函数周期的常用求法

三角函数周期的常用求法 一、 公式法
对于函数B x A y ++=)sin(ϕω或B x A y ++=)cos(ϕω的周期公式是||2ωπ=T ， 对于函数B x A y ++=)tan(ϕω或B x y ++=)cot(ϕω的周期公式是|
|ωπ=T ． 例1 函数)2
3sin(x y -=π的最小正周期是 （ ） Ａ．π Ｂ．２π Ｃ．－４π Ｄ．４π 解：由公式，得ππ42
12=-=T ，故选Ｄ． 评注：对于函数)sin(ϕω+=x A y 或)cos(ϕω+=x A y 可直接利用公式ω
π2=T 求得；对于)tan(ϕω+=x A y 或)cot(ϕω+=x A y 可直接利用公式ωπ=
T 求得。

二、图像法
例２ 求下列函数的最小正周期
① x y sin = ②x y sin
解：分别作出两个函数的图像知
评注：对于一些含有绝对值的三角函数周期问题，常可借助于三角函数的图像来解决．
二、 定义法
例３ 求函数x x y cos sin +=的最小正周期
解：∵ 2
cos()2sin(ππk x k x +++＝x x cos sin + （Z k ∈）
∴
2πk 是函数x x y cos sin +=的周期．显然2πk 中最小者是2
π 下面证明2
π是最小正周期 假设2π不是x x y cos sin +=的最小正周期，则存在<<T 02π，使得： =+)(T x f )cos()sin(T x T x +++＝x x cos sin +对R x ∈恒成立，
令0=x ，则=+)0(T f T T cos sin +＝10cos 0sin cos sin =+=+T T ①
但<
<T 02
π，∴1cos sin >+T T ② ∴ ①与②矛盾， ∴ 假设不成立，∴2π是x x y cos sin +=最小正周期． 评注：这种方法依据周期函数的定义，从式子)()(x f T x f =+出发，设法找出周期T 中的最小正数（须用反证法证明）．
四、转化法
1、把三角函数表达式化为一角一函数的形式，再利用公式求周期
例４求函数x x x y 2sin 2cos sin 32-=的周期 解：12cos 2sin 3sin 2cos sin 322-+=-=x x x x x y
1)62sin(21)2cos 212sin 23(
2-+=-+=πx x x ∴ ππ==2
2T ． 变式 求函数x x y 66cos sin +=的最小正周期
解：∵ y ＝)cos sin 3cos sin 3()cos (sin 4224322x x x x x x +-+
＝)4cos 1(831)cos (sin )cos (sin 31222x x x x x --
=+- ＝x 4cos 8
385+ ∴ 函数x x y 66cos sin +=的最小正周期是2
42ππ==T 评注：就是先根据三角公式已知式转化为一个脚的一个三角函数的形式，再利用公式去求．这是最常见的求周期题型，也是高考考察的热点．
2、遇到绝对值时，可利用公式 2||a a =, 化去绝对值符号再求周期
例5求函数 |cos |x y =的周期
解：∵ 22cos 1cos |cos |2x x x y +==
= ∴ ππ==2
2T ． 例6求函数|cos ||sin |x x y +=的周期
解：∵()x x x x x x y 2sin 1|2sin |1|cos ||sin ||cos ||sin |22+=+=+=
+= )4cos 1(2
1124cos 11x x -+=-+= ∴ 函数|cos ||sin |x x y +=的最小正周期 242ππ==
T ．
五、最小公倍数法
例7 求函数y sin3x cos5x =+的最小整周期
解：设sin3x 、cos5x 的最小整周期分别为1T 、2T ，
则12T 3π=，22T 5π=，2T 1
π=＝2π ∴y sin3x cos5x =+的最小整周期为2π
评注：设()f x 与()g x 是定义在公共集合上的两个三角周期函数，1T 、2T 分别是它们的周期，且1T ≠2T ，则()f x ±()g x 的最小整周期是1T 、2T 的最小公倍数．
分数的最小公倍数＝
分子的最小公倍数分母的最小公倍数
抽象函数的周期的求法
象函数指解析式没有明确给出的一类函数，对于此类函数性质的研究，须充分运用题目条件，寻找问题的切入点，本文谈谈确定抽象函数周期的几种方法.重点谈以下几类问题：对于函数)(x f ，如果对于定义域中的任意x ，⑴若满足0)()(=+++b x f a x f （b a ≠），则周期)(2a b T -=；⑵若满足)()(),()(x b f b x f x a f a x f -=+-=+（b a ≠），即函数图象有b x a x ==,两条对称轴，则周期)(2a b T -=；⑶若满足1)()(=+⋅+b x f a x f （b a ≠），则周期)(2a b T -=；若满足1)()(-=+⋅+b x f a x f （b a ≠），则周期)(2a b T -=；⑷若满足)
(1)(1)(b x f b x f a x f +-++=+（b a ≠），则周期)(4a b T -=. 一、函数值之和等于零型，即函数)(x f 满足0)()(=+++b x f a x f （b a ≠） 对于任意x 满足0)()(=+++b x f a x f （b a ≠），即)()(b x f a x f +-=+，则])[(])[(])[(])[()2(b b x f a b x f b a x f a a x f a x f ++=++-=++-=++=+，即]22)2[()2()2(a b a x f b x f a x f -++=+=+，等价于)()22(x f a b x f =-+，故函数)(x f 的周期)(2a b T -=.
