复变函数的基本概念及运算

3 指数函数: e = e 指数函数:
z x + iy
= e (cos y + i sin y ) ,周期 2πi
x
一 基本初等函数的定义
4 双曲函数 双曲函数
1 z 1 z z sinh z = (e e ) , cosh z = (e + e z ) , 周期 2 2
5 对数函数
ln z = ln z e iArgz = ln z + iArgz = ln ρ + i , 多值函数
e
i ∞
i
= cos + i sin 的证明
∞ 1 i 2 k 2 k ∞ i 2 k +1 n +∑ 2 k +1 = ∑ (i ) = ∑ n =0 n ! k = 0 ( 2k )! k = 0 ( 2 k + 1)!
∞ (1)k 2 k (1)k 2 k +1 =∑ φ + i∑ φ k = 0 (2k )! k = 0 (2k + 1)! ∞
6 幂函数 z = e 幂函数:
s s ln z
, ( s 为复数), 多值函数
一 基本初等函数的定义
7 三角函数
1 iz 1 iz iz sin z = (e e ) , cos z = (e + e iz ) , 周 2i 2 实三角函数的一些重要公式在复三角函数中均 期为 2π ,
成立,复正弦,余弦函数值的模可以>1. 成立,复正弦,余弦函数值的模可以 .
lim
i
→ 0, ( ≡ 0)
w u ( ρ + ρ , ) + iv( ρ + ρ , ) u ( ρ , ) iv( ρ , ) = lim z →0 z ρ →0 (ρ )e i
u ( ρ + ρ , ) u ( ρ , ) v( ρ + ρ , ) v( ρ , ) i = lim +i e x →0 ρ ρ =e
8 反三角函数 其定义与实反三角函数类似, 其定义与实反三角函数类似,但实反三角函数是基 本初等函数,而复反三角函数不是基本初等函数, 本初等函数,而复反三角函数不是基本初等函数,可用 其它基本初等函数表示. 其它基本初等函数表示.
二 复变函数的定义
若在复数平面上存在点集 E ,对 E 的每个点 与之对应, z = x + iy 都有复数 w = u + iv 与之对应,则称 w 为 z 的函数, 的宗量, 记为: 的函数, z 为 w 的宗量,定义域为 E ,记为:
第1章 复变函数 章
本章内容提要
1 复数与复数的运算 复数与 2 复变函数 3 复数的导数
4 解析函数 5 小结
一 复变函数积分定义
1 代数式 2 三角式 3 指数式
z = x + iy
z = ρ (cos + i sin )
z = ρe
i
欧拉公式的证明
y z(x,y)或(ρ,φ)
ρΒιβλιοθήκη Baidu
二 复数的几何意义
v ( x, y ) 在 z 点 的 一 阶 偏 导 数 存 在 并 连 续 , 则 可导,其导数为: w = f ( z ) = u + iv 在 z 点可导,其导数为:
df u v v u = + i ,或 i , dz x x y y u v i 1 v u i + i )e ,或 ( i )e 或( ρ ρ ρ
四 求导规则及初等函数的导数都与实变 函数的相应公式一致
de = ez 例: dz
e i v( ρ , + ) v( ρ , ) u ( ρ , + ) u ( ρ , ) = lim i ρ →0 ρ
e i v u = ( i ) ρ
三 复函数可导的充分条件
如果柯西—黎曼方程在 点处成立, 如果柯西 黎曼方程在 z 点处成立 , 且 u ( x, y ) ,
三 复函数可导的充分条件
证明: 证明:
w = f ( z + z ) f ( z ) = u ( x + x, y + y ) u ( x, y ) +i[v( x + x, y + y ) v( x, y )] 点的一阶导数存在且连续, ∵ u ( x, y ) , v( x, y ) 在 z 点的一阶导数存在且连续, u u ∴ w = x + y + ε 1 x + ε 2 y x y v v + i ( x + y + ε 3 x + ε 4 y ) x y
复连通区域 区域的连通性
x
非连通区域
x
四 复变函数极限
定义 1:函数 f (z ) 在 z 0 点及其邻域内有定义, : 点及其邻域内有定义, 如果存在复数 w0 ,对任意给定的 ε > 0 ,总能找到
δ > 0 , 使 得 : 当 0 < z z0 < δ 时 , 恒 有
成立, f ( z 0 ) w0 < ε 成立,则称当 z 趋近于 z 0 时 f (z ) 的极限为 w0 ,记为 lim f ( z ) = w0 .
φ
x 复平面
三 复数的四则运算
若 z1 =
ρ1e i 和 z 2 = ρ 2 e i ,则
1 2
积: z = z1 z 2 =
ρ1 ρ 2 e i ( +
1
2)
z1 ρ1 i (1 2 ) = e 商: z2 ρ2
采用指数表示可方便乘除运算
乘方, 四 乘方,方根
若 z = ρe ,则 乘方: 乘方: z = ρ e
区域,闭区间, 三 区域,闭区间,单连域或复连域
6 单连域与复连域:一个区域 B,如果在其中 单连域与复连域: , 任作一简单闭合曲线, 任作一简单闭合曲线,曲线内部总属于 B,就称为 , 单连通区域,反之称为复连通区域.如图所示. 单连通区域,反之称为复连通区域.如图所示.
y y y
单连通区域
x
w u ( x, y + y ) + iv( x, y + y ) u ( x, y ) iv( x, y ) = lim lim z →0 z y →0 iy v( x, y + y ) v( x, y ) u ( x, y + y ) u ( x, y ) = lim i y →0 y y v u = i y y
i
u v ( +i ) ρ ρ
二 复函数可导的必要条件
2 极坐标系的柯西 极坐标系的柯西――黎曼方程 黎曼方程
(2) z 沿 ρ 一定的弧线 → 0 的情况 z = ρe = i ρ e 一定的弧线 的情况,
iφ iφ
φ → 0, (ρ ≡ 0)
w u ( ρ , + ) + iv( ρ , + ) u ( ρ , ) iv( ρ , ) lim = lim z →0 z →0 iρe i
二 复函数可导的必要条件
如果函数 f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) 在区域 B 中的
z 点可导,则 u, v 在 z 点必须满足以下的柯西 黎曼方 点可导, 点必须满足以下的柯西—黎曼方
程(Cauchy-Riemann Equation) )
u v x = y v u = x y
三 复函数可导的充分条件
证明: 证明: 其中当 x, y → 0 时, ε1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 → 0 .
