2014汤家凤线性代数辅导讲义

文都教育2014年考研数学春季基础班线性代数辅导讲义

主讲：汤家凤

第一讲 行列式

一、基本概念

定义1 逆序—设j i ,是一对不等的正整数，若j i >，则称),(j i 为一对逆序。

定义2 逆序数—设n i i i Λ21是n ,,2,1Λ的一个排列，该排列所含逆序总数称为该排列的逆序数，记为)(21n i i i Λτ，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。

定义3 行列式—称nn

n n n n a a a a a a a a a D Λ

ΛΛΛΛΛ

Λ21

222

2111211

=

称为n 阶行列式，规定

n n

n nj j j j j j j j j a a a D ΛΛΛ21212121)

()1(∑-=

τ

。

定义 4 余子式与代数余子式—把行列式nn

n n n n a a a a a a a a a D Λ

ΛΛΛΛΛ

Λ21

222

2111211=

中元素ij a 所在的i 行元

素和j 列元素去掉，剩下的1-n 行和1-n 列元素按照元素原来的排列次序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称ij j

i ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式。

二、几个特殊的高阶行列式

1、对角行列式—形如

n

a a a Λ

ΛO ΛΛΛΛ00

000021称为对角行列式，

n n

a a a a a a ΛΛΛO ΛΛΛΛ2121

000000=。

2、上（下）三角行列式—称

nn

n n a a a a a a Λ

ΛO ΛΛΛΛ

0022211211及

nn

n n a a a a a a Λ

ΛO

Λ

ΛΛΛ21

222111

0为上（下）三角行列式，

nn nn

n

n a a a a a a a a a ΛΛ

Λ

O ΛΛΛΛ

2211222112

11

0=，

nn nn

n n a a a a a a a a a ΛΛ

ΛO

Λ

ΛΛΛ221121222111

0=。

3、

||||B A B

O O A ⋅=，

||||B A B

O C A ⋅=，

||||B A B

C

O A ⋅=。

4、范得蒙行列式—形如1121

121211

11

),,,(---=

n n

n n n

n a a a a a a a a a V Λ

Λ

O

Λ

ΛΛΛΛ称为n 阶范得蒙行列式，且X Λ

ΛO

Λ

ΛΛΛΛn

i j j i n n

n n n

n a a a a a a a a a a a V ≤<≤----==

11121

12

121)(1

11

),,,(。 【注解】0),,,(21≠n a a a V Λ的充分必要条件是n a a a ,,,21Λ两两不等。 三、行列式的计算性质

（一）把行列式转化为特殊行列式的性质 1、行列式与其转置行列式相等，即T D D =。

2、对调两行（或列）行列式改变符号。

3、行列式某行（或列）有公因子可以提取到行列式的外面。 推论1行列式某行（或列）元素全为零，则该行列式为零。 推论2行列式某两行（或列）相同，行列式为零。

推论3行列式某两行（或列）元素对应成比例，行列式为零。

4、行列式的某行（或列）的每个元素皆为两数之和时，行列式可分解为两个行列式，即

nn

n n in i i n nn n n in i i n nn n n in in i i i i n a a a b b b a a a a a a a a a a a a a a a b a b a b a a a a Λ

ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ

ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ

ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ2

1

21112112

1

21

112112

1

2

21

111211+=+++。 5、行列式的某行（或列）的倍数加到另一行（或列），行列式不变，即

nn

n n jn j j jn

in j i j i n nn

n n jn j j in i i n a a a a a a ka a ka a ka a a a a a a a a a a a a a a a a ΛΛ

ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ

ΛΛΛ

ΛΛΛ

ΛΛΛΛΛΛ

Λ

Λ

ΛΛΛΛΛΛ2

1

2

1

221

11121121212111211+++=，其中k 为任意常数。

【例题1】设321,,,,γγγβα为4维列向量,且4|,,,|||321==γγγαA ，

21|,3,,|||321==γγγβB ，求||B A +。