第三讲(单自由度系统受迫振动)

ψ X ——振动响应的幅值；
稳态振动。
x2 = X sin(ωt −ψ )
——振动响应滞后于激振力的相位差。
它代表系统在简谐激励下产生的强迫振动，是一种持续的等幅振动，称为
如何求解
x2 = X sin(ωt −ψ ) 呢？
&&2 = −ω 2 X sin(ωt −ψ ) x &2 = ω X cos(ωt −ψ ) x 2 2 & 代入振动微分方程 &&(t ) + 2ζωn x (t ) + ωn x (t ) = ωn X 0 sin ωt x
x = Ae
=e
−ζωn t
−ζωn t
sin(ωd t + ϕ ) + X sin(ωt −ψ )
F0 kBiblioteka Baidu
2ζλ (C1 cos ωd t + C2 sin ωd t ) + sin(ωt − arctan ) 2 2 2 2 1− λ (1 − λ ) + (2ζλ )
将初始条件
& & x (0 ) = x0 , x (0 ) = x0
它是由系统特性确定的参数，表示系统在单位幅 值的简谐激振力作用下所产生振动的幅值，同时 它还是单位脉冲响应函数的傅立叶变换。
xc (t ) = H (ω ) f c (t ) = H (ω )eiωt
&&c (t ) = −ω 2 H (ω )eiωt x
代入方程
& xc (t ) = iω H (ω )eiωt
即 2 2 2 (ωn − ω 2 ) X sin(ωt −ψ ) + 2ζωnω X cos(ωt −ψ ) = ωn X 0 cosψ sin(ωt −ψ ) + ωn X 0 sinψ cos(ωt −ψ ) 对于任意瞬时上式都成立，所以有
2 2 ⎧(ωn − ω 2 ) X = ωn X 0 cosψ ⎨ 2 2ζωn ω X = ωn X 0 sinψ ⎩
代入方程得
C1 = x0 + β X 0 sinψ & x0 + ζω0 x0 + β X 0 (ζω0 sinψ − ω cosψ ) C2 =
ωd
从而得到振动的全响应
ωd ζωn sinψ − ω cosψ −ζω t (sinψ cos ωd t + sin ωd t ) + β X 0e ωd + β X 0 sin(ωt −ψ )
幅频特性
相频特性
对于线性系统，如果作用在系统的简谐激振力为
f (t ) = F0 eiωt = F0 (cos ωt + i sin ωt )
则系统振动微分方程
&& & mx(t ) + cx(t ) + kx(t ) = F0 e
iωt
此时，系统的复数形式振动响应为
x(t ) = H (ω ) f (t ) = H (ω ) F0 eiωt = H (ω ) e − iψ F0 eiωt
得 而
2 2 (ωn − ω 2 ) X sin(ωt −ψ ) + 2ζωnω X cos(ωt −ψ ) = ωn X 0 sin ωt
2 ωn X 0 sin ωt = ωn2 X 0 sin((ωt −ψ ) + ψ )
2 2 = ωn X 0 cosψ sin(ωt −ψ ) + ωn X 0 sinψ cos(ωt −ψ )
四、单自由度系统在周期性激励作用下的受迫振动 1、谐波分析与叠加原理 2、傅立叶（Fourier）级数法 五、单自由度系统在任意激励作用下的受迫振动 1、脉冲响应函数法或杜哈梅（Duhamel）积分法 2、傅立叶（Fourier）变换法 3、拉普拉斯（Laplas）变换法
三、简谐激励下的受迫振动 1、简谐激励下的受迫振动响应及频谱分析 2、受迫振动的复数求解法－－单位谐函数法 3、支座简谐激励（位移激励）引起的振动与被动隔振 4、偏心质量（力激励）引起的振动与主动隔振 5、测振传感器的基本原理
因幅頻响应曲线近似对称，故有
ω1 + ω2 ≈ 2ωn
从而
这样，当通过激振实验得到幅频特性曲线后，找出共振频率和半功率带 宽，即可由上式算得系统的阻尼比，从而得到系统的阻尼。
1 ω2 −=ω1 ωn 2ζωn n ≈ =ω 于是有 因此 Q = 2ζ ω2 − ω1 ∆ω
