《二项分布及其应用-条件概率》

因为在事件A发生的情况下事件B发生，等价于事 件A和事件B同时发生，即AB发生。 故其条件概率为 n( AB )
P ( B | A)
又由古典概率的公式知道
n( A)
n( AB) n( A) P ( AB)= ，P ( A)= n( ) n( )
则
n( AB) / n( ) P ( AB ) P ( B | A) n( A) / n( ) P ( A)
1 3 1 4
例1、在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回 地依次抽取2道题，求： （1）第一次抽取到理科题的概率； （2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率；
解：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题 为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.
（2） n( AB) C C 6
2.2.1《二项分布及其应用 -条件概率》
探究：3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学
无放回地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是 否比其他同学小？
若抽到中奖奖券用"Y " 表示，没有抽到 用" N 1 , N 2 " 表示，那么所有可能的抽取情况为 {YN 1 N 2 , N 1YN 2 , N 1 N 2Y , N 2YN 1 , YN 2 N 1 , N 2 N 1Y }
条件概率的定义：
一般地，设A，B为两个事件，且P(A)>0，则
P ( AB ) P ( B A) P ( A)
在原样本空间 的概率
称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。 一般把P(B|A)读作A发生的条件下B的概率。 注意： （1）条件概率的取值在0和1之间，即0≤P(B|A) ≤1 （2）如果B和C是互斥事件，则 P(B∪C |A)= P(B|A)+ P(C|A) （3）要注意P(B|A)与P(AB)的区别，这是分清条件概率 与一般概率问题的关键。
用" N 1 , N 2 " 表示，
不妨设“第一名同学没有抽到中奖奖券”为事件A，
则A { N1YN 2 , N1 N 2Y , N 2YN1 , N 2 N1Y }
用B表示最后一名同学抽到中奖奖券的事件，
n( B ) 1 最后一名同学抽到奖券的概率为P ( B | A) n( A) 2
注：P(B|A)表示在事件A发生的条件下B发生的概率
则B { N 1 N 2Y，N 2 N 1Y }
思考：你知道第一名同学的抽奖结果为什么会影响
最后一名同学的抽奖结果吗？ 分析： 若不知道第一名同学的抽奖结果，则样本空间为
{YN1 N 2 , N1YN 2 , N1 N 2Y , N 2YN1 ,YN 2 N1 , N 2 N1Y }
解：设第i次按对密码为事件Ai ( i 1， 2) 则A A1 ( A1 A2 )表示不超过 2次就按对密码。
（2）用B表示最后一位按偶数的事件，则
1 41 2 P ( A B) P ( A1 B) P ( A1 A2 B) 5 5 4 5
练习：甲乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象 记录，知道甲乙两地一年中雨天所占的比例分别为20％ 和18％，两地同时下雨的比例为12％，问： （1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？ （2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？ 解：设A={甲地为雨天}， B={乙地为雨天}， 则P(A)=20%，P(B)=18%，P(AB)=12%，
若知道了第一名同学的抽奖结果，则样本空间变成
A { N1YN 2 , N1 N 2Y , N 2YN1 , N 2 N1Y }
但因为最后一名中奖的情况还是含有两个基本事件 B { N1 N 2Y，N 2 N1Y } 故概率会发生变化
求P(B|A)的一般思想 因为已经知道事件A必然发生，所以只需在A发生 的范围内考虑问题，即现在的样本空间为A。
解：设第i次按对密码为事件Ai ( i 1， 2) 则A A1 ( A1 A2 )表示不超过 2次就按对密码。
（1）因为事件Ai 与事件 A1 A2互斥，由概率的加法公式得
1 91 1 P ( A) P ( A1 ) P ( A1 A2 ) 10 10 9 5
例2、一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可 从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时， 忘记了密码的最后一位数字，求 （1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率； （2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次 就按对的概率。
（1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是 P ( AB ) 12% 2 P ( A B) P ( B ) 18% 3 （2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是 P ( AB ) 12% 3 P ( B A) P ( A) 20% 5
小结：
1、条件概率的定义： 设A，B为两个事件，则在事件A发生的条件下， 事件B发生的概率就叫做的条件概率 2、条件概率的计算公式
用B表示"最后一名同学抽到中奖奖券"， 则B { N 2 N 1Y , N 1 N 2Y }
由古典概型可知，最后一名同学抽到中奖奖券的 n( B ) 1 概率为：P ( B ) n( ) 3
思考：如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，
那么最后一名抽到中奖奖券的概率又是多少？ 若抽到中奖奖券用"Y " 表示，没有抽到
概率 P(B|A)与P(AB)的区别与联系 联系：事件A，B都发生了 区别：
样本空间不同： 在P(B|A)中，事件A成为样本空间；
在P(AB)中，样本空间仍为。
n( AB ) P ( B | A) n( A)
n( AB ) P ( AB )= n( )
例1、在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回 地依次抽取2道题，求： （1）第一次抽取到理科题的概率； （2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率；
例1、在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回 地依次抽取2道题，求： （1）第一次抽取到理科题的概率； （2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率； （3）在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题 的概率。 利用古典 概率计算 解法二：因为n(AB)=6，n(A)=12，所以
利用古典 概率计算 解法三：第一次抽到理科题，则还剩下两道理科、 两道文科题 故第二次抽到理科题的概率为1/2
n( AB ) P ( AB ) P ( B A) n( A) P ( A)
n( AB) 6 1 P( B A) n( A) 12 2
例2、一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可 从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时， 忘记了密码的最后一位数字，求 （1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率； （2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次 就按对的概率。
1 3 1 2
n( AB ) 6 3 P ( AB ) n( ) 20 10
例1、在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回 地依次抽取2道题，求： （1）第一次抽取到理科题的概率； （2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率； （3）在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题 的概率。 （3）解法一：由（1）（2）可得，在第一次抽到理科题 直接利用 的条件下，第二次抽到理科题的概率为 条件概率 公式计算 3 P( AB) 10 1 P( B A) 3 2 P( A) 5
解：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题 为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB. （1）从5道题中不放回地依次抽取2道的事件数为
1 1 n() C5 C4 20
根据分步乘法计数原理，n( A) C C 12 n( A) 12 3Βιβλιοθήκη Baidu P ( A) n( ) 20 5