∵ u , v 满足 C R 方程,
u v ∴ w = x y + ε1x + ε 2 y x x v u +i ( x + y + ε 3x + ε 4 y ) x x = u (x + iy )
w f ( z + z ) f ( z ) lim = lim z →0 z z →0 z 存在,且与 z → 0 的方向无关,则称函数 w = f (z ) 存在, 的方向无关, 点可导, 称该极限 极限为 点的导数, 在 z 点可导, 称该极限为函数 f (z ) 在 z 点的导数, 记 df 为 f ′(z ) 或 . dz
二 复函数可导的必要条件
1 直角坐标系的柯西 直角坐标系的柯西――黎曼方程 黎曼方程
(3)在 z 点可导,这两个极限必须相等,即: 在 点可导,这两个极限必须相等,
u v v u = , = x y x y
二 复函数可导的必要条件
2 极坐标系的柯西 极坐标系的柯西――黎曼方程 黎曼方程
(1) z 沿极轴 → 0 的情况,z = ( ρ )e 的情况,
3 境界线:境界点的集合称为境界线. 境界线:境界点的集合称为境界线. 境界线
三 区域,闭区间,单连域或复连域 区域,闭区间,
4 区域:区域是一种集合,该集合全部由内 区域:区域是一种集合, 连通"是指 点组成并且这个集合是连通的.所谓 连通 点组成并且这个集合是连通的.所谓"连通 是指 集合中的任意两点都可以用完全属于集合的一条 折线,把它们连接起来. 折线,把它们连接起来. 5 闭区间:区域及其境界线. 闭区间:区域及其境界线.
u ( x + x, y ) u ( x, y ) v( x + x, y ) v( x, y ) = lim +i x → 0 x x
u v = +i x x
二 复函数可导的必要条件
1 直角坐标系的柯西 直角坐标系的柯西――黎曼方程 黎曼方程
(2) z 沿竖直轴 → 0 的的情况 z = iy → 0, (x ≡ 0) 竖直轴 的的情况,
u 1 v ρ = ρ 或 1 u v = ρ ρ
二 复函数可导的必要条件
1 直角坐标系的柯西 直角坐标系的柯西――黎曼方程 黎曼方程
(1) z 沿水平轴 → 0 的情况, z = x → 0, 水平轴 的情况,
( y ≡ 0)
w u ( x + x, y ) + iv( x + x, y ) u ( x, y ) iv( x, y ) lim = lim z →0 z x →0 x
z → z0
定义 2:如果 lim f ( z ) = f ( z 0 ) ,则称 f (z ) 在 :
z → z0
z 0 点连续. f (z ) 在 z 0 连续 u ( x, y ) , v( x, y ) 在 点连续. ( x0 , y0 ) 点连续. 点连续.
一 导数的定义
中定义的单值函数. 设 w = f (z ) 是在区域 B 中定义的单值函数.若 极限: 在 B 内的某点 z ,极限:
w = f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) ,
z∈E
定义了一个复变 定义了一个复 变 函数实际上定义了二个相关联的实二 元函数,因此复函数将具有独特的性质. 元函数,因此复函数将具有独特的性质.
邻域,内点,外点, 三 邻域,内点,外点,境界点
1 邻域:以 z 0 为中心,任意小正实数 ε 为半径 邻域: 为中心, 点的邻域 邻域. 的圆内所有点的集合, 的圆内所有点的集合,称为 z 0 点的邻域.
n n in
i
方根: 方根: n z =
n
ρe
2 kπ i( + ) n n
, k = 0,1, , n 1 , n ∈N
五 共轭复数
若 z = x + iy = ρe
i
,则 z 的共轭复数定义
2
z = x iy = ρe
*
i
的共轭复数, 为复数 z 的共轭复数, z
= zz * .
欧拉公式 e
= cos φ + i sin φ
一 基本初等函数的定义
1 多项式 a 0 + a1 z + a 2 z + + a n z ,n∈N+ 多项式:
2 n
a0 + a1 z 1 + a 2 z 2 + a n z n 2 有理函数 有理函数: ,m,n∈N+ 2 m b0 + b1 z + b2 z + + bm z
2 内点,外点,境界点:若 z 0 及其邻域均属于点 内点,外点,境界点: 集 E ,则称 z 0 为 E 的内点;若 z 0 及其邻域均不属于 内点;
E ,则称 z 0 为 E 的外点;若 z 0 的每个邻域内,既有 外点; 的每个邻域内,
的点, 的点, 属于 E 的点,也有不属于 E 的点,则称 z 0 为 E 的境 界点(或边界点) . 界点(或边界点)
四 求导规则及初等函数的导数都与实变 函数的相应公式一致
de = ez 例: dz
证明: 证明:
z
e z = e x cos y + ie x sin y u u x x ∴ u = e cos y, = e cos y , = e x sin y x y v v x x v = e sin y, = e sin y, = e x cos y x y