那些年傅里叶的故事

目录

1 引言 (1)

1.1傅立叶变换的提出 (1)

1.2傅里叶积分变换的意义 (2)

2傅里叶级数 (3)

2.1周期函数的傅里叶展开 (3)

2.2奇函数及偶函数的傅里叶展开 (4)

2.3复数形式的傅里叶级数 (4)

3傅里叶积分与傅里叶变换 (5)

3.1实数形式的傅里叶变换 (5)

3.2复数形式的傅里叶积分 (6)

3.3傅里叶变换的基本性质 (7)

傅里叶变换及其运用

王霖普（学号20101101949）

（物理与电子信息学院物理学专业2010级，内蒙古呼和浩特 010022）

指导老师：孙永萍

摘要：傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦或余弦函数）或者它们的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有不同的形式，它在物理学、声学、光学、信号处理、通讯等领域都有着广泛的应用，本文将由浅入深地讲述傅立叶变换及其基本公式推导

关键词：傅里叶；变换；级数；正余弦；实数形式；复数形式

中图分类号：O551文献标识码： A

1 引言

傅里叶变换非常重要但又不易理解，确实需要一定的耐心，为了使人们更好的利用傅立叶变换并造福于人类，我们有必要掌握最基本的级数变换和傅立叶变换的基础公式

1.1傅立叶变换的提出

法国数学家和物理学家傅立叶Fourier(1768-1830)一直对热传递感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(1736-1813)和拉普拉斯(, 1749-1827)当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文

时，拉格朗日坚决反对，在近50年的时间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅立叶的工作，幸运的是，傅立叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。谁是对的呢？拉格朗日是对的：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是，我们可以用正弦

曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅立叶是对的。傅里叶变换（Fourier变换）是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国学者约瑟夫·傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。

1.2傅里叶积分变换的意义

为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢？如我们也还可以用方波或三角波来代替呀，分解信号为什么要进行傅立叶变换？傅立叶变换有何意义？分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的。且只有正弦曲线才拥有这样的性质，正因如此我们才不用方波或三角波来表示。

2傅里叶级数

2.1周期函数的傅里叶展开

若函数f (x )以2l 为周期，即

（1）

可取三角函数族

（2） 作为基本函数族，将f (x )展开为级数

（3） 函数族是正交的。这就是说任意两个（不相等）函数的乘积在一个周期上的积分等于零，即

利用三角函数的正交性，可以求出（3）中展开式的系数为

)()2(x f l x f =+

2.2奇函数及偶函数的傅里叶展开

若周期函数f (x )是奇函数，则由傅里叶函数的计算公式（5）可见，0a 及诸k a 均等于零，展开（3）成为

这叫做傅里叶正弦级数，由于对称性，展开系数为

容易看出（6）中的正弦级数的和在0=x 和l x =处为零。

若周期函数f (x )是偶函数，

则由傅里叶函数的计算公式（5）可见诸k b 均等于零，展开（3）成为

这叫做傅里叶正弦级数，由于对称性，展开系数为

由于余弦级数的导数是正弦级数，所以余弦级数的和的导数在0=x 和l x =处为零。

2.3复数形式的傅里叶级数

取一系列复指数函数

作为基本函数族，可以将周期函数f (x )展开为复数形式的傅里叶级数 利用复指数函数的正交性，可以求出傅里叶系数

3傅里叶积分与傅里叶变换

3.1实数形式的傅里叶变换

设 f (x )为定义在区间上的

上的函数，一般来说它是非周期的，不能展为傅里叶级数，不过我们可以将非周期函数f (

x )可以看做)(x g 于周期∞→l 2时的极限情形，这样)(x g 的傅里叶级数展开式 在∞→l 时极限形式就是所要寻找的非周期函数f (x )的傅里叶展开 为此引入不连续参量

这样（1）成为

（2

） 傅里叶系数为

有限，则 余弦部分为

}sin cos {)(10x b x a a x g k k k k k ωω∑∞=++=∞≤≤∞-x

正弦部分的极限是

于是（2）式∞→l 的极限形式是

其中

奇函数f (x )的傅里叶积分是傅里叶正弦积分 偶函数f (x )的傅里叶积分是傅里叶余弦积分 3.2复数形式的傅里叶积分

利用欧拉公式导出

ω

ωωωωωd sin )(d cos )()(0

0x B x A x f ⎰⎰∞

∞+=

其中

总之，不管0≥ω还是0<ω，都有

3.3傅里叶变换的基本性质 导数定理

相似性定理

延迟定理

位移定理

卷积定理 则 其中 )(i )]('[ ωωF x f =)]([ )]([ f 0 i 0x f e x x f x ω-=-)()]([ f 0i 0ωωω-=F x f e x )()(2)]()([ f 2121ωωπF F x f x f =*⎰+∞

∞--≡*ξξξd )()()()(2121x f f x f x f )()]([11ωF x f =F )()]([22ωF x f =F