极坐标计算二重积分

dx
a a2 x2
x
xdy (a>0).
解 积分区域D见图, 采用极坐标计算,
原式 =
d
2 4

2 a sin
0
r cos rdr
y


2
4
8 3 3 a sin cos d 3

4 2
D
8 3 1 4 a sin 3 4
O
2 a 2
D
例1 将
f ( x , y ) d
D
化为在极坐标系下的二次积分。
y
1）
2
x y 4
2 2
2
y
x2 y2 4
D
2）
2
D
o
y
3）
2 2
2
x
o
y
2
x
x2 y2 4
x2 y2 4 x
4）
o
D
2 2
x
o
D
4
x
解： 1）在极坐标系中，闭区域
D 可表示为
2
y
D
x2 y2 4
A
利用极坐标计算二重积分 例2 求 ( x 2 y 2 )dxdy, D: x2 + y2 R2 (R>0).
D
解 在极坐标下D: 0 r R, 0 2.
2 d r ( x y )dxdy 0 0 rdr
2
2
2
R
D


2
R4 .
例3 求 x y dxdy , D: x2 + y2 2ax (a > 0).


故
rdx . 4
I e
0

x2
dx

2
.
小结 掌握极坐标系下二重积分的计算方法,化二重
积分为极坐标下的二次积分, 并注意运算技巧.
r ( )
D
0 2 ,
D
0 r ( ).
f ( x , y )dxdy
f ( r cos , r sin )rdrd
D
o
A
0 d 0
2
( )
f ( r cos , r sin ) r dr .
极坐标系下区域的面积 rdrd .
x
1 3 a . 2
例5 求 e
0

x2
dx 的值.
解 考虑区域D: 0 x +, 0 y +, 记
I e
0

x2
dx dy
I e
2 0

x2
dx e
0

y2
e
D
x2 y2
dxdy
r2
d e
2 0 0
0 ,

D D
2 f ( x , y ) d
0 r 2.
o
2
x
r2
f ( r cos , r sin ) r drd
0
2
d 0 f ( r cos , r sin ) r dr .
2
o
2
A
2） 在极坐标系中，闭区域
D 可表示为
2
y
x2 y2 4
极坐标系下二重积分的计算
一、极坐标与直角坐标系的关系 二、二重积分的极坐标转化及计算
什么是极坐标?
在平面内取一个定点O，叫做极点。 引一条射线OX， 叫做极轴, 这样就建立了一个极坐标系。 对于平面内任一点M, 记 |OM|= r , ∠XOM= ,
M r
O
（ r， ）
(r 0 , 0 2 )
D
,
D：
1 ( ) r 2 ( ).
o

DD
A
r 2 ( )
f ( x , y )dxdy
D D
r 1 ( )
f ( r cos , r sin )rdrd
o


A

2 ( ) d ( ) 1

f ( r cos , r sin ) r dr .
（r，）就叫做点 M 的极坐标。
如 : ( 2, ) 4
X

平面上任一点
一一对应
一、极坐标与直角坐标系的关系 两坐标系中变量间关系：
x r cos y r sin
x 2 y 2 r 2 y tan x
二、二重积分的极坐标转化及计算
1、二重积分的极坐标转化
2、区域特征如图 D：
,
r ( )
0 r ( ).
D


D
f ( x , y )dxdy
o

A
f ( r cos , r sin )rdrd
D
d


( )
0
f (r cos , r sin ) r dr .
3、区域特征如图
2 2 D
解 积分区域D如图, 在极坐标下D: 0 r 2acos ,


2


2
2
y
.
2

D
x y dxdy d
2 0

2 a cos
0
r 2 dr
O
D
2a
2 2 (2a cos )3 d 3 0
32 3 a. 9

x
例4
求
2 a 2
0
k k k
r rk x
k
于是, 二重积分
f ( x,Hale Waihona Puke Baiduy)dxdy f (r cos , r sin )rdrd .
D D
二、极坐标系下二重积分化为累次积分的 r 2 ( ) 的三种情形 r ( )
1
1、区域特征如图
0 2 ,
0 r 2.
2
o
D
2 2
x
f ( x , y ) d
D
f ( r cos , r sin ) r drd
D
r2
o
D
2
0 d 0 f ( r cos , r sin ) r dr .
2
A
2
4） 在极坐标系中，闭区域 D 可表示为
二重积分中被积函数
f x, y f r cos , r sin
求极坐标下的积分元素 d 的表示方法。
设积分区域 D为平面有界区域, 并且从原点发出的 射线与D的边界线交点不多于两个, 则区域D被分割情形 见下图.
图中分割的其中一小块的面积为 1 1 2 2 (r r ) r y 2 2 1 r r (r ) 2 . 2 1 略去高阶无穷小 (r ) 2 , 则有 o 2 rr, 故 d = rdrd .
0 ,
0 r 2.
D
2
f ( x , y ) d
D
o
2
x
f ( r cos , r sin ) r drd
D
r2
0 d 0 f ( r cos , r sin ) r dr .

2
o
2
A
3）在极坐标系中，闭区域 D 可表示为
y
2
x2 y2 4
y
D
x2 y2 4 x
, 2 2
0 r 4 cos .
o
4
x
f ( x , y ) d
D
r 4 cos
2 o 2
2
f ( r cos , r sin ) r drd
D

2 4 cos d 0 2

f ( r cos , r sin ) r dr .