均值不等式知识点及练习(二).doc

均值不等式专题练习

一、知识点回顾

1、 重要不等式： 如果 a,b

R ，那么 a 2 b 2

2ab （当且仅当 a

b 时取“=”

号）

2、 定理：如果 a,b 都是正数，那么

a b ab （当且仅当 a

b 时取“ =”

2

号）

评述： 1. 如果把

a b

看作是正数 a 、 b 的等差中项，

ab 看作是正数 a 、b 的等比

2

.

中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项 2.在数学中，我们称

a b

为 a 、b 的算术平均数，称 ab 为 a 、 b 的几何平

2

均数 .本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 .

3、均值不等式的一些变形式

a b 2

2 b

2

⑴整式形式：

a ab

, ab

2

2

⑵根式形式：

⑶分式形式：

a b 2 ab

x, y R 且 xy

0,则

x

y 2

y x

⑷倒数形式： a R ,则 a

1

2

a

二、习题训练

（一）选择题

1.当 x>1 时，不等式 x+

1 恒成立，则实数 a 的取值范围是

≥ a

x

1

A ． (－∞ ,2]

B ． [2,+ ∞)

C ．[3,+ ∞ )

D ． (－∞ ,3]

2.已知正整数

1 1

a, b) 是

a, b 满足 4a ＋ b ＝30 ，使得

取最小值时，则实数对（

a b

（

）

A ． (5， 10）

B ．（6，6）

C ．（ 10， 5）

D ．（ 7，2）

3.若 a

0, b 0 且 a b 4 ，则下列不等式恒成立的是 （ ）

1 1 1 1

C ． ab 2

D ． 1 1 A ． 2 B ． 1 b 8

ab a b a 2 2

4.已知圆 x 2

y 1

2

，其坐标均使得不等式 x y m ≥ 0 恒

2上任一点 P x, y

成立，则实数 m 的取值范围是（）

（A ） 1,

（ B ）

,1 （ C ） 3,

(D)

, 3

5.已知 a,b 为正实数，且 a

2b

1 1 的最小值为（

）

1,则

b

a

A ．4 2

B ． 6

C ．3－ 2 2

D ．3+ 2 2

6.若 x 0, y

0,且 x 4 y

1,则

1 2

的最小值为（

）

x y

A ． 9

B ．8 2

C ．942

D ．4 2

7.

已知不等式 ( x y)(

) 9

对任意正实数 x, y

,

1 a

恒成立 则正实数 a 的最小值为

x

y

A.2

B.4

C.6

D.8

8.已知 0 a

b, 且 直线 2ax by 2 0 始终平分圆 x 2 y 2

2x

4 y 1 0 的 周长，下列不等式正确的是（

）

A ． log 2 a 1

B ． log 2 a log 2 b 2

C ． log 2 (b

a) 0

D ． log 2 (

b

a ) 1

a b

9 若直线 2ax by 2 0 （ a

0， b 0 ）被圆 x 2

y 2 2x 4 y 1 0 截得的弦

长为 4，则

1

1 的最小值为

a b

1

1

A ． 4

B ． 2

C ． 2

D ． 4

10 设 a

0, b 0. 若 3是 3a 与3b 的等比中项，则 1 1 的最小值为

1 a b A

8

B

4

C 1

D

4

11. 若实数 a, b 满足 a b

2 ，则 3a 3b 的最小值是

（ ）

A ．18 B. 6 C.

2 3

D. 2

4

3

12. 已知 x>0， y>0,x+2y+2xy=8 ，则 x+2y 的最小值是

9

11

A.3

B.4

C.

2 D.

2

（二）填空题

x

a

13 若对任意

x

0 ， x

2

3x 1 恒成立，则 a

的取值范围是 _____

t 2 4t

1

14. 已知

t y

t

o

, 则函数

的最小值为 ___________

2

2

15 若 x ≥ 0， y ≥ 0，且 x+2y=1 ，则 2x +3y 的最小值是 ___________

16 已 知 函 数 y a

x 1

3(a 0且 a 1)的图象恒过定点 A ，且点A 在直线

mx ny 1 0 上，若 m

0, n 0 ，则

1

2

m 的最小值为 ______________.

n

17.当 x

(1,2) 时，不等式 x 2 mx 4 0 恒成立，则 m 的取值范围是

。