电磁感应中的动力学问题“双杆”滑轨问题
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电磁感应和力学规律 的综合应用
专题五“双杆”滑轨问题
电磁感应中产生的感应电流在磁场中将受 到安培力的作用，因此，电磁感应问题往往跟 力学问题联系在一起，解决这类电磁感应中的 力学问题，不仅要应用电磁学中的有关规律， 如楞次定律、法拉第电磁感应定律、左右手定 则、安培力的计算公式等，还要应用力学中的 有关规律，如牛顿运动定律、动量定理、动能 定理、动量守恒定律、机械能守恒定律等。要 将电磁学和力学的知识综合起来应用。
a2 =F/m
v2
E2=BLv2
I=(E1-E2) /2R
F=BIL
当E1=E2时，I=0，F=0,两棒以共同速度匀速运动，vt =1/2 v
B
B
F
E1
v
F
1
I 2 E2
F
1
E1 I
vt
2 E2 Fvt
例4. 光滑平行导轨上有两根质量均为m，电阻均为R 的导体棒1、2，给导体棒1以初速度 v 运动， 分析它们 的运动情况，并求它们的最终速度。….
由于安培力和导体中的电流、运动速度 均有关， 所以对磁场中运动导体进行动态分 析十分必要。
“双杆”滑轨问题
• 分析两杆的运动情况和受力情况 • 分析物理情景 • 灵活选择运动规律
滑 轨
1
B
m1=m2
v 2 r1=r2
1
l1=l2
B 2
m1=m2 F r1=r2
l1=l2
问
题
杆1做变减速运动，杆 开始两杆做变加速运动，
mv=(m+m)vt 共同速度为vt =1/2 v
v
它们的速度图象如图示：
v
1
B
0.5 v
v
2
1
2
0
t
04年广东 15． 如图，在水平面上有两条平行导电导轨MN、PQ,
导轨间距离为l，匀强磁场垂直于导轨所在的平面（纸
面）向里，磁感应强度的大小为B，两根金属杆1、2摆
在导轨上，与导轨垂直，它们的质量和电阻分别为m1、 m2和R1 、 R2,两杆与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦 因数为μ，已知：杆1被外力拖动，以恒定的速度v0沿导 轨运动；达到稳定状态时，杆2也以恒定速度沿导轨运
B
B
F
E1
v
F
1
I 2 E2
F
1
E1 I
vt
2 E2 Fvt
由楞次定律，感应电流的效果总要阻碍产生感应
电流的原因，1棒向右运动时， 2棒也要向右运动。
杆1做变减速运动，杆2做变加速运动，稳定时， 两杆的加速度为0，当两棒相对静止时，没有感应 电流，也不受磁场力作用，以共同速度匀速运动。
由动量守恒定律:
FcF da-bmgF sicndα=B 0ILBB2 LR vabL②③
a=(F-f)/m
v
E=BLv
I= E/R
f=BIL
最后，当f=F 时，a=0，速度达到最大，
F=f=BIL=B2 L2 vm /R
a
vm=FR / B2 L2
vm称为收尾速度.
R f1
F
F
f2
f
F
又解：匀速运动时，拉力 所做的功使机械能转化为
b
电阻R上的内能。
B
F vm=I2 R= B2 L2 vm2/ R
B l μ I m 2 g 3
M
2
导体杆2克服摩擦力做功的功率
P μ m 2 gv4 P
1N
v0 Q
解得 Pμm 2g0 [ v μ B m 2l2 2 g(R 1R 2)]
解法二：以F表示拖动杆1的外力，以I表示由杆1、杆2 和导轨构成的回路中的电流，达到稳定时，
对杆1有 F-μm1 g-BI l=0 …… ⑴
（1）求力F的大小及ab运动的速度大小；
（2）若施加在ab上力的大小变为2mg，方向不变，经
过一段时间后ab、cd以相同的
B
N
加速度沿导轨向上加速运动，
a
Q
求此时ab棒和cd棒的速度差
c b
(Δv＝vab-vcd)．
Mα
d
Pα
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
.解: (1)ab棒所受合外力为零 F-Fab-mgsinα=0 ①
cd棒合外力为零 ab、cd棒所受安培力为
动，导轨的电阻可忽略，求此时杆2克服摩擦力做功的
功率。
M2
1N
v0
P
Q
解法一： 设杆2的运动速度为v，由于两杆运动时，
两杆间和导轨构成的回路中的磁通量发生变化，产生
感应电动势 感应电流
E B0 lv (v )1
I E
2
R1R2
杆2作匀速运动,它受到的安培力等于它受到的摩擦力,
vm=FR / B2 L2
例2. 光滑平行导轨上有两根质量均为m，电阻均为R的 导体棒1、2，给导体棒1以初速度 v 运动， 分析它们的 运动情况，并求它们的最终速度。….
