微分中值定理的总结及体会

，
将以上两式相乘可得结论: .
7.（2010）设函数 在闭区间 上连续，在开区间 上可导，且 .证明：存在 ， ，使得 .
【证明】令
在 上用拉格朗日中值定理，
①
在 上利用拉格朗日中值定理，
②
两式相加得
.
8.设函数 在 内连续，且
， .
证明：在 内至少存在两个不同的点 ，使 .
【提示】本题主要考查罗尔定理，零点定理（或积分中值定理）。令 ，则 .要完成证明，需通过条件 ，找到另一点 ，使 ，再两次运用罗尔定理即可.
,
又 ，得 ,
即存在 ,使
(Ⅱ)因 ，即 ,又 在闭区间 上连续,由介值定理知，至少存在一点 ,使得
.
因此 在区间 , 上都满足罗尔中值定理条件,于是至少存在点 , ,有
,
由 在 上连续,在 内二阶可导,知 在 上连续,在 可导,用罗尔中值定理,至少存在一点 ,使得 .
【评注】一般地有如下结论：设 在 上连续，
，使得 .
【分析】结论等价于证明存在 ，使 .
证明：作辅助函数
，
易验证 满足： ； 在闭区间 上连续，在开区间 内可导，且 .
根据罗尔定理，可得在 内至少有一点 ，使 ，即
，
所以 .
【评注】本题也可设辅助函数为
；
或 .
3.设函数 在 上可微,且 与 同号,证明存在 使
（1） ;
（2） .
证明：(1)将欲证等式变形为 知,需引入辅助函数 .由于 , 在 上满足柯西中值定理条件,所以存在 ,使
，
则存在 ，使得 .
【分析】本题主要考查连续函数零点定理、洛尔定理的应用以及相关的辅助函数的构造.在(1)中,由欲证结论的形式可知,只需证明存在 使 ;在(2)中,由欲证结论的形式等价于 ，则只需证明 在 内存在 ,使
证明：(1)设 ，则 在 上连续，且
由闭区间上连续函数的零点存在定理知,存在 ，使得
，
即 .
(2)设 ，则 在 上连续,在 内可导,且
【证明】构造辅助函数 ，由题设有 .又 在 内具有相等的最大值,不妨设存在 , 使得
，
若 ，令 ,则
若 ，因 ，从而存在
，使
在区间 上分别利用罗尔定理知，存在 ，使得
.
再对 在区间 上应用罗尔定理，知存在 ，有
，即
3.（2008）若函数 具有二阶导数，且满足 ， ，证明至少存在一点 ，使得 .
证明：由于函数 具有二阶导数，故 在 上连续，由积分中值定理可知，存在 ，使得 ，因而有 ，分别在区间 和 上应用拉格朗日中值定理，至少存在一点 ，使得
1）假如证明结论为 ，则可引入辅助函数 ；
2）假如证明结论为 ，则可引入辅助函数 ；
3）假如证明结论为 ，则可引入辅助函数 ；
4）假如证明结论为 ，则可引入辅助函数 ；
5）假如证明结论为 ，则可引入辅助函数 .
3.设函数 在 上连续，在 内可导,且 ， ，试证明:
(I)存在 ，使 ;
(II)对任何实数 ，必存在 ，使 .
2.设函数 在 内连续，在 内可导，已知 ，证明：对于任意的 ，存在 且 ，使得 .
证明：因为 ,所以 ，又 在 上连续,由介值定理知存在 ，使 .在区间 和 上对 分别应用拉格朗日中值定理,得
，
，
由于 ，所以由以上两式可得
， ，
于是，将前后两式两边分别相加，得
，
即
.
3.（2005）已知函数 在 上连续，在 内可导，且 .证明：
5.设函数 在 内连续，在 内可导, ， ，证明：存在
，使 .
证明:将欲证等式变形为 ，引入辅助函数 和 .在 上分别对 和 应用柯西中值定理，得
,
,
即 .
