排队论在实际当中的应用_毕业设计

第一章排队论问题的基本理论知识

排队是日常生活中经常遇到的现象，本章将介绍排队论的一些基本知识和常见的排队论的模型，使我们对排队论有一个基本的认识。

1.1 预备知识

下图是排队过程的一般模型：各个顾客由顾客源（总体）出发，到达服务机构（服务台、服务员）前排队等候接受服务，服务完成后离开。我们说的排队系统就是图中虚线所包括的部分。

一般的排队系统都有三个基本组成部分：输入过程；排队规则；服务机构。

1.输入过程

输入过程考察的是顾客到达服务系统的规律。可以用一定时间内顾客到达数或前后两个顾客相继到达的间隔时间来描述，一般分为确定型和随机型两种。对于随机型的情形，要知道单位时间内的顾客到达数或到达的间隔时间的概率分布。

2.排队规则

排队规则分为等待制、损失制和混合制三种。当顾客到达时，所有服务机构都被占用，则顾客排队等候，即为等待制。在等待制中，为顾客进行服务的次序可以是先到先服务，或后到先服务，或是随机服务和有优先权服务。如果顾客来到后看到服务机构没有空闲立即离去，则为损失制。有些系统因留给顾客排队等待的空间有限，因此超过所能容纳人数的顾客必须离开系统，这种排队规则就是混合制。

3.服务机构

可以是一个或多个服务台。服务时间一般也分成确定型和随机型两种。但大多数情形服务时间是随机型的。对于随机型的服务时间，需要知道它的概率分布。

1.2 模型理论分析

1.2.1 模型分类

排队模型的表示：

X/Y/Z/A/B/C

X—顾客相继到达的间隔时间的分布；

Y—服务时间的分布；

M—负指数分布、D—确定型、Ek —k阶爱尔朗分布。

Z—服务台个数；

A—系统容量限制（默认为∞）；

B—顾客源数目（默认为∞）；

C—服务规则（默认为先到先服务FCFS)。

1.2.2 模型求解

一个实际问题作为排队问题求解时，只有顾客到达的间隔时间分布和服务时间的分布须要实测的数据来确定，其他的因素都是在问题提出时给定的。并且必须确定用以判断系统运行优劣的基本数量指标，解排队问题就是首先求出这些数量指标的概率分布或特征值。这些指标通常是：

L；

（1）队长：系统中排队等待服务和正在服务的顾客总数，其期望值记为

S

L；

排队长（队列长）：系统中排队等待服务的顾客数，其期望值记为

g [系统中顾客数]=[在队列中等待服务的顾客数]+[正被服务的顾客数] （2）逗留时间：一个顾客在系统中停留时间，包括等待时间和服务时间，其其期望值记为Ws；

等待时间：一个顾客在系统中排队等待时间,其期望值记为Wg；

[逗留时间]=[等待时间]+[服务时间]

（3）忙期：从顾客到达空闲服务机构起到服务机构再次为空闲这段时间长度；

系统状态：即指系统中的顾客数；

P t表示,即在t时刻系统中有n个顾客的概率；

状态概率：用()

n

要解决排队问题，首先要确定排队系统的到达间隔时间分布与服务时间分布。要研究到达间隔时间分布与服务时间分布需要首先根据现有系统原始资料统计出它们的经验分布，然后与理论分布拟合，若能对应，我们就可以得出上述的分布情况。

1、经验分布

经验分布是对排队系统的某些时间参数根据经验数据进行的统计分析，并依据统计分析结果假设其统计样本的总体分布，选择合适的检验方法进行检验，当通过检验时，我们认为时间参数的经验数据服从该假设分布。

2、泊松分布

下面我们在一定的假设条件下，推出顾客的到达过程就是一个泊松过程。 若设()N t 表示在时间区间[0,t)内到达的顾客数(t>0)，()1,2n P t t 表示在时间区

间[)12,t t (t2>t1)内有n(≥0)个顾客到达的概率，即

{}(){()}12

21,n P t t P N t N t n =-= （t2>t1，n ≥0）

当()1,2n P t t 符合于下述三个条件时，我们说顾客到达过程就是泊松过程。 (1)再不相重叠的的时间区间内顾客到达数是相互独立的。

(2)对于足够小的Δt ，在时间区间[t ，t+∆t)内有1个顾客到达的概率为

()()1,P t t t t t λο+∆=∆+∆（λ>0 是常数，称为概率强度）。

(3)对充分小的Δt,在时间区间[t,t+Δt ）内有2个或2个以上顾客到达的概率是Δt 一高阶无穷小，即

()()2

,n n P t t t t ο=+∆=∆∑

为了求()n P t ，即()0,n P t ，需要研究它在时刻t 到t+Δt 时刻的改变量，也就是要建立()n P t 的微分方程。就可以得到：

()

()!

n

t n t P t n λλ-=

l t>0，n=0,1,2,…

负指数分布

设T 为时间间隔，分布函数为(){}T F t P T t =≤，即：(){}t F t P T t =≤。此概率等

价于在[0，t ）区间内至少有1个顾客到达的概率。

没有顾客到达的概率为：()0t P t λ-=l ，则 ()()0

11t

T F t P t λ-=-=-l （t>0），其概率密度函数为：()t T

T dF f t dt

λλ-=

=l （t>0）

。 由前知，λ表示单位时间内顾客平均到达数，这里1/λ表示顾客到达的平均间隔时间，两者是吻合的。

下面我们再谈一下服务时间的分布：

对顾客的服务时间ν，实际是系统处于忙期时两顾客相继离开系统的时间间隔，一般地也服从负指数分布，即：()1t V F t λ-=-l ()t V f t μμ=l 。

其中：μ表示单位时间内能被服务完成的顾客数，即平均服务率。1/μ表示一个顾客的平均服务时间。令λ

ρμ

=

则ρ称为服务强度。