∆ω ζ = 2ωn
2、受迫振动的复数求解法－－单位谐函数法 所谓单位谐函数法就是首先求得系统在单位幅值简谐激励作用下所产 生的振动响应，然后利用线性系统的叠加原理，求得在任意简谐激励作用 下的振动响应的方法。 设系统 其中
= ωn ） 粘性阻尼在一个周期内消耗 2 2 2 的能量是 π cωn X = π cωn Q X 0 ，而
对应两频率点 ，阻尼在一个周期内消耗的
2
1 Q) 2 X 02 。 能量为 π cωn X = π cωn ( 2
1 2 将 β= Q= 代入 β = 4ζ 2
2 2
1 (1 − λ ) + (2ζλ )
&& & mxc (t ) + cxc (t ) + kxc (t ) = f c (t )
iωt
f c (t ) = e
则系统的振动响应
= cos ωt + i sin ωt xc (t ) = H (ω ) f c (t )
称为频率响应函数。
xc (t ) 这里 H (ω ) = f c (t )
&& & mxc (t ) + cxc (t ) + kxc (t ) = e
1
iωt
得
1 1 − iψ H (ω ) = = ⋅ = H (ω ) e 2 2 k − mω + icω k 1 − λ + i 2ζλ
1 1 β H (ω ) = ⋅ = k (1 − λ 2 ) 2 + (2ζλ ) 2 k 2ζλ ψ (ω ) = arctan 1− λ2
2 n
2 2 &&(t ) + 2ζωn x(t ) + ωn x(t ) = ωn X 0 sin ωt & x
ω ——简谐激振力圆频率；
F0 ——简谐激振力的幅值，简称力幅；
X 0 ——系统在激振力幅作用下的最大静位移。
显然，上述非齐次微分方程的通解包括两部分：即对应齐次微分方程的特 解和非齐次微分方程本身的一个特解，即
1、简谐激励下的受迫振动响应及频谱分析 （1）简谐激励下的受迫振动响应
&& & mx(t ) + cx(t ) + kx(t ) = F0 sin ωt
F0 &&(t ) + 2ζωn x(t ) + ω x(t ) = sin ωt & x m F0 k 2 &&(t ) + 2ζωn x(t ) + ωn x(t ) = & x sin ωt k m
即当
有
ωr λ= = 1 − 2ζ 2 时，也就是 ω r = ω n 1 − 2ζ ωn 1 1 β m ax = ≈ 2 2ζ 2ζ 1 − ζ
2
时
即
X max
X0 = 2ξ
（3）共振法测定系统固有频率和阻尼
Q = β max =
1 2ζ 1 − ζ
2
≈
1 2ζ
又称为品质因子（Quality factor）
&&(t ) + 2ζωn x(t ) + ω x(t ) = 0 & x −ζωn t 在欠阻尼条件下，它的通解 x1 = Ae sin(ωd t + ϕ )
它所对应的齐次方程
x = x1 + x2
2 n
即自由振动，它是一种衰减振动，在振动开始后的短暂时间内衰减为零， 故称为瞬态振动或暂态响应，一般不予考虑。 而非齐次方程的特解
③共振区： 当激振频率接近于系统固有频率时，振幅急剧增加，幅频特性曲线出现 峰值，振动幅值高出静态位移许多倍，且随阻尼的不同有很大差异。表明振 动系统的特性主要是阻尼元件作用的结果，故又称为阻尼区。 共振时系统的振幅达到最大值，而且与阻尼有关，但相位差总是90度。 这正是阻尼区的特点，因为阻尼器所受到的力与速度同相，而速度正好与位 移相差90度。 对将幅频特性曲线对频率求导，并令其等于零，得其极大值点。
n
x=e
− ζ ωn t
( x0 cos ωd t +
& x0 + ζωn x0
sin ωd t )
由以上分析可知，在简谐激励作用下，系统的振动响应由三部分组成： 第一部分是由初始条件引起的衰减自由振动，频率为系统固有频率，振幅决 定于初始条件和系统特性；第二部分是由简谐激励引起的伴随自由振动，频 率也为系统固有频率，但振幅与初始条件无关，取决于激振力和系统特性， 也是衰减振动；第三部分是由简谐激励引起的稳态响应，频率与激振力相 同，振幅也与初始条件无关，取决于激振力和系统特性，是稳态振动 。