6.设函数 在 内连续,在 内可导,且 ,试证存在 使
.
证明:引入辅助函数 ，由柯西中值定理可得，对于 ，存在 使
，
对于 ，由拉格郞日中值定理可得,存在 ，使得
于是
【评注】中值定理的证明问题是历年出题频率最高的部分，而将中值定理与介值定理或积分中值定理结合起来命题又是最常见的命题形式.
4.设函数 在 内连续,在 内可导,且 ，证明：存在
使 .
证明:设 ， ，由柯西中值定理可得，至少存在 ,使得
，即 ，
设 ，由拉格郞日中值定理可得，至少存在 ，使得
，即 ，
从而 ，即 .
2.设函数 在 上连续，在 内可导,且 ,证明在 内至少存在一点 ，使得 .
证明：不妨设 则由已知条件知 ，引入辅助函数 ，则
依闭区间上连续函数的零点存在定理,至少存在一点 使 ；至少存在一点 ，使 .
综上所述知, 在 上满足洛尔定理的条件,故存在点 ,使 ,即
【评注】读者可以从证明中看出，之所以选择 ,是因为 ，且由 的导数可以得出 .记住下面常见的一些辅助函数的构造
【典型考题】
1.（2003）设函数 在闭区间 上连续，在开区间 内可导，且 .若极限 存在，证明：
(1)在 内 ;
(2)在 内存在点 ，使
；
(3)在 内存在与(2)中 相异的点 ，使
【分析】(1)由 存在知， ,利用单调性即可证明 . (2)要证的结论显含 ，应将要证的结论写为拉格朗日中值定理或柯西中值定理的形式进行证明. (3)注意利用(2)的结论证明即可.
【证法1】对函数 在 上应用拉格朗日中值定理，得
设 ，则 ，
当 时，有 所以 单调减少，从而 ，即
，
故 .
【证法2】设 ，则 ， ,
所以当 时， 故 单调减少，从而当 时，
，
即当 时， 单调增加.
因此当 时，有 ，即
，
故
.
【评注】本题也可设辅助函数为 或
，再用单调性进行证明即可。
【提高练习】
1、设 ，证明： .
2、证明：当 时， .
考点三:微分中值定理和闭区间上连续函数的性质
2．（2003）设函数 在 上连续，在 内可导,且 ，且 ，试证：必存在 ，使 .
【分析】根据洛尔定理，只需证明存在一点 ，使得 ，然后在 上应用洛尔定理即可.注意到条件 等价于 ，问题转化为1介于 的最值之间，用闭区间上连续函数的介值定理可以达到目的.
【证法1】令 则
又因为
所以存在 ,使 若不然，则在 内或 恒为正，或 恒为负，均与 矛盾。但当 时， 故
由上证得
再对 在区间 上分别用罗尔定理，知至少存在 , 使
即
【证法2】由 知，存在 使 ，若不然，则在 内或 恒为正，或 恒为负，均与 矛盾。
若在 内 仅有一个实根 ,则由 推知, 在 内与 内异号，不妨设在 内 在 内 于是由 及 在 上的单调性知：
微分中值定理
考点一:验证微分中值定理的条件，构造辅助函数
1．设 且满足 ,证明方程 在 内至少有一个实根。
【分析】结论等价于证明存在 ，使 .
证明：作辅助函数:
显然, 又 是多项式函数,在 上连续,在 内可导, 满足洛尔定理的条件,故存在 ,使 .而
故方程 在 内至少有一个实根 .
