第三章 时域分析法

优点：直观、简便
2、时域分析的特点
(1)直接在时域中对系统进行分析校正，直观，准确；
(2) 可以提供系统时间响应的全部信息；
(3)基于求解系统输出的解析解，比较烦琐。
第三章 时域分析法
2、典型输入信号 一般，系统可能受到的外加作用有控制输入 和扰动，扰动通常是随机的，即使对控制输 入，有时其函数形式也不可能事先获得。在 时间域进行分析时，为了比较不同系统的控 制性能，需要规定一些具有典型意义的输入 信号建立分析比较的基础。这些信号称为控 制系统的典型输入信号。
1
其中，T为时间常数，也称为无阻尼自由振荡 周期， 为阻尼比； n＝1/T为系统的无阻尼固有频率。
特征方程：
s 2wn s w 0
2 2 n
左 半 平 面 ξ>0
ξ= 0 jω jωn
右 半 平 面 ξ<0
0 < ξ< 1
特征根：
ξ=1 两个相等根
ω d= ω n β
0
s1, 2 wn wn 1
e(t ) xi (t ) xo (t ) T (1 e t T ) e( ) T
第三章 时域分析法 4、一阶系统的单位脉冲响应 P81 xo(t) 1/T
斜率 1 0.368 T
单位脉冲输入： xi (t ) (t )
象函数：
1 T2
X i ( s) 1
瞬态响应：在某一输入信号的作用下，系统输出量从初
始状态到稳定状态的响应过程。也称过渡 过程。 稳态响应：在某一输入信号的作用下，系统在时间趋于 无穷大时的输出状态。也称静态。 终值定理：
lim x(t ) lim sX ( s )
t s 0
第三章 时域分析法
2、时域分析的目的 在时间域，研究在一定的输入信号作用下， 系统输出随时间变化的情况，以分析和研究 系统的控制性能。
0
二阶系统的特征方程： s 2 2 s 2 0 n n 极点（特征根）：
p1,2 n n 2 1
第三章 时域分析法
（二）典型二阶系统
欠阻尼二阶系统（振荡环节）： 0<<1 具有一对共轭复数极点：
p1,2 n jn 1 2 n jd
例题： 已知系统的传递函数： G(S)=(2S+1)/ (S+1)2 求系统的单位阶跃响应和单位脉冲响应。 解：1）单位阶跃输入时
t t x ( t ) L [ X ( s )] 1 te e o o 从而：
2）单位脉冲输入时，由于
§3.3 二阶系统时域分析 P81
一、数学模型
dxo (t ) 1 （3）响应曲线的切线斜率为1/T。 dt t 0 T
（4）时间常数T反映了系统响应的快慢。通常工程中 当响应曲线达到并保持在稳态值的95%~98%时， 认为系统响应过程基本结束。从而惯性环节的过 渡过程时间为3T~4T。
第三章 时域分析法
（5）将一阶系统的单位阶跃响应式改写为：P80
注意：对于同一系统，无论采用哪种输入信 号，由时域分析法所表示的系统本身的性能 不会改变。
第三章 时域分析法 （2） 常用的典型输入信号
名
称
时域表达式 复数域表达式 1(t)，t>0
1 s 1
单位阶跃信号
单位速度(斜坡)信号 t， t>0
单位加速度信号 单位脉冲信号 正弦信号
1 2 t , t0 2
（3）在t=0的响应曲线的切线斜率：
dxo (t ) 1 2 dt t 0 T
（4）对于实际系统，通常应用具有较小脉冲宽度 （脉冲宽度小于0.1T）和有限幅值的脉冲代替理 想脉冲信号。
第三章 时域分析法
6、线性定常系统时间响应的性质
• 系统时域响应通常由稳态分量和瞬态分量
共同组成，前者反映系统的稳态特性，后 者反映系统的动态特性。
第三章 时域瞬态响应分析
3.1时域响应以及典型输入信号 3.2一阶系统的瞬态响应分析
3.3二阶系统的瞬态响应分析
3.4时域分析性能指标 3.5高阶系统的瞬态响应
3.1 时域响应以及典型输入信号P76
1、定义 时域分析：根据控制系统在一定输入作用下的输入量时
域表达式，来分析系统的稳定性，瞬态过
程性能和稳态误差。
稳态响应：1
表示t时，系统的输出状态。
xo(0) = 0，随时间的推移，xo(t) 指数增大， 且无振荡。 xo() = 1，无稳态误差；
第三章 时域分析法
（2）xo(T) = 1 - e-1 = 0.632，即经过时间T，系统响应达 到其稳态输出值的63.2%，从而可以通过实验测量 惯性环节的时间常数T；
闭环传递 函数 输入信号 时域 输出响应
t 1 T e T
ess
(t 0)
(t )
1 TS 1
0
0 T
无穷大
1(t) t
1 2 t 2
1 e

