3.3 行列式与矩阵的逆分析
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| Α|| B | .
Pl B Pl B
注 1815年 Cauchy 得到推广的矩阵乘积的行列式公式. 1812年 Binet 曾叙述过上述公式但没有给出证明.
Βιβλιοθήκη Baidu
行列式与矩阵的逆
10/22
例3.6 设 A 是三阶可逆矩阵, 且 | A| a, 求行列式
|( 2 A)1 Α | .
1 A A. | A|
1
当 | A | 0 时, 称 A 为奇异矩阵, 否则称 A 为非奇异矩阵. 因此, A 为可逆矩阵当且仅当 A 为非奇异矩阵. 由定理3.11, 可得求逆矩阵的伴随矩阵法.
行列式与矩阵的逆
6/22
1 2 3 例3.5 求矩阵 A 2 2 1 的逆矩阵. 3 4 3 1 2 3
于是 因此
6 4 2 A 3 6 5 . 2 2 2 6 4 2 1 1 1 5 . A A 3 6 2 | A| 2 2 2
行列式与矩阵的逆
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3.3.2 行列式乘积法则
定理3.12 设 A, B 均为 n 阶矩阵, 则 | AB | | A | | B | . 证 对于矩阵 A, 必有初等矩阵 P1, P2, , Pl 和阶梯矩 阵 H, 使得 A P1P2 Pl H. 若 A不可逆, 则 H 的最后一行全为零, 从而 HB 的最后 一行全为零, 故 | H | 0, | HB | 0, 于是
予上式右端的矩阵一个名称.
行列式与矩阵的逆
4/22
定义3.2 设 A [aij] 为 n 阶矩阵, n 2, 行列式 | A| 中各
元 aij 的代数余子式 Aij 所构成的如下矩阵
A11 A 12 A1n
A21 A22 A2 n
An1 An 2 Ann
“两调一除”法求二阶矩阵 A [aij] 的逆矩阵的公式:
a22 a12 1 A a a a11a22 a12 a21 21 11
1
1 A11 | A A12
A21 . A22
为了将逆矩阵的这种表达式推广到 n 阶矩阵, 首先给
称为 A 的伴随矩阵, 记作 A . 于是对二阶可逆矩阵 A, 有
1 A A. | A|
1
行列式与矩阵的逆
5/22
定理3.11 设 A 为 n 阶矩阵, 则当 n 2时, 有
AA A A | Α | E .
进一步, A 可逆的充要条件是 | A| 0. 且当 n 2时, 有
行列式与矩阵的逆
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1 7 0 例3.7 计算行列式 | A | 0 0 0
2 6 0 0 0 0
3 5 1 3 5 9
4 4 2 4 6 8
5 3 0 0 7 7
6 2 0 . 0 8 6
解 将| A | 分块, 再应用推论3.13, 得
1 1 2 3 | A| 7 6 5 9
2 4 6 8
解 因 | A | 2
2 1 2 0, 故 A1存在. 3 4 3
2 2 2 1 2 1 2, A11 2, A12 3, A13 3 4 4 3 3 3
同理可得
行列式与矩阵的逆
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A21 6, A22 6, A23 2, A31 4, A32 5, A33 2.
第3章 行列式
3.1 n 阶行列式的概念 3.2 行列式的性质
3.3 行列式与矩阵的逆
3.4 行列式的计算 3.5 行列式与矩阵的秩
3.3 行列式与矩阵的逆
3.3.1 伴随矩阵与矩阵的逆 3.3.2 行列式乘积法则 3.3.3 Cramer 法则
内容小结
行列式与矩阵的逆
3/22
3.3.1 伴随矩阵与矩阵的逆
Em C
0 B
| B|.
行列式与矩阵的逆
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因此由行列式乘积法则及前面两个式子, 可得
A 0 A 0 Em C B C E n 0
A C 0 Em En 0
0 B
0 A B . B
根据上式及定理3.10即得
A D | A|| B | . 0 B
0 0 7 7
0 1 2 7 8 0 (8) 224. 8 3 4 7 6 6
行列式与矩阵的逆
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3.3.3 Cramer 法则
定理3.14 (Cramer 法则) 若 nn 线性方程组 Ax b 的 系数行列式 | A| 0, 则方程组有唯一解
A1 A2 x1 , x2 , A A An , xn , A
其中 | Aj| 是用常数项向量 b 替代 A 中第 j 列得到的 n 阶 行列式.
3
行列式与矩阵的逆
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已知: 三角行列式等于主对角元之积.
问: 分块三角行列式是否也有类似的性质呢?
推论3.13 对任意 m 阶矩阵 A 和任意 n 阶矩阵 B, 有
A C
0 B
| A|| B | ,
A D 0 B
| A|| B | .
证 应用按行(列)展开法则, 可得
A C
0 En
| A |,
A P 1 P 2 Pl H 0,
行列式与矩阵的逆
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AB P 1 P 2
Pl HB 0,
即
| AB | | A | | B | .
若 A 可逆, 则 H E, 于是
AB P 1 P 2 ( P 1 P 2
解 因 A 可逆, 故 | A| a 0, 且
从而
1 1 (2 A) A , Α | A | A1 aA1 , 2
1
1 1 1 1 1 | (2 A) Α | A aΑ a A 2 2
1
3 (1 2 a ) 1 . a | A1 | 8a 2
Pl B Pl B
注 1815年 Cauchy 得到推广的矩阵乘积的行列式公式. 1812年 Binet 曾叙述过上述公式但没有给出证明.