2.（2008）证明拉格朗日中值定理：若函数 在 上连续，在 可导，则存在
由洛尔定理知,存在 使
而
于是有
即有
亦即
考点四:微分中值定理和积分中值定理相结合
1.设 在 内可导，且 ，证明：在 内方程 有根。
证明：由于 在 内可导，由积分中值定理可知，存在 ，使得
，
即
，
在区间 上考察函数ຫໍສະໝຸດ Baidu，其满足洛尔定理的条件，因而至少存在一个 ，使得
，
即在 内方程 有根。
2.设函数 在 上可微，且 ， ，证明：存在一点
，
至少存在一点 ，使得
,
再在区间 上对函数 应用拉格朗日中值定理，至少存在一点 ，使得
,
即证。
4.(2010)设函数 在闭区间 上连续,在开区间 内二阶可导,且
.
(I)证明存在 使得 ;
(II)证明存在 ,使得 .
【分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理
【证明】(I)因 在闭区间 上连续,由积分中值定理得，至少存在一点 ,使得
证明:由题设知 在 , 上满足拉格郎日中值定理的条件,故存在 , ,使得
, ，
由于 三点共线,故
，
即
再考察函数 ，其在 上满足洛尔定理的条件，由洛尔定理知至少存在一点 ，使 .
2.（2007）设函数 在 上连续，在 内具有二阶导数且存在相等的最大值， ,证明：存在 ，使得
【分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理，事实上，若令 ，则问题转化为证明 ,只需对 用罗尔定理，关键是找到 的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点)，而利用F(a)=F(b)=0,若能再找一点 ，使得 ，则在区间 上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对 用罗尔定理即可.
【详解】(1)因为 存在，故 又 ，于是 在 内单调增加，故
(2)设 , ,则 ，故 满足柯西中值定理的条件，于是在 内存在点 ，使
，
即 .
(3)因 ，在 上应用拉格朗日中值定理，知在 内存在一点 ，使 ，从而由(2)的结论得
，
即有
【评注】证明(3)，关键是用（2）的结论：
（根据(2)结论）
，
可见对 在区间 上应用拉格朗日中值定理即可.
得出矛盾。从而推知，在 内除 外， 至少还有另一实根 ，故知存在 使
考点六：结论中含有二阶导数，应考虑两次使用微分中值定理
1.假设函数 在 内连续,在 内二阶可导,过点 与 的直
线与曲线 相交于点 ,其中 ,证明在 内至少存在一点 ,使 .
【提示】:本题主要考查罗尔定理和拉格朗日中值定理的应用以及它们的几何意义.由拉格朗日中值定理的几何意义知,在 内存在一点 ,使得该点对应的切线与直线 平行,在 内存在一点 ,使得该点对应的切线与直线 平行,即有 .再在 上用洛尔定理即可得结论.
【详解】因为 在 上连续，所以 在 上连续，且在 上必有最大值 和最小值 ，于是
，
，
.
故
由介值定理知，至少存在一点 ，使
因为 ,且 在 上连续，在 内可导，所以由洛尔定理知，必存在 ，使
【评注】介值定理、微分中值定理与积分中值定理都是常考知识点，且一般是两两结合起来考.本题是典型的结合介值定理与微分中值定理的情形.
;
(2)将欲证等式变形为 ，需引入辅助函数 .由于 , 在 上满足柯西中值定理条件,所以存在 ,使
.
【提高练习】
1.若方程 有一个正根 ，证明：方程 必有一个小于 的正根.
考点二：用微分中值定理证明不等式
1．（2004）设 ，证明 .
【分析】根据要证不等式的形式，可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明.
，使得 。
证明：由于函数 在 内可导，由积分中值定理可知，存在 ，使得
，
即
，
在区间 上考察函数 ，其在 内可导，且 ，因而至少存在一个 ，使得
，
整理得
考点五：结论中含有两个不同的参数
【解题思路】这时基本上考虑两种情况，
1）同一个函数在不同的区间上同时运用微分中值定理；
2）两个函数在同一个区间上同时运用微分中值定理。
（I）存在 使得 ；
（II）存在两个不同的点 ，使得
【分析】第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.
【详解】（I）令 ，则 在 上连续，且 , ,于是由介值定理知，存在存在 使得 ，即 .
（II）在 和 上对 分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点 ，使得 ，