t T
t 0
t T
t T Te
t 0
t 1 2 2 T t Tt T (1 e ) t 0 2
等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号 响应的导数； 系统对输入信号积分的响应，等于系统对该输入信号响应的积分。 稳态误差ess ：输入值与期望值之差。期望值为t趋向∞时的输出值。
阻尼比
d 2c (t ) dc (t ) T 2 T c (t ) r (t ) 2 dt dt
2
2 n C ( s) 1 G( s ) 2 R( s ) T 2 S 2 2 TS 1 S 2 2n S n
微分方程: 传递函数: 方框图：
R(S)
2
Ra La
if
f (t ) Sint
t
0 0
t
其中单位阶跃信号是最为基本、最常见且最易产生的信号， 被选为衡量系统控制性能的好坏的基准输入，并据此定义 时域的性能指标。
第三章 时域分析法
3.2 一阶系统的瞬态响应 P79
1、一阶系统（惯性环节）
1 G( s) 极点（特征根）：-1/T Ts 1 2、一阶系统的单位阶跃响应
s2 1 s3
(t)，t=0
Asint
1A s2 2源自 时域分析概述 （4）典型输入信号P77
脉冲信号 (突变过程)
(t )
阶跃信号 （工业过程）
u(t )
斜波信号 （天线、雷达）
f (t )
1 t
t t
t
1 2 f (t ) t 2
0 0 加速度信号(飞船)
0 正弦信号(通信)
• 注意到：
d (t ) 1(t ) dt d t 1(t ) dt
第三章 时域分析法 对一阶系统：
输入：
(t )
1(t ) t
1 xo (t ) e T

t T t T t T
xo1 (t ) 1 e

d xo1 (t ) dt d xo1 (t ) xot (t ) dt xo (t )
极点实部小于零，系统稳定。（两节课）
二阶系统的瞬态响应分析 二阶系统实例:电枢控制直流电机
数学模型：
d (t) d (t) Ra J +(L D R ) a a 2 em ( t ) dt dt （Ra D+K T K e） (t) K T ei (t) ei ( t ) ia ( t ) T
系统时域响应含有衰减的复指数振荡项：
e
( n jd )t
e
nt jd t
e
临界阻尼二阶系统： ＝1 具有两个相等的负实数极点：
p1,2 n
系统包含两类瞬态衰减分量：
e nt , tent
过阻尼二阶系统： > 1
具有两个不相等的负实数极点：
P79 表
xo (t ) 1 e t / T
98.2%
99.3% 5T
0
63.2%
1T
2T
3T
4T
99.8% 6T
0.632
A
95%
t
一阶惯性环节的单位阶跃响应曲线
第三章 时域分析法
• 一阶系统单位阶跃响应的特点
（1）响应分为两部分
t T 瞬态响应： e
表示系统输出量从初态到终态的变化过程（动态/过 渡过程）
e

t T
1 xo (t )
1 t ln1 xo (t ) T
即ln[1-xo(t)]与时间t成线性关系。
该性质可用于判别
系统是否为惯性环
ln[1-xo(t)]
0 t
节，以及测量惯性
环节的时间常数。
第三章 时域分析法
3、 一阶系统的单位斜坡响应P80
xi (t )=t.1(t )
1 1 X o ( s) G( s) T s 1 T
xo(t)
0
T
1 xo (t ) e T

t T
, t0
t
第三章 时域分析法
一阶系统单位脉冲响应的特点
（1）瞬态响应：(1/T )e – t /T ；稳态响应：0； （2） xo(0)=1/T,随时间的推移，xo(t)指数衰减；
p1,2 n n 2 1
系统包含两类瞬态衰减分量：
2 exp n n 1 t
二阶系统实例:弹簧-质量-阻尼系统
d 2 y( t ) dy( t ) m c Ky(t ) f ( t ) dt dt
弹簧系数k
0 t
一阶惯性环节的单位斜坡响应曲线