三角恒等变换学习课件PPT
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1 3 1 2 从而 ，故选A. 1 3 2 1 tan 2 1 tan
4 方法2：由已知 cos ， 是第三象限的角， 5 3 得 sin 1 cos 2 ， 5
1 tan 所以 1 tan
2
1
sin cos
tan 45 tan 30 tan120 tan 45 解析：原式 tan 45 tan 30 tan120 tan 45 tan(45 30) tan(120 45) tan15 cot15 1.
【思维启迪】解答本题的关键是将“1”代换为 “tan45”，这是三角函数求值常用的变换，即 常数与三角函数之间变换，又如 1 sin 2 a cos 2 a tanacota tan45， 3 sin60 cos30. 2
3．二倍角的正弦公式 sin2 2sin cos； cos2 2cos 1 1 2sin
2 2
cos sin ；
2 2
2 tan tan2 . 1 tan 2
4．变形公式 tan tan tan( )(1 tan tan )； 1 cos 2 1 cos 2 2 2 sin ； cos . 2 2 5．辅助角公式 a sin b cos a 2 b 2 sin( )， a b 其中 cos ， sin . a 2 b2 a2 b2
，代入所求式即可
sin 与cos的表达式，而sin的值可通过同角三角函数 基本关系求得．
3 3 解析：方法1：由已知得 sin ，所以 tan . 5 4 又
2
是第二或第四象限的角， 2 tan
2 故由 tan a ，解得 tan 3， 2 1 tan 2 2
考点1 无条件求值式 1 tan 30 tan120 1 例1.计算： __________ . 1 tan 30 tan120 1
分析：观察所求式不难发现两个积式在结构 上与两角差的正切公式类似，因此可考虑先将 “ 1”代换为“tan45”，再根据所得的两个三角 函数积的形式，利用二倍角式可求得结果．
考点2 条件求值
4 例2.若 cos ， 是第三象限的角， 5 1 tan 则 1 tan 1 A． 2 C． 2
2 ( ) 1 B. 2 D． 2
2
分析：首先可通过同角三角函数基本关系求tan，然 后利用正切的二倍角公式求得tan
2 求出结果．本题也可以从化所求式中的正切为正弦与 余弦，再经过三角代换与代数变换将所求式化为关于
2
2
cos cos
2 2
sin sin
2
2
1
sin cos
2
2
2
1 sin 1 ，故选A. cos 2 cos 2 sin 2 2 2 2 2
(cos
sin
)2
【思维启迪】本题两种解法代表了解答三角函数 问题的两个方向：方法1主要是从变角入手，策 略是观察题中的条件角与结论角之间的关系，常 常采取复角与单角的互化、单角与二倍角的互化； 方法2是从函数的名称入手，常常采取“切化弦”、 “弦化切”手段变换三角函数名称．
专题二
三角函数与平面向量
1．同角三角函数基本关系 sin 2 2 sin cos 1； tan ； tan cot 1. cos 2．两角和与差的三角公式 sin( ) sin cos cos sin ； cos( ) cos cos sin sin ； tan tan tan( ) . 1 tan tan
变式题：已知tan( ) 2， 4 1 则 的值为 2 2 sin cos cos
.
1 tan 1 解析：由 tan( ) 2，得 tan ， 4 1 tan 3 2 2 1 sin cos 于是 2 2 2sin cos cos 2sin cos cos 1 2 1 2 tan 1 2 3 . 2tan 1 2 1 1 3 3
变式题：计算： cos2 ( A 15) cos2 ( A 15) cos30cos2A .
解析：原式 1 3 [1 cos2( A 15) 1 cos2( A 15)] cos2A 2 2 1 3 [2 cos(2A 30) cos(2A 30)] cos2A 2 2 1 3 (2 2cos2Acos30) cos2A 2 2 3 3 1 cos2A cos2A 1. 2 2
解析：tan( tan(
3
) tan[(
6
) (
6
)]
6
) tan(
6
) )
1 tan(
6
) tan(
6
1 1 3 1. 2 1 1 1 2 3
1 1 备选例题：已知tan( ) ，tan( ) ， 6 2 6 3 则tan( ) __________ . 3
分析：观察条件角与结论角易发现
3
(
) ( )，由此直接利用两角差的正切公式就 6 6 可顺利求解．
4 方法2：由已知 cos ， 是第三象限的角， 5 3 得 sin 1 cos 2 ， 5
1 tan 所以 1 tan
2
1
sin cos
tan 45 tan 30 tan120 tan 45 解析：原式 tan 45 tan 30 tan120 tan 45 tan(45 30) tan(120 45) tan15 cot15 1.
