2412垂直于弦的直径人教新课标九年级上1

人教版九年级上册24. 1. 2

垂直于弦的直径

东营区六户镇中学

教材分析

创设情景问题探究学以致用课堂检测感悟收获

【教材分析］

教学流程

垂直于弦的直径是在学生学习了轴对

称图形、直角三角形、圆的有关概念的基础上进行的。在学习本节之前已通过折纸、对称、平移、旋转推理证明等方式认识了许多图形的性质，积累了一定的空间与图形的经验。

垂径定理是圆的一个重要的性质定理，它对线段的计算、证明线段相等、弧相等等问题提供了十分简便的方法。

【教学目标】知识技能：

1 •理解圆是轴对称图形.

2 •明确垂径定理的题设和结论及定理的推理过程.

3•能初步应用垂径定理进行计算和证明能力目标：

经历圆是轴对称图形、垂径定理的探究过程，发展合情

推理能力，体会转化、数形结合的思想. 情感态度：

1＞通过对赵州桥历史的了解，渗透爱国教育，感受数学在生活中的运用，激发学习热情.

2■在探究活动中，学会与人合作，并能与他人交流思维的

过程和探究的结果.

【重难点】

重点：垂径定理及应用.

难点：垂径定理的证明及应用.

［教法学法］

在教学中，充分利用及自制教具进行教学。强调学生的动手操作和主动参与，让他们在大胆猜想、动手操作、观察发现、自主探究、合作交流、归纳总结等大量数学活动中积累有关图形的特征。使学生在学习中体会到：数学活

动充满着探索和创造，以提高学习数学的兴趣, 培养学生敢于面对数学活动中的困难并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功体验。体现新课程精神，把学习的主动权放手给学生。教师起演示、引导作用。

■feu设&问题®

赵州桥的主桥拱是圆弧

形，它的跨度（弧所对的弦长）是37.4m,拱高（弧的中点到弦的距离）为7・2m,

你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？

设计意图

通过对赵州桥历史的了解，渗透爱国教育，让学生感受1300多年前数学在生活中

的运用，激发学生学习热情, 思考如何解决实际问题■带

着问题探究学习。

用纸剪一个圆（课前布置学生准备好）

沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论?

圆是轴对称图形，任何一条直径

所在直线都是它的对称轴

设计意图

通过动手折叠，培养学生的动手操作能力，使学生在解决问题的过程中不断探究、学习新知识.

在纸上的圆中任意画一条弦/B

作直径C刀垂直弦/歹于£(垂直于弦的直径)垂足为E想一想:

(1)此图是轴对称图形吗？如果是对称轴是什么？

(2)你能发现哪些相等的线段和

弧？为什么?

你能得到什么结论?

已知：在(DO中，CD是直径，AB

是弦，C以丄A%垂足为矢求证:

AE=BE, AC=BC, AD=BD O

证明：连结OA、OB,贝!)OA = OBo 因

为垂直于弦AB的直径CD所在的直线

既是等腰三角形O AB的对称轴

又是。O的对称轴。所以，当把|

沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A贞和B 再重合，AE 贺BE奠合，AC、AD分另I」和BC、BD重合。因此

AE=BE, AC=BC, AD=M

设计意图

让学生经历知识的形成过程, 并围绕问题情景探究思考■使学生明白轴对称图形的性质在证明题时的应用■体验用“叠合”法推证

问题的过程，形成解决问题的一新精神■多媒体演示进一步帮助理解，规范学生证明步骤。

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

题设结论

(1)过圆心

(2)垂直于弦

(3)平分弦

(4)平分弦所对的优弧

(5)平分弦所对的劣弧

D

想一想：下列图形是否可以使用垂径定

A

D

O

B

问题：把垂径定理中的题设垂直于弦的直径换为平分弦的直径。你会得到什么结论?

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,

D

并且平分弦所对的两条弧。

设计意图

分析垂径定理的题设和结论帮助学生理解。借助于图形形象直观的加深理解，并为下一步垂径定理的操作、运用打下基础。

I ■壽以&致用

ZIX /Ah

做一做

利用垂径定理

(1)你能平分一条弧吗?

(2)算一算

现在你能解决求赵州桥主桥拱半径的问题吗？

解：如图，用AB表示主桥

拱，设AB所在的圆的圆心为O,半径

为R,经过圆心O AL 做弦AB的垂线

111

OC, D为垂足， \、丨/

OC与AB交手点5 D是戈

AB的中点，C是AB的中点，CD是拱高0

AB=37・4, CD=7.2

AD=1/2AB=1/2X 3.74=1 & 7

OD=OC-CD=R-7.2

在RfAOAD中，由勾股定理，得

OA2=AD2+OD2

因此，赵加桥的主桥拱半径为27.9m

即R2=18.72+ (R-7.2)

变式训练

改变赵州桥问题中的条件

(1) 已知跨度、半径求拱高。

(2) 已知半径、拱高求跨度

(3) 已知弦心距、半径求跨度因此，赵加桥的主桥拱半径为27.9m

设计意图

融合课本88页练习第2题、95页习题第8题揭示弦、弦心距、半径、拱高四者之间的关系。引导学生把圆的问题转化为直角三角形的问题来解决。