高中数学竞赛课程讲座—函数

【校本课程数学竞赛讲义】第二章 函数

§2.1函数及其性质

一、函数的基本性质：

1. 函数图像的对称性

（1）奇函数与偶函数：奇函数图像关于坐标原点对称，对于任意，都有成立；偶函数的图像关于轴对称，对于任意，都有成立。

（2）原函数与其反函数：原函数与其反函数的图像关于直线对称。若某一函数与其反函数表示同一函数时，那么此函数的图像就关于直线对称。

（3）若函数满足，则的图像就关于直线对称；若函数满足，则的图像就关于点对称。

（4）互对称知识：函数的图像关于直线对称。

2．函数的单调性

函数的单调性是针对其定义域的某个子区间而言的。判断一个函数的单调性一般采用定义法、导数法或借助其他函数结合单调性的性质（如复合函数的单调性）

特别提示：函数的图像和单调区间。

3．函数的周期性

对于函数，若存在一个非零常数，使得当为定义域中的每一个值时，都有成立，则称是周期函数，称为该函数的一个周期。若在所有的周期中存在一个最小的正数，就称其为最小正周期。

（1）若是的周期，那么也是它的周期。

（2）若是周期为的函数，则是周期为的周期函数。

（3）若函数的图像关于直线对称，则是周期为的函数。

（4）若函数满足，则是周期为的函数。

4.函数的最值：

常规求法：配方法、判别式法、不等式法、换元法、构造法

5．Gauss(高斯)函数

对于任意实数，我们记不超过的最大整数为，通常称函数为取整函数。又称高斯函数。

又记，则函数称为小数部分函数，它表示的是的小数部分。

高斯函数的常用性质：

（1）对任意（2）对任意，函数的值域为

（3）高斯函数是一个不减函数，即对于任意

（4）若，后一个式子表明是周期为1的函数。

（5）若

（6）若

函数迭代中的”穿脱”技巧

设函数y=f(x),并记f n(x)=f(f(f…(fx)…),其中n是正整数, f n(x)叫做函数f(x)的n次迭代,函数迭代是一种特殊的函数复合形式,在现代数学中占有很重要的地位,尤其是近年来在国内外数学竞赛屡次出现,成为热点问题之一,以引起广在数学爱好者的关注.由f(x)(或f n(x)的表达式”穿上”或”脱去”n-1个函数符号得出f n(x)(或f(x))的函数迭代问题,这里我们对数学竞赛中穿脱问题的解题技巧作简单介绍和粗浅的探索.

1程序化穿脱

“穿”,”脱”函数符号是一种有序的过程,由内至外一层层穿上f,或从外

至内一层层脱去f,往往是一种程序化的模式,

例已知f(x)= ,求f n(x).

2实验法穿脱

许多情况下,求解穿脱问题并非只是一种程序化的操作,还需要用敏锐的思维和眼光去发现穿脱过程所蕴含的规律性,实验是发现的源泉,是发现规律的金钥匙.

例函数定义在整数集上,且满足

f(n)=　n-3 (n≥1000)

f[f(n+5)](n＜1000求f(84)

例21 对任意的正整数k,令f1(k)定义为k的各位数字和的平方.对于n≥2令f n(k)=f1(f n-1(k)),求f1988(11).

3周期性穿脱

　在求解函数迭代问题时我们经常要借助于函数的周期性,利用周期性穿脱要能达到进退自如,做到需穿插则穿,需脱则脱,从而

优化解题过程.

例定义域为正整数的函数,满足:

f(n)=　n-3 (n≥1000)

f[f(n+7)](n＜1000.

试求f(90)

练习

1.设n是自然数,f(n)为n2+1(十进制)的数字之和,f1(n)=f(n),求的f100(1990)值.

2.已知f(x)=.设f35(x)=f5(x),求f28(x)

二、应用举例：

例1．已知是一次函数，且．求的解析式．

例2．已知

例3．函数，求

例4．求函数的值域。

两边平方得，从而且。

由或y≥2。

任取y≥2，由，易知x≥2，于是。

任取，同样由，易知x≤1。

于是。

因此，所求函数的值域为。

例5（1）设x,y是实数，且满足，求x+y的值

（2）若方程有唯一解，求a

例6：解方程、不等式：（1）

（2）(x＋8)2007＋x2007＋2x＋8＝0

（3）

Ex1.求的图象与轴交点坐标。

解：

令，可知是奇函数，且严格单调，所以

，当时，，

所以，故，即图象和轴交点坐标为

若函数为单调的奇函数，且，则。若遇两个式子结构相同，不妨依此构造函数，若刚好函数能满足上述性质，则可解之。

Ex2. 设函数，则对任意实数a,b,是的（ ）

A．充分必要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件

探求讨论函数的有关性质，历年来都是数学竞赛的命题热点之一，例如探求函数的周期性，函数的不等式证明，以及解反函数的不等式等问题。而解决这类问题　的办法就是要“穿脱”函数符号“f”，下面我们从具体的例子谈一谈“穿脱”的技巧与方法.

1.单调性穿脱法

对于特殊函数的单调性,我们可以根据函数值相等或函数的单调性对函数“f”进行“穿脱”,进而达到化简的目的,由此使问题获得解答.

已知函数f(x)在区间(-,+)上是增函数,a和b是实数.试证:

⑴证明命题:如果a+b≥0那么f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).

⑵判断⑴中的逆命题是否正确,并证明你的结论.