平面滑动边坡稳定性的解析计算

的静力平衡来分析边坡的稳定性。岩土体的破坏条
件通常采用 Mohr-Coulomb 准则，即
τ f = σ n tanϕ + c
(1)
式中：τ f ， σ n 分别为破坏面上的剪应力与正应力； c，ϕ 为破坏面上的粘聚力与内摩擦角。
边坡滑动面的形状可以是平面、圆弧面、对数
螺旋面或其他不规则曲面。根据大量的边坡失稳分
－ hz2 )] cot β
，b3
= −a0 (1 −
h
2 z
+
v) +
f [cot 2
β
+
v(1 −
hz2 − v)] 。 解三角方程(15)，可得 F 为最小时滑面倾角
α 0 ，即
cot α 0
=
1−
1
h
2 z
+
v
⎪⎧ ⎨
cot
⎪⎩
β
+
( ) (a0
−
fv)[cot2 β + (1 − hz2 a0 + f 1 − hz2
• 93·
L1 = H1 cot β1 Li = (Hi − H i−1) cot βi
⎪⎫ (i = 2，3，L，n)⎪⎭⎬
(7)
n
n−1
H cot α = ∑ Li + ∑ li + l
(8)
i =1
i =1
式中： l 为 BC 间的距离。
将式(7)代入(8)，可得
l = H (cotα − cot βn ) +
(13)
W sinα + V cosα
βα
图 4 具有张裂缝和静水压力的边坡 Fig.4 Slope with tension joint and water pressure
式中：W = γ [(H 2 − z2 ) cotα − H 2 cot β ]/ 2 ，A = (H −
z) cscα
，U
1前言
土木建筑工程中经常遇到各类岩土坡，包括天 然边坡(山坡、海滨、河岸、湖边等)与人工边坡(基 坑开挖、填筑道路路基、堤坝等)，以及露天矿边坡 的稳定性计算。一旦边坡失稳产生滑坡，不仅造成 经济财产损失，甚至危及生命安全。
边坡稳定性分析广泛采用刚体极限平衡分析 法，文[1～7]对其都有详细的阐述。刚体极限平衡 分析法的基本思路是：假定岩土体破坏是由于在滑 体内的滑动面上发生滑动而造成的，滑动面上岩土 体服从破坏条件，通过考虑由滑动面形成的隔离体
应小于或等于滑动面的抗滑阻力，根据刚体极限平
衡原理，平面破坏边坡的安全系数 F 可表示为
F = W cosαtan φ + cH cscα = W sin α
tan ϕ cotα + 2c
1
(2)
γ H sin 2 α(cotα − cot β )
从式(2)可以看出，安全系数 F 是滑面倾角α 的函
析、调查、监测证明：均质砂性土构成的边坡，破
坏时滑动面多是平面或近似平面；此外，岩体边坡
常沿顺层或软弱夹层作平面滑动。
尽管采用最优化方法可确定边Байду номын сангаас的最不利滑动
面和最小安全系数[8，9]，但是在实际边坡的稳定性
分析中，仍需假定滑动面来计算其安全系数，通过
2002 年 2 月 6 日收到初稿，2002 年 4 月 12 日收到修改稿。 作者 蒋斌松 简介：男，43 岁，1982 年毕业于山东矿业学院煤矿建井专业，现任教授，主要从事岩土力学的教学和研究工作。E-mail： jbsc@ta-public.sd.cninfo.net。
∑ cot β = cot β1 + (1 − H i′) 2 (cot β i+1 − cot β i ) (6) i =1
利用式(2)～(4)，可得折线形边坡的安全系数 F、最
不利的滑面倾角α 0 及最小安全系数 Fmin。 3.2 台阶形边坡
为了增加高边坡的稳定性或便于施工，台阶形
边坡也是常见的边坡形式。
W
=
1 2
γH
2 [cot α
−
cot
β1
−
n −1
∑ (1 − Hi′)2 (cot βi+1 − cot βi ) −
i =1
n −1
∑ 2 li′(1 − Hi′)]
(11)
i =1
类似折线形边坡，若取
n −1
∑ cot β = cot β1 + (1 − Hi′)2 (cot βi+1 − cot βi ) +
摘要 根据极限平衡原理，采用解析方法，即利用函数求极值的条件，对折线形与台阶形边坡、具有张裂缝和静水
压力边坡以及考虑地震力影响的边坡，分别建立了最不利滑动面倾角和最小安全系数的解析计算公式。
关键词 工程地质，边坡稳定性，平面滑动，安全系数，解析方法
分类号 TU 413.7
文献标识码 A
文章编号 1000-6915(2004)01-0091-04
ANALYTICAL CALCULATION ON STABILITY OF SLOPE WITH PLANAR FAILURE SURFACE
Jiang Binsong1，2，Cai Meifeng2，Du Hao1
(1 College of Civil Engineering and Architecture，Shandong University of Science and Technology， Taian 271019 China) (2 School of Civil and Environmental Engineering，University of Science and Technology Beijing， Beijing 100083 China)
n −1
n −1
∑ ∑ Hi (cot βi+1 − cot βi ) − li
(9)
i =1
i =1
滑体的自重 W 可表示为
W
=
1 2
γ
[
H
1
L1
+
2H1l1
+
(H1
+
H 2 )L2
+
2H 2l2 + L + (H n−1 + H )Ln +
2Hl − H 2 cotα ]
(10)
将式(7)，(9)代入式(10)，当 H i′ = H i / H ， li′ = li / L 时，W 的计算式为
3 折线与台阶形边坡
3.1 折线形边坡 边坡较高时，常采用折线形边坡。 如图 2，边坡高度为 H；边坡有 n 条折线，第
i( i = 1，2，…，n)条边坡线的高度为 Hi、其倾角为 βi ；滑面的倾角为α 。
根据图 2，滑体 A1A2…AnBC 的面积等于三角形 A1CD 的面积减去多边形 A1A2…AnBD1 的面积。即
缝可能临时充水达一定高度，沿张裂缝及滑动面产
生静水压力，使滑动力突然增大，这往往是暴雨后
边坡容易产生滑动的重要原因。
