>0时，y>1
1
1．(教材习题改编)化简[(－2)6] 2 －(－1)0的结果为 ( )
A．－9
B．7
C．－10
1
解析：原式＝(26) 2 －1＝7.
D．9
答案：B
2．(2012·湖州模拟)函数y＝lg(1－x)的定义域为A，函
数y＝3x的值域为B，则A∪B＝
()
A．(0,1)
B．(1,3)
C．R
D．∅
解析：A＝{x|x<1}，B＝{y|y>0}，∴A∪B＝R. 答案：C
n
am (a>0，m、n∈N*，且n>1)；
(2)负分数指数幂：a
m n
＝
1＝
1
(a>0，m、n∈
m
an
n am
N*，且n>1)． (3)0的正分数指数幂等于 0 ,0的负分数指数幂 没有意义 ．
2．有理数指数幂的性质 (1)aras＝ ar＋s (a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝ ars (a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝arbr (a>0，b>0，r∈Q)．
()
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．0<a<1，b>0
D．0<a<1，b<0
[自主解答] 由图象得函数是减函数， ∴0<a<1. 又分析得，图象是由y＝ax的图象 向左平移所得， ∴－b>0，即b<0.从而D正确．
[答案] D
[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)
3．(2012·北京模拟)在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝12x的
3 5
2 <5
2 5
＝c；再比
较a与c.
3 2
∵ac＝52 5
5
2 5
＝32
2 5
>320＝1，∴a>c，故a>c>b.
法二：依题意a，b，c为正实数， 且a5＝352＝295，b5＝253＝1825， c5＝252＝245，∴a5>c5>b5，即a>c>b. 法三：因a＝ 5 295，b＝ 5 1285，c＝ 5 245，∴a>c>b.
D．3个
解析：3 6a3＝3 6a≠2a； 3 －2＝－3 2<0，6 －22＝6 22＝3 2>0， ∴3 －2≠6 －22. －34 2<0，4 －34×2>0， ∴－34 2≠4 －34×2.
答案：A
2．计算：
(1)(0.027)
1 3
－－17－2＋279
1 2
－(
2－1)0；
1 1 4ab－13
答案： A
6．(2011·长安二模)若函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的定义
域和值域都是[0,2]，则实数a等于________．
解析：由题意知0a<2－a<11＝，0， a0－1＝2
或aa>0－1，1＝0， a2－1＝2
⇒a＝ 3.
答案： 3
[冲关锦囊]
求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知 指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要 明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问 题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将 问题归纳为内层函数相关的问题加以解决．
3．已知函数f(x)＝4＋ax－1的图象恒过定点P，则点P的
坐标是
()
A．(1,5)
B．(1,4)
C．(0,4)
D．(4,0)
解析：当x＝1时，f(x)＝5.
答案：A
4．函数y＝ 32x－1－217的定义域是________． 解析：∵32x－1－217≥0，∴32x－1≥217. ∴32x－1≥3－3.∴2x－1≥－3. ∴x≥－1.
答案： (0,1)
[冲关锦囊] 1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应
指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象． 2．一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的
指数型函数图象数形结合求解.
[精析考题] [例 3] (2011·宁波三校联考)若函数 f(x)＝a|x－2|(a>0，a≠1)满足 f(1)＝13，则 f(x)的单调递减区间是________．
[自主解答] 由f(1)＝13得a1＝13， 因此f(x)＝13|x－2|. 又因为g(x)＝|x－2|在[2，＋∞)内单调递增，所以f(x)的单调递 减区间是[2，＋∞)．
[答案] [2，＋∞)
若函数变为f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)且f(1)＝9.则f(x)的单调 递减区间是________． 解析：由f(1)＝9得a2＝9，∴a＝3.因此f(x)＝3|2x－4|， 又∵g(x)＝|2x－4|在(－∞，2]内单调递减，∴f(x)的单调 递减区间是(－∞，2]． 答案：(－∞，2]