21曲线与方程(三个课时)

2.1 曲线与方程
2.1.1 曲线与方程
复习回顾:
我们研究了直线和圆的方程. 1.经过点P(0,b)和斜率为k的直线L的方程
为_____y___k_x___b
2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的
直线方程是___x__-y__=_0______
3.圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程
为___(_x___a_)_2___( _y__b__)2___r_2__.
思考?
圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程为:
( x a)2 ( y b)2 r2
（2）、方程 (x a)2 ( y b)2 r2 表示如图的圆 图像上的点M与此方程 (x a)2 ( y b)2 r 2 有什么关系？
满足关系：
y
··M
0
x
（1）、如果M (x0 , y0 )是圆上的点，那么 M (x0 , y0 ) 一定是这个方程的解
y
M
o
x
(2)设点M1的坐标(x1, y1)是方程xy k的解， 即x1y1 k,即 x1 • y1 k
而 x1 , y1 正是点M1到纵轴、横轴的距离， 因此点M1到两条直线的距离的积 是常数k, 点M1是曲线上的点。
由(1),(2)可知，xy k是与两条坐标轴的距离。 的积为常数k(k 0)的点的轨迹方程。
3x 2 y 0(1≤ x ≤5)
2.1.2求曲线的方程 （1）
复习回顾
1.复习曲线的方程和方程的曲线的概念
2. 练习： (1) 设A(2,0)、B(0,2)，
能否说线段AB的方程为x+y-2=0? (2) 方程x2-y2=0表示的图形是_______
（纯粹性）.
3.“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”, 阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏.
（完备性）. 由曲线的方程的定义可知: 如果曲线C的方程是 f(x,y)=0，那么点P0(x0 ,y0)
在曲线C 上的 充要条件 是 f(x0, y0)=0
例1 :判断下列命题是否正确 (1)过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的方程 为︱x︱=3 (2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1 (3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方 程为︱xy︱=1 (4) △ABC的顶点A(0,-3)，B(1,0)，C(-1,0)， D为BC中点，则中线AD的方程x=0
线(如图(1))其方程为(x-y)(x+y)=0; 不是
(2)曲线C是顶点在原点的抛物线其方程
为x+ y =0;
不是
(3)曲线C是Ⅰ, Ⅱ象限内到x轴，y轴的距
离乘积为1的点集其方程为y= 。 是
y
y
y
1
1
1
-1 0
x 1
x
-2 -1 0 1 2
x
-2 -1 0 1 2
⑴
⑵
⑶
练习3:若命题“曲线C上的点的坐标满足方程
5Fra Baidu bibliotek
5
课外练习: 1“. 曲线 C 上的点的坐标都是方程 f (x, y) =0 的解”
是“方程 f (x, y)=0 是曲线 C 的方程”的（ B ）
条件.
(A)充分非必要
(B)必要非充分
(C)充要
(D)既非充分也非必要
2.△ABC 的顶点坐标分别为 A(4, 3)， B(2, 1)，
C(5,7) ，则 AB 边上的中线的方程为___________.
为什么?
思考?
坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是x-y=0
第一、三象限角平分线 l 点的横坐标与纵坐标相等 条件
曲线
x=y（或x- y=0）方程
y l x-y=0 含有关系：
0 x （1） l 上点的坐标都是方程x-y=0的解
（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都
在 l上
∴说直线 l 的方程是 x y 0 ,又说方程 x y 0 的直线是 l .
解:(1)不正确，不具备完备性，应为x=3,
(2)不正确,不具备纯粹性，应为y=±1.
(3)正确.
(4)不正确,不具备完备性,应为x=0(-3≤y≤0).
例2.证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0) 的点的轨迹方程是xy=±k.
证明：(1)如图，设M (x0, y0) 是轨迹上的任意一点，
因为点M与x轴的距离为y0 , 与y轴的距离为x0 , 所以 x0 • y0 k,即(x0, y0 ) 是方程xy k的解。
的方程为x+y-3=0, 点P的坐标为(2,1),那么( C )
A.点P在直线上，但不在圆上 B.点P在圆上，但不在直线上； C.点P既在圆上，也在直线上 D.点P既不在圆上，也不在直线上
练习5:已知方程 mx2 ny2 4 0 的曲线经过
点 A(1,2), B(2,1) ,则 m =___4__, n =___4___.
归纳: 证明已知曲线的方程的方法和步骤
第一步，设 M (x0,y0)是曲线C上任一点， 证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；
第二步，设(x0,y0)是 f(x,y)=0的解，证明 点 M (x0,y0)在曲线C上.
练习1:下列各题中，下图各曲线的曲线方程是 所列出的方程吗？为什么？
(1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的折
（2）、如果M (x0 , y0 )是方程(x a)2 ( y b)2 r 2
坐标的点一定在圆上。
的解，那么以它为
定义: 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看
作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点 与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下 的关系:
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;
f(x,y)=0”是正确的,则下列命题中正确的是(D )
A.方程f(x,y)=0 所表示的曲线是C B.坐标满足 f(x,y)=0 的点都在曲线C上 C.方程f(x,y)=0的曲线是曲线C的一部分或是曲 线C D.曲线C是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或是全 部
练习4:设圆M的方程为(x 3)2 (y 2)2 2 ,直线l
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么,这个方程叫做曲线的方程; 这条曲线叫做方程的曲线.
y
f(x,y)=0
说明:
0
x
1.曲线的方程—反映的是图形所满足的数量关系; 方程的曲线—反映的是数量关系所表示的图形.
2.“曲线上的点的坐标都是这个方程 的解” , 阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是 说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外.