空间向量在立体几何中的应用和习题(含答案)

空间向量在立体几何中的应用：

(1)直线的方向向量与平面的法向量：

①如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使得a t OA OP +=，其中向量a 叫做直线的方向向量．

由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定．

②如果直线l ⊥平面α ，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α 的法向量．

由此可知，给定一点A 及一个向量a ，那么经过点A 以向量a 为法向量的平面惟一确定． (2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系：

设直线l ，m 的方向向量分别是a ，b ，平面α ，β 的法向量分别是u ，v ，则 ①l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ，k ∈R ； ②l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0； ③l ∥α ⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0；

④l ⊥α ⇔a ∥u ⇔a ＝k u ，k ∈R ； ⑤α ∥⇔u ∥v ⇔u ＝k v ，k ∈R ； ⑥α ⊥β ⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0．

(3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题：

①异面直线所成的角：设a ，b 是两条异面直线，过空间任意一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角．

设异面直线a 与b 的方向向量分别是v 1，v 2，a 与b 的夹角为θ ，显然],2

π,0(∈θ则

⋅=

><⋅|

||||

||,cos |212121v v v v v v

②直线和平面所成的角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面的射影所成的角．

设直线a 的方向向量是u ，平面α 的法向量是v ，直线a 与平面α 的夹角为θ ，显然

]2

π,0[∈θ，则⋅=

><⋅|

||||

||,cos |v u v u v u

③二面角及其度量：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．记作α －l －β 在二面角的棱上任取一点O ，在两个半平面分别作射线OA ⊥l ，OB ⊥l ，则∠AOB 叫做二面角α －l －β 的平面角．

利用向量求二面角的平面角有两种方法： 方法一：

如图，若AB ，CD 分别是二面角α －l －β 的两个面与棱l 垂直的异面直线，则二面角α －l －β 的大小就是向量CD AB 与的夹角的大小．

方法二：

如图，m 1，m 2分别是二面角的两个半平面α ，β 的法向量，则〈m 1，m 2〉与该二面角的大小相等或互补．

(4)根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题． 【例题分析】

例1 如图，在长方体OAEB －O 1A 1E 1B 1中，OA ＝3，OB ＝4，OO 1＝2，点P 在棱AA 1上，且AP ＝2P A 1，点S 在棱BB 1上，且B 1S ＝2SB ，点Q ，R 分别是O 1B 1，AE 的中点，求证：PQ ∥RS ．

【分析】建立空间直角坐标系，设法证明存在实数k ，使得.RS k PQ =

解：如图建立空间直角坐标系，则O (0，0，0)，A (3，0，0)，B (0，4，0)，O 1(0，0，2)，A 1(3，0，2)，B 1(0，4，2)，E (3，4，0)．

∵AP ＝2P A 1， ∴),3

4,0,0()2,0,0(32321===AA AP ∴⋅)3

4

,0,3(P

同理可得：Q (0，2，2)，R (3，2，0)，⋅)3

2,4,0(S

,)32

,2,3(RS PQ =-=

∴RS PQ //，又R ∉PQ ，

∴PQ ∥RS ．

【评述】1、证明线线平行的步骤： (1)证明两向量共线；

(2)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上即可．

2、本体还可采用综合法证明，连接PR ，QS ，证明PQRS 是平行四边形即可，请完成这个证明． 例2 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，E ，F 分别是棱A 1D 1，A 1B 1，D 1C 1，B 1C 1的中点，求证：平面AMN ∥平面EFBD ．

【分析】要证明面面平行，可以通过线线平行来证明，也可以证明这两个平面的法向量平行． 解法一：设正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (4，0，0)，M (2，0，4)，N (4，2，4)，B (4，4，0)，E (0，2，4)，F (2，4，4)．

取MN 的中点K ，EF 的中点G ，BD 的中点O ，则O (2，2，0)，K (3，1，4)，G (1，3，4)．

MN ＝(2，2，0)，EF ＝(2，2，0)，AK ＝(－1，1，4)，OG ＝(－1，1，4)，

∴MN ∥EF ，OG AK =，∴MN//EF ，AK//OG ，

∴MN ∥平面EFBD ，AK ∥平面EFBD ， ∴平面AMN ∥平面EFBD ．

解法二：设平面AMN 的法向量是a ＝(a 1，a 2，a 3)，平面EFBD 的法向量是 b ＝(b 1，b 2，b 3)． 由,0,0==⋅⋅AN AM a a

得⎩⎨⎧=+=+-,042,04232

31a a a a 取a 3＝1，得a ＝(2，－2，1)．

由,0,0==⋅⋅BF DE b b 得⎩

⎨

⎧=+-=+,042,

0423132b b b b 取b 3＝1，得b ＝(2，－2，1)．

∵a ∥b ，∴平面AMN ∥平面EFBD ．

注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试．

例3 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 是棱A 1B 1，B 1B 的中点，求异面直线AM 和CN 所成角的余弦值．