零输入振动响应 零状态振动响应
（2）受迫振动响应的频谱分析
相频特性
ψ = arctan
2ζλ 1− λ2
β=
X 1 = X0 (1 − λ 2 ) 2 + (2ζλ ) 2
幅频特性
①低频区：
β 当 λ = 0 即 ω = 0 时， = 1 （静变形）。当激振频率远小于系统固有频率 时，无论阻尼大小如何，振幅都近似等于激振力幅值作用下的静变形。表明 在低频区，振幅主要由系统的刚度控制，故又称为刚度区或准静态区。
2 2 2
得方程
= ζ − 1)λ + 1 − 8ζ 2 = 0 (λ ) + 2(2 4ζ (1 − λ 2 ) 2 + (2ζλ ) 2
2
2
12
求解得 1,2 = 1 − 2 m 2 1+ 在实际工程中，阻尼比远小于1，所以可略去二次项，得到
λ2
ζ2
ζ
ζ2
λ ≈ 1 m 2ζ
2 1,2
ω22 − ω12 (ω1 + ω2 )(ω2 − ω1 ) = ≈ 4ζ 从而有 2 2 ωn ωn
=
2ζλ sin(ω t − arctan ) 2 1− λ (1 − λ 2 ) 2 + (2ζλ ) 2 X0
由此可见：在简谐激励力作用下，强迫振动的稳态响应也是简谐振动，其 频率与激振力频率相同，但相角滞后，这是由于阻尼的存在。振幅与相位 差都只与系统的固有特性及激振力的性质有关，而与初始条件无关。 所以，简谐激励下系统的振动全响应为
汽车振动学
第三讲
2009年3月2日
汽车振动学
第二章 单自由度系统的振动 （8学时）
2009年1月
第二章 单自由度系统的振动
一、单自由度振动系统 1、振动微分方程的建立 2、振动等效系统及外界激励 3、振动微分方程的求解 二、单自由度系统的自由振动 1、无阻尼系统的自由振动 2、有阻尼系统的自由振动 三、单自由度系统在简谐激励作用下的受迫振动 1、简谐激励下的受迫振动响应及频谱分析 2、受迫振动的复数求解法－－单位谐函数法 3、支座简谐激励（位移激励）引起的振动与被动隔振 4、偏心质量（力激励）引起的振动与主动隔振 5、测振传感器的原理
X =
ω n2 X 0
(ω n2 − ω 2 ) 2 + (2ζω n ω ) 2
令
2ζω n ω ψ = arctan 2 ωn − ω 2 X0 X = (1 − λ 2 ) 2 + (2ζλ ) 2 得 2ζλ ψ = arctan 1− λ2
从而，强迫振动的稳态响应
ω λ= ωn
x2 = X sin(ω t − ψ )
当 λ = 0 即 ω = 0 时， ψ
=0
。当激振频率远小于系统固有频率时，无论
阻尼大小如何，相位差近似等于零，即位移与激振力接近于同相，这符合准 静态区的性质。 ②高频区： 当激振频率远大于系统固有频率时，振幅都接近于零。这是因为激振力 改变方向太快，以至于振动物体由于惯性来不及对高频激励做出响应，因而 振幅很小。表明在高频区，振幅主要决定于系统的惯性（质量元件），故又 称惯性区。 相位差近似等于180度，即位移与激振力接近于反相，这正是惯性区的 特点。一质块的加速度与其受到的力是同相的，而加速度与位移是反相的， 所以振动位移与激振力反相。
1 2 1 Q= = 在幅频特性图上，取纵坐标对应 β = 的两 2 2 2 4ζ 2 (1 − λ ) + (2ζλ ) q1 和 q2 ，称为半功率点。 点
半功率点 q1 和 q2 对应的频率分别为 ω1 和 ω2 ，两频率差 ∆ω = ω2 − ω1 称为 系统的半功率频带或带宽。 之所以称为半功率点，是因为共振时 （ ωr
其中
X β = = X0
1 (1 − λ 2 ) 2 + (2ζλ ) 2
称为放大因子
代表稳态响应振幅与最大静位移之比，它不仅随频率比而变，而且随阻尼比而变。 如果系统无阻尼，则系统的振动响应为 自由振动响应 受迫振动响应
F0 λ F0 x = x0 cos ωnt + sin ωn t − sin ωnt + sin ωt 2 2 k (1 − λ ) k (1 − λ ) ωn & x0