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行列式与矩阵的逆
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例3.6 设 A 是三阶可逆矩阵, 且 | A| a, 求行列式
|( 2 A)1 Α | .
1 A A. | A|
1
当 | A | 0 时, 称 A 为奇异矩阵, 否则称 A 为非奇异矩阵. 因此, A 为可逆矩阵当且仅当 A 为非奇异矩阵. 由定理3.11, 可得求逆矩阵的伴随矩阵法.
行列式与矩阵的逆
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1 2 3 例3.5 求矩阵 A 2 2 1 的逆矩阵. 3 4 3 1 2 3
于是 因此
6 4 2 A 3 6 5 . 2 2 2 6 4 2 1 1 1 5 . A A 3 6 2 | A| 2 2 2
行列式与矩阵的逆
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3.3.2 行列式乘积法则
定理3.12 设 A, B 均为 n 阶矩阵, 则 | AB | | A | | B | . 证 对于矩阵 A, 必有初等矩阵 P1, P2, , Pl 和阶梯矩 阵 H, 使得 A P1P2 Pl H. 若 A不可逆, 则 H 的最后一行全为零, 从而 HB 的最后 一行全为零, 故 | H | 0, | HB | 0, 于是
予上式右端的矩阵一个名称.
行列式与矩阵的逆
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定义3.2 设 A [aij] 为 n 阶矩阵, n 2, 行列式 | A| 中各
元 aij 的代数余子式 Aij 所构成的如下矩阵
A11 A 12 A1n
A21 A22 A2 n
An1 An 2 Ann
“两调一除”法求二阶矩阵 A [aij] 的逆矩阵的公式:
a22 a12 1 A a a a11a22 a12 a21 21 11
1
1 A11 | A A12
A21 . A22
为了将逆矩阵的这种表达式推广到 n 阶矩阵, 首先给
称为 A 的伴随矩阵, 记作 A . 于是对二阶可逆矩阵 A, 有
1 A A. | A|
1
行列式与矩阵的逆
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定理3.11 设 A 为 n 阶矩阵, 则当 n 2时, 有
AA A A | Α | E .
进一步, A 可逆的充要条件是 | A| 0. 且当 n 2时, 有
行列式与矩阵的逆
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1 7 0 例3.7 计算行列式 | A | 0 0 0
2 6 0 0 0 0
3 5 1 3 5 9
4 4 2 4 6 8
5 3 0 0 7 7
6 2 0 . 0 8 6
解 将| A | 分块, 再应用推论3.13, 得
1 1 2 3 | A| 7 6 5 9
2 4 6 8
解 因 | A | 2
2 1 2 0, 故 A1存在. 3 4 3
2 2 2 1 2 1 2, A11 2, A12 3, A13 3 4 4 3 3 3
同理可得
行列式与矩阵的逆
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A21 6, A22 6, A23 2, A31 4, A32 5, A33 2.
第3章 行列式
3.1 n 阶行列式的概念 3.2 行列式的性质
3.3 行列式与矩阵的逆
3.4 行列式的计算 3.5 行列式与矩阵的秩
3.3 行列式与矩阵的逆
3.3.1 伴随矩阵与矩阵的逆 3.3.2 行列式乘积法则 3.3.3 Cramer 法则
内容小结
行列式与矩阵的逆
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3.3.1 伴随矩阵与矩阵的逆
Em C
0 B
| B|.
行列式与矩阵的逆
12/22
因此由行列式乘积法则及前面两个式子, 可得
A 0 A 0 Em C B C E n 0
A C 0 Em En 0
0 B
0 A B . B
根据上式及定理3.10即得
A D | A|| B | . 0 B
0 0 7 7
0 1 2 7 8 0 (8) 224. 8 3 4 7 6 6
行列式与矩阵的逆
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3.3.3 Cramer 法则
定理3.14 (Cramer 法则) 若 nn 线性方程组 Ax b 的 系数行列式 | A| 0, 则方程组有唯一解
A1 A2 x1 , x2 , A A An , xn , A
其中 | Aj| 是用常数项向量 b 替代 A 中第 j 列得到的 n 阶 行列式.
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行列式与矩阵的逆
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已知: 三角行列式等于主对角元之积.
问: 分块三角行列式是否也有类似的性质呢?
推论3.13 对任意 m 阶矩阵 A 和任意 n 阶矩阵 B, 有
A C
0 B
| A|| B | ,
A D 0 B
| A|| B | .
证 应用按行(列)展开法则, 可得
A C
0 En
| A |,
A P 1 P 2 Pl H 0,
行列式与矩阵的逆
9/22
AB P 1 P 2
Pl HB 0,
即
| AB | | A | | B | .
若 A 可逆, 则 H E, 于是
AB P 1 P 2 ( P 1 P 2
解 因 A 可逆, 故 | A| a 0, 且
从而
1 1 (2 A) A , Α | A | A1 aA1 , 2
1
1 1 1 1 1 | (2 A) Α | A aΑ a A 2 2
1
3 (1 2 a ) 1 . a | A1 | 8a 2