选修4-2+矩阵与变换

/选修4－2 矩阵与变换A

[最新考纲]

1．了解二阶矩阵的概念，了解线性变换与二阶矩阵之间的关系．

2．了解旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换这五种变换的概念与矩阵表示．

3．理解变换的复合与矩阵的乘法；理解二阶矩阵的乘法和简单性质． 4．理解逆矩阵的意义，会求出简单二阶逆矩阵．

5．理解矩阵的特征值与特征向量，会求二阶矩阵的特征值与特征向量.

知 识 梳 理

1．矩阵的乘法规则

(1)行矩阵[a 11 a 12]与列矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤

b 11b 21的乘法规则： [a 11 a 12]⎣⎢⎢⎡⎦

⎥⎥⎤

b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21]． (2)二阶矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11a 21 a 12a 22与列向量⎣⎢⎢⎡⎦⎥

⎥⎤

x 0y 0的乘法规则： ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11a 21 a 12a 22⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎢⎡⎦

⎥⎥⎤

a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. 设A 是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ、λ1、λ2是任意三个实数，则

①A (λα)＝λAα；②A (α＋β)＝Aα＋Aβ； ③A (λ1α＋λ2β)＝λ1Aα＋λ2Aβ.

(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下： ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11a 21 a 12a 22⎣⎢⎢⎡⎦

⎥⎥⎤b 11b 21 b 12b 22＝ ⎣⎢⎢⎡⎦

⎥⎥⎤a 11×b 11＋a 12×b 21a 21×b 11＋a 22×b 21 a 11×b 12＋a 12×b 22a 21×b 12＋a 22×b 22 性质：①一般情况下，AB ≠BA ，即矩阵的乘法不满足交换律；②矩阵的乘法满足结合律，即(AB )C ＝A (BC )；③矩阵的乘法不满足消去律． 2．矩阵的逆矩阵

(1)逆矩阵的有关概念：对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵．若二阶矩阵A 存在逆矩阵B ，则逆矩阵是唯一的，通常记A 的逆矩阵为A －1，A －1＝B .

(2)逆矩阵的求法：一般地，对于二阶可逆矩阵A ＝⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤

a b c d (det A ＝ad －bc ≠0)，它的逆矩阵为

A －

1＝

⎣⎢⎢⎡⎦

⎥⎥⎤d

ad －bc

－b ad －bc －c ad －bc a ad －bc . (3)逆矩阵与二元一次方程组：如果关于变量x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧

ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n

的系数矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 可逆，那么该方程组有唯一解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢

⎡⎦⎥⎤a b c d －1⎣⎢⎡

⎦

⎥⎤

m n ， 其中A

－

1＝⎣⎢⎢⎡⎦

⎥⎥⎤d

ad －bc

－b ad －bc

－c ad －bc

a ad －bc . 3．二阶矩阵的特征值和特征向量 (1)特征值与特征向量的概念

设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的一个属于特征值λ的一个特征向量．

(2)特征多项式与特征方程 设λ是二阶矩阵A ＝⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤a

b c d 的一个特征值，它的一个特征向量为ξ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则A ⎣⎢⎡⎦⎥

⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦

⎥⎤x y ， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤

x y 满足二元一次方程组⎩⎨⎧

ax ＋by ＝λx ，cx ＋dy ＝λy ， 故⎩⎨⎧

(λ－a )x －by ＝0－cx ＋(λ－d )y ＝0⇔⎣⎢

⎡⎦⎥⎤λ－a －b －c λ－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤

00(*)

则(*)式有非零解的充要条件是它的系数矩阵的行列式 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0.记f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d 为矩阵A ＝⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤

a b c d 的特征多项式；方程⎪⎪⎪⎪

⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0，即f (λ)＝0称为矩阵A ＝⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤

a

b c d 的特征方程． (3)特征值与特征向量的计算

如果λ是二阶矩阵A 的特征值，则λ是特征方程f (λ)＝⎪⎪

⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2

－(a ＋d )λ＋ad －bc ＝0的一个根．

解这个关于λ的二元一次方程，得λ＝λ1、λ2，将λ＝λ1、λ2分别代入方程组(*)，分别求出它们的一个非零解

⎩⎨⎧ x ＝x 1，y ＝y 1，⎩⎨⎧

x ＝x 2，y ＝y 2，

记ξ1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，ξ2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2.

则Aξ1＝λ1ξ1、Aξ2＝λ2ξ2，因此λ1、λ2是矩阵A ＝⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤a

b c

d 的特征值，ξ1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，ξ2

＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

x 2y 2为矩阵A 的分别属于特征值λ1、λ2的一个特征向量． 诊 断 自 测

1. ⎣⎢

⎡⎦⎥⎤1 00 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤

57＝________.

解析 ⎣⎢

⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤57＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1×5＋0×7 0×5＋(－1)×7＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

5－7.