对棒1，切割磁感应线产生感应电流I，I又受到磁场的作用力F
v1
E1=BLv1
I=(E1-E2) /2R
F=BIL
a1=F/m
对棒2，在F作用下，做加速运动，产生感应电动势，总电动势减小
1N
v0
P
Q
例5．(15分)如图所示,两足够长平行光滑的金属导轨 MN、PQ相距为L,导轨平面与水平面夹角α＝30°,导轨 电阻不计。磁感应强度为B的匀强磁场垂直导轨平面 向上,两根长为L的完全相同的金属棒ab、cd垂直于MN、 PQ放置在导轨上,且与导轨电接触良好,每根棒的质量 为m、电阻为R．现对ab施加平行导轨向上的恒力F， 当ab向上做匀速直线运动时，cd保持静止状态．
2做变加速运动，稳定时， 稳定时，两杆以相同的加
两杆的加速度为0，以相 速度做匀变速运动
同速度做匀速运动
v
1
v2
1
2 0
t
0
t
例1. 水平放置于匀强磁场中的光滑导轨上，有一根导体棒ab， 用恒力F作用在ab上，由静止开始运动，回路总电阻为R，分析 ab 的运动情况，并求ab的最大速度。
分析：ab 在F作用下向右加速运动，切割磁感应线，产生感应 电流，感应电流又受到磁场的作用力f，画出受力图：
对杆2有 BI l –μm2 g=0 …… ⑵
外力F的功率 PF=Fv0 ……
⑶
以P表示杆2克服摩擦力做功的功率，则有
P P F I 2 (1 R R 2 ) μ m 1 g 0 4 v
由以上各式得
P μm 2 g0 [ v μ B m 2 lg 2 g(R 1R 2)M]52
对棒1，切割磁感应线产生感应电流I，I又受到磁场的作用力F
v1
E1=BLv1
I=(E1-E2) /2R
F=BIL
a1=F/m
对棒2，在F作用下，做加速运动，产生感应电动势，总电动势减小
a2 =F/m
v2
E2=BLv2
I=(E1-E2) /2R
F=BIL
当E1=E2时，I=0，F=0,两棒以共同速度匀速运动，vt =1/2 v
专题五“双杆”滑轨问题
电磁感应中产生的感应电流在磁场中将受 到安培力的作用，因此，电磁感应问题往往跟 力学问题联系在一起，解决这类电磁感应中的 力学问题，不仅要应用电磁学中的有关规律， 如楞次定律、法拉第电磁感应定律、左右手定 则、安培力的计算公式等，还要应用力学中的 有关规律，如牛顿运动定律、动量定理、动能 定理、动量守恒定律、机械能守恒定律等。要 将电磁学和力学的知识综合起来应用。
a2 =F/m
v2
E2=BLv2
I=(E1-E2) /2R
F=BIL
当E1=E2时，I=0，F=0,两棒以共同速度匀速运动，vt =1/2 v
B
B
F
E1
v
F
1
I 2 E2
F
1
E1 I
vt
2 E2 Fvt
例4. 光滑平行导轨上有两根质量均为m，电阻均为R 的导体棒1、2，给导体棒1以初速度 v 运动， 分析它们 的运动情况，并求它们的最终速度。….
由于安培力和导体中的电流、运动速度 均有关， 所以对磁场中运动导体进行动态分 析十分必要。
“双杆”滑轨问题
• 分析两杆的运动情况和受力情况 • 分析物理情景 • 灵活选择运动规律
滑 轨
1
B
m1=m2
v 2 r1=r2
1
l1=l2
B 2
m1=m2 F r1=r2
l1=l2
问
题
杆1做变减速运动，杆 开始两杆做变加速运动，
mv=(m+m)vt 共同速度为vt =1/2 v
v
它们的速度图象如图示：
v
1
B
0.5 v
v
2
1
2
0
t
04年广东 15． 如图，在水平面上有两条平行导电导轨MN、PQ,
导轨间距离为l，匀强磁场垂直于导轨所在的平面（纸
面）向里，磁感应强度的大小为B，两根金属杆1、2摆
在导轨上，与导轨垂直，它们的质量和电阻分别为m1、 m2和R1 、 R2,两杆与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦 因数为μ，已知：杆1被外力拖动，以恒定的速度v0沿导 轨运动；达到稳定状态时，杆2也以恒定速度沿导轨运
B
B
F
E1
v
F
1
I 2 E2
F
1
E1 I
vt
2 E2 Fvt
由楞次定律，感应电流的效果总要阻碍产生感应
电流的原因，1棒向右运动时， 2棒也要向右运动。
杆1做变减速运动，杆2做变加速运动，稳定时， 两杆的加速度为0，当两棒相对静止时，没有感应 电流，也不受磁场力作用，以共同速度匀速运动。
由动量守恒定律:
FcF da-bmgF sicndα=B 0ILBB2 LR vabL②③
a=(F-f)/m
v
E=BLv
I= E/R
f=BIL
最后，当f=F 时，a=0，速度达到最大，
F=f=BIL=B2 L2 vm /R
a
vm=FR / B2 L2
vm称为收尾速度.