如图 4，边坡高度为 H；边坡倾角为 β ；假定
张性断裂走向与边坡面走向平行，裂纹内充水，裂
缝深度为 z，水深为 zw；滑面倾角为α 。其边坡的 安全系数 F 可表示为
F = cA + (W cosα − U − V sinα ) tanϕ
第 23 卷 第 1 期 2004 年 1 月
岩石力学与工程学报 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering
23(1)：91～94 Jan.，2004
平面滑动边坡稳定性的解析计算
蒋斌松 1，2 蔡美峰 2 都 浩 1
(1 山东科技大学土木建筑工程学院 泰安 271019) (2 北京科技大学土木与环境工程学院 北京 100083)
= γ wzw(H
−
z) cscα
/ 2 ，V
=
γ
w
z
2 w
/2，
γ w 为水的容重。 式(13)可以重写为
F = {a0 + f [(1 − hz2 ) cos2 α − cot β sinα cosα − v sin 2 α ]}/
{sinα[(1 − hz2 ) cosα − cot β sinα + v cosα ]} (14)
− v)2 ] ⎪⎫ ⎬ ⎪⎭
(16)
将α 0 代入式(14)，可得具有张裂缝和静水压力
时边坡的最小安全系数 Fmin。
5 考虑地震力的影响
一般只考虑水平地震力的作用，水平地震力用 kW 表示，这里 k 为水平地震系数。对于图 1 所示的
• 94 •
岩石力学与工程学报
2004 年
边坡，则有 F = W (cosα − k sinα ) tanϕ + cH cscα =
α βα
图 2 折线形边坡 Fig.2 Slope with broken lines
在 H i′ = H i / H 时，滑体的自重 W 的计算式为
W
=
1 2
γH
2 [cot α
−
cot
β1
−
n −1
∑ (1 − H i′) 2 (cot β i+1 − cot β i )]
(5)
i =1
若取
n −1
βn βi β2
α
β1
图 3 台阶形边坡 Fig.3 Bench slope
滑体 A1A2…AnBn－1BC 的面积除用节 3.1 的方法 计算外，还可用多边形 A1A2B1…AnBn－1BCD 的面积 减去三角形 A1CD 的面积得到。即根据图 3 有
第 23 卷 第 1 期
蒋斌松等. 平面滑动边坡稳定性的解析计算
W (sinα + k cosα )
(a + f ) cotα + a cot(β − α ) − kf
(17)
1 + k cot α
令 dF / dα = 0 ，可得
d1 cot2 α − 2d2 cotα + d3 = 0
(18)
式 中 ： d1 = d − ak cot β ， d2 = d cot β − ak ， d3 = d cot 2 β − a csc2 β + ak cot β ， d = a + f + k 2 f 。
i =1
n −1
∑ 2 Li′(1 − Hi′)
(12)
i =1
利用式(2)～(4)，可得台阶形边坡的安全系数 F、
最不利的滑面倾角α 0 及最小安全系数 Fmin。
4 具有张裂缝和静水压力的边坡
许多边坡沿平面滑动前，在滑体后部产生张裂
缝。该张裂缝对边坡的稳定性有很大的影响，特别
是在暴雨情况下，由于张裂缝底部排水不畅，张裂
式中： a0
= 2c γH
(1
−
hz
)
−
γ w zw γH
(1 − hz ) f
， hz
=
z H
，
v
=
γ
w
z
2 w
，
f
= tan ϕ 。
γH 2
令 dF / dα = 0 ，可得
b1 cot 2 α − 2b2 cot α + b3 = 0
(15)
式中： b1 = [a0 + f (1 − hz2 )](1 − hz2 + v) ， b2 = [a0 + f (1
数。取 f = tan ϕ ， a = 2c /(γ H ) ，并令 dF / dα = 0 ，
以求 F 为最小时的滑面倾角α 0 ，得[10]
cot α 0 = cot β + csc β a /(a + f )
(3)
将式(3)代入式(2)，得最小安全系数为
Fmin = (2a + f ) cot β + 2 csc β a(a + f ) (4)
• 92 •
岩石力学与工程学报
2004 年
试算法确定边坡的最不利滑动面和最小安全系 数[10，11]。显然，试算法具有盲目性，且难以保证其 计算结果是最优的。本文试图采用解析方法，直接 根据函数的极值条件，建立边坡最不利滑动面和最 小安全系数的解析算式。
βn βi
β2
2 最简单边坡 β1 α
如图 1，边坡 ABC 沿 AC 平面滑动，边坡高度 为 H；边坡倾角为 β ；滑体的容重为 γ ；滑面 AC 的水平倾角为α 。滑体自重 W 所产生的侧向滑动力
如图 3，边坡高度为 H；边坡有 n 条倾斜线和 n
个台阶；第 i ( i = 1，2，…，n)条倾斜线的高度为
Hi (Hn= H)，倾角为 βi ；第 i ( i = 1，2，…，n－1)个 台阶的宽度为 li ，滑面的倾角为α 。
图 1 平面滑动边坡 Fig.1 Slope with planar failure surface
Abstract The most critical slip surface and the minimum safety factor of slope are obtained by taking minimization value of a function. Planar failure surface whose shape is broken line or bench，tensile crack，water pressure and earthquake effects are considered. Limiting equilibrium principle is the basis of analytical calculation in this paper. Key words engineering geology，slople stability，planar failure surface，safety factor，analytical method