圆的有关计算问题专题

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知识结构图

知识点一：扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式

1、扇形：（1）弧长公式：180

n R

l π=

； （2）扇形面积公式： 21

3602

n R S lR π=

= n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积

2、圆柱：

（1）圆柱侧面展开图

2S S S =+侧表底=222rh r ππ+

（2）圆柱的体积：2

V r h π= 3 .圆锥侧面展开图

（1）S S S =+侧表底=2

Rr r ππ+ （2）圆锥的体积：2

1

3

V r h π=

知识点二：圆内正多边形的计算

（1）正三角形

在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ∆中进行：

::32OD BD OB =；

（2）正四边形

S l

B

O

母线长

底面圆周长

C 1

D 1D

C

B1

R

r

C

B

O

D

C

B

A

O

E

C

B

A

D

O

A B C

O ① ②

③ D(B ')A(A ')

D '

C 'C

B

C

B

D O

A

同理，四边形的有关计算在Rt OAE ∆中进行，::1:1:2OE AE OA =： （3）正六边形

同理，六边形的有关计算在Rt OAB ∆中进行，::1:3:2AB OB OA =.

【例题经典】

考点1：圆的周长、弧长

中考中对圆的周长及弧长公式的考查内容难度较小，常以填空选择题出现。 [例1]如图,一块边长为8cm 的正方形木板ABCD,在水平桌面上绕点

A 按逆时针方向旋转至A′B′C′D′的位置,则顶点C•从开始到结束所

经过的路径长为( )

A.16cm

B.162cm

C.8πcm

D.42πcm [例2] 如图，Rt △ABC 的斜边AB=35，AC=21，点O 在AB 边上，

OB=20，一个以O 为圆心的圆，分别切两直角边边BC 、AC 于D 、E 两点，求»DE

的长度．

考点2：扇形及不规则图形的面积

求不规则图形的面积一直是历年来中考考查的主要内容，一般方法是运用割补法和整体减局部的方法把不规则图形转化为规则图形，从而利用扇形公式等计算，从而达到考查目的。

[例3]如图,⊙A 、⊙B 、⊙C 、⊙D 相互外离,•它们的半径都是1,顺次连结四个圆心得到四边形ABCD,则图形中四个扇形(阴影部分)•的面积之和是( )

A.2π

B. π

C.

23π D. 2

π [例4]如图3,扇形AOB 中,∠AOB=60°,AD=3cm,CD=3πcm,则图中阴影部分的面积为

( ) A.

92πcm 2 B. 152πcm 2 C. 21

2

πcm 2 D.21πcm 2 [例5]如图，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90o

的扇形．

（1）求这个扇形的面积（结果保留π）． （2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇

形围成一个圆锥？请说明理由．

B

A

O

C

B

D

A

60

(b)

O

30

20

(a)

（3）当⊙O 的半径(0)R R >为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

考点3：圆锥的侧面积

圆柱和圆锥的侧面积与全面积的计算与扇形面积的计算是考查的重点，常以填空和选择题的形式出现。

[例6] 用一个半径长为6cm 的半圆围成一个圆锥的侧面,则此圆锥的底面半径为( ) A.2cm B.3cm C.4cm D.6cm

[例7] 经过一个带盖的圆锥形容器的轴的剖面是一个等腰三角形(如图a),它的腰长等于圆锥的母线长,底边长等于圆锥底面的直径,•其尺寸如图a 所示(单位:cm). (1)求圆锥形容器的侧面积和它的侧面展开图的圆心角α;

(2)图b 是一个直径等于60cm 的半圆形铁皮,如何把它裁剪,可以做成这个带盖的圆锥形容器(不考虑缝接处的用料,在图b 中用虚线画出裁剪线,并注明必要的角度、线段长;画图工具不限,不要求写画法).

考点4：有关阴影部分面积的求法

[例8] （2006年济宁市）如图，以BC 为直径，在半径为2圆心角为90°的扇形内作半圆，交弦AB 于点D ，连接CD ，则阴影部分的面积是（ ） A ．π-1 B ．π-2 C ．12π-1 D ．1

2

π-2 考点5：求曲面上最短距离

[例9] （2006年南充市）如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A 点出发，绕侧面一周又回到A 点，它爬行的最短路线长是（ ）

A ．2π

B ．42

C ．43

D ．5

A B O ① ②

③

E F

【考点精练】

一、基础训练

1．已知扇形的圆心角为120°，半径为2cm，则扇形的弧长是_______cm，扇形的面积是________cm2．

2．如图1，两个同心圆中，大圆的半径OA=4cm，∠AOB=∠BOC=60°，则图中阴影部分的面积是______cm2．

（1）（2）（3）（4）

3．如图2，圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，那么这个圆锥的侧面积是_______cm2．4．如图3，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为r，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于120°，则r与R之间的关系是（）A．R=2r B．R=r C．R=3r D．R=4r

5．如图4，圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则它的侧面积是（）A．60πcm2B．45πcm2C．30πcm2D．15πcm2

6．（2006年南通市）已知圆锥侧面展开图的圆心角为90°，•则该圆锥的底面半径与母线长的比为（）

A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1

7．（2006年威海市）用半径为30cm，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，•则圆锥的底面半径为（）

A．10cm B．30cm C．45cm D．300cm

8．（2006年江阴市）将直径为64cm的圆形铁皮，做成四个相同圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的高为（）

A．15B．17C．3D．16cm

9．（2006年徐州市）如图5，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，•OA=3，OC=1，分别连结AC、BC，则圆中阴影部分的面积为（）

A．1

2

πB．πC．2πD．4π