R f1
F
F
f2
f
F
又解：匀速运动时，拉力 所做的功使机械能转化为
b
电阻R上的内能。
B
F vm=I2 R= B2 L2 vm2/ R
B l μ I m 2 g 3
M
2
导体杆2克服摩擦力做功的功率
P μ m 2 gv4 P
1N
v0 Q
解得 Pμm 2g0 [ v μ B m 2l2 2 g(R 1R 2)]
解法二：以F表示拖动杆1的外力，以I表示由杆1、杆2 和导轨构成的回路中的电流，达到稳定时，
对杆1有 F-μm1 g-BI l=0 …… ⑴
（1）求力F的大小及ab运动的速度大小；
（2）若施加在ab上力的大小变为2mg，方向不变，经
过一段时间后ab、cd以相同的
B
N
加速度沿导轨向上加速运动，
a
Q
求此时ab棒和cd棒的速度差
c b
(Δv＝vab-vcd)．
Mα
d
Pα
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
.解: (1)ab棒所受合外力为零 F-Fab-mgsinα=0 ①
cd棒合外力为零 ab、cd棒所受安培力为
动，导轨的电阻可忽略，求此时杆2克服摩擦力做功的
功率。
M2
1N
v0
P
Q
解法一： 设杆2的运动速度为v，由于两杆运动时，
两杆间和导轨构成的回路中的磁通量发生变化，产生
感应电动势 感应电流
E B0 lv (v )1
I E
2
R1R2
杆2作匀速运动,它受到的安培力等于它受到的摩擦力,
vm=FR / B2 L2
例2. 光滑平行导轨上有两根质量均为m，电阻均为R的 导体棒1、2，给导体棒1以初速度 v 运动， 分析它们的 运动情况，并求它们的最终速度。….
对棒1，切割磁感应线产生感应电流I，I又受到磁场的作用力F
v1
E1=BLv1
I=(E1-E2) /2R
F=BIL
a1=F/m
对棒2，在F作用下，做加速运动，产生感应电动势，总电动势减小
1N
v0
P
Q
例5．(15分)如图所示,两足够长平行光滑的金属导轨 MN、PQ相距为L,导轨平面与水平面夹角α＝30°,导轨 电阻不计。磁感应强度为B的匀强磁场垂直导轨平面 向上,两根长为L的完全相同的金属棒ab、cd垂直于MN、 PQ放置在导轨上,且与导轨电接触良好,每根棒的质量 为m、电阻为R．现对ab施加平行导轨向上的恒力F， 当ab向上做匀速直线运动时，cd保持静止状态．
2做变加速运动，稳定时， 稳定时，两杆以相同的加
两杆的加速度为0，以相 速度做匀变速运动
同速度做匀速运动
v
1
v2
1
2 0
t
0
t
例1. 水平放置于匀强磁场中的光滑导轨上，有一根导体棒ab， 用恒力F作用在ab上，由静止开始运动，回路总电阻为R，分析 ab 的运动情况，并求ab的最大速度。
分析：ab 在F作用下向右加速运动，切割磁感应线，产生感应 电流，感应电流又受到磁场的作用力f，画出受力图：
对杆2有 BI l –μm2 g=0 …… ⑵
外力F的功率 PF=Fv0 ……
⑶
以P表示杆2克服摩擦力做功的功率，则有
P P F I 2 (1 R R 2 ) μ m 1 g 0 4 v
由以上各式得
P μm 2 g0 [ v μ B m 2 lg 2 g(R 1R 2)M]52
对棒1，切割磁感应线产生感应电流I，I又受到磁场的作用力F
v1
E1=BLv1
I=(E1-E2) /2R
F=BIL
a1=F/m
对棒2，在F作用下，做加速运动，产生感应电动势，总电动势减小
a2 =F/m
v2
E2=BLv2
I=(E1-E2) /2R
F=BIL
当E1=E2时，I=0，F=0,两棒以共同速度匀速运动，vt =1/2 v