【思维启迪】解答本题的关键是将“1”代换为 “tan45”，这是三角函数求值常用的变换，即 常数与三角函数之间变换，又如 1 sin 2 a cos 2 a tanacota tan45， 3 sin60 cos30. 2
3．二倍角的正弦公式 sin2 2sin cos； cos2 2cos 1 1 2sin
2 2
cos sin ；
2 2
2 tan tan2 . 1 tan 2
4．变形公式 tan tan tan( )(1 tan tan )； 1 cos 2 1 cos 2 2 2 sin ； cos . 2 2 5．辅助角公式 a sin b cos a 2 b 2 sin( )， a b 其中 cos ， sin . a 2 b2 a2 b2
，代入所求式即可
sin 与cos的表达式，而sin的值可通过同角三角函数 基本关系求得．
3 3 解析：方法1：由已知得 sin ，所以 tan . 5 4 又
2
是第二或第四象限的角， 2 tan
2 故由 tan a ，解得 tan 3， 2 1 tan 2 2
考点1 无条件求值式 1 tan 30 tan120 1 例1.计算： __________ . 1 tan 30 tan120 1
分析：观察所求式不难发现两个积式在结构 上与两角差的正切公式类似，因此可考虑先将 “ 1”代换为“tan45”，再根据所得的两个三角 函数积的形式，利用二倍角式可求得结果．
考点2 条件求值
4 例2.若 cos ， 是第三象限的角， 5 1 tan 则 1 tan 1 A． 2 C． 2
2 ( ) 1 B. 2 D． 2
2
分析：首先可通过同角三角函数基本关系求tan，然 后利用正切的二倍角公式求得tan
2 求出结果．本题也可以从化所求式中的正切为正弦与 余弦，再经过三角代换与代数变换将所求式化为关于
2
2
cos cos
2 2
sin sin
2
2
1
sin cos
2
2
2
1 sin 1 ，故选A. cos 2 cos 2 sin 2 2 2 2 2
(cos
sin
)2
【思维启迪】本题两种解法代表了解答三角函数 问题的两个方向：方法1主要是从变角入手，策 略是观察题中的条件角与结论角之间的关系，常 常采取复角与单角的互化、单角与二倍角的互化； 方法2是从函数的名称入手，常常采取“切化弦”、 “弦化切”手段变换三角函数名称．
专题二
三角函数与平面向量
1．同角三角函数基本关系 sin 2 2 sin cos 1； tan ； tan cot 1. cos 2．两角和与差的三角公式 sin( ) sin cos cos sin ； cos( ) cos cos sin sin ； tan tan tan( ) . 1 tan tan
变式题：已知tan( ) 2， 4 1 则 的值为 2 2 sin cos cos
.
1 tan 1 解析：由 tan( ) 2，得 tan ， 4 1 tan 3 2 2 1 sin cos 于是 2 2 2sin cos cos 2sin cos cos 1 2 1 2 tan 1 2 3 . 2tan 1 2 1 1 3 3
变式题：计算： cos2 ( A 15) cos2 ( A 15) cos30cos2A .
解析：原式 1 3 [1 cos2( A 15) 1 cos2( A 15)] cos2A 2 2 1 3 [2 cos(2A 30) cos(2A 30)] cos2A 2 2 1 3 (2 2cos2Acos30) cos2A 2 2 3 3 1 cos2A cos2A 1. 2 2
解析：tan( tan(
3
) tan[(
6
) (
6
)]
6
) tan(
6
) )
1 tan(
6
) tan(
6
1 1 3 1. 2 1 1 1 2 3
1 1 备选例题：已知tan( ) ，tan( ) ， 6 2 6 3 则tan( ) __________ . 3
分析：观察条件角与结论角易发现
3
(
) ( )，由此直接利用两角差的正切公式就 6 6 可顺利求解．