例1（05年天津卷16）设函数)(x f 是R 上的奇函数，且)(x f y =的图象关于直线2
1=x 对称，则)5()4()3()2()1()0(f f f f f f +++++等于 . 解析 )(x f y =的图象关于直线21=
x 对称，则)2
1()21(x f x f -=+（*），函数)(x f 是R 上的奇函数，则)21()21(x f x f +--=-，（*）式即0)2
1()21(=+-++x f x f ，21,21-==a b ，)(x f 的周期2)(2=-=a b T .在（*）式中令21=x 可得0)0()1(==f f ，利用函数的周期为2，则)5()3()1(0)4()2()0(f f f f f f ======，因此，0)5()4()3()2()1()0(=+++++f f f f f f .
二、函数图象有b x a x ==,（b a ≠）两条对称轴型
函数图象有b x a x ==,两条对称轴，即)()(),()(x b f b x f x a f a x f -=+-=+，改写为)2()]([)]([)()(a b x f b a x b f b a x b f x a f a x f -+=+-+=+--=-=+，即
]22)[()(a b a x f a x f -++=+，等价于)()22(x f a b x f =-+，周期)(2a b T -=. 例2（05年广东卷19）函数)(x f 在),(+∞-∞上满足关系式)2()2(x f x f -=+，)7()7(x f x f -=+，且在闭区间]7,0[上，只有0)3()1(==f f .
（1）判断函数)(x f y =的奇偶性；（2）求方程0)(=x f 在闭区间]2005,2005[-上根的个数，并证明你的结论.
解析 函数)(x f 满足)7()7(),2()2(x f x f x f x f -=+-=+（*），则)(x f 的图象有7,2==x x 两条对称轴，)(x f 在闭区间]7,0[上，只有0)3()1(==f f ，而0)0(≠f ，0)7(≠f ，故函数)(x f 不是奇函数；由对称性和0)3()1(==f f 得0)13()11(==f f ，且0)9()7(=-=-f f ，由0)7(=-f 而0)7(≠f 可得函数)(x f 不是偶函数；因此函数)(x f y =是非奇非偶函数.
由（*）式还可以表示为)14()(),4()(x f x f x f x f -=-=，由)14()4(x f x f -=-可知函数)(x f 的周期10=T （或直接利用上面的结论7,2==b a ，
10)(2=-=a b T ）.)(x f 在闭区间]7,0[上，只有0)3()1(==f f ，0)13()11(==f f ，
0)9()7(=-=-f f ，
且周期10=T ，故方程0)(=x f 在闭区间]10,0[和]0,10[-上都有两个解（分别为3,1和9,7--），从而方程0)(=x f 在闭区间]2005,0[上有402个解，在闭区间]0,2005[-上有400个解，从而方程0)(=x f 在闭区间]2005,2005[-上根的个数为802个.
三、两个函数值之积等于1±，即函数值互为倒数或负倒数型
若1)()(=+⋅+b x f a x f ，显然0)(,0)(≠+≠+b x f a x f ，则)(1)(b x f a x f +=+，即])[(1])[(1])[(a b x f b a x f a a x f ++=++=++，而]
)[(1])[(b b x f a b x f ++=++，因此]22)2[(])[(])[(1])[(a b a x f b b x f a b x f a a x f -++=++=++=
++，即]22)2[()2(a b a x f a x f -++=+，函数)(x f 的周期)(2a b T -=；同理可证，若函数
)(x f 满足1)()(-=+⋅+b x f a x f （b a ≠）
，则周期)(2a b T -=. 例3 已知函数)(x f 是R 上的偶函数，且1)()2(=⋅+x f x f ，0)(>x f 恒成立，则)119(f 的值等于 .
解析 由1)()2(=⋅+x f x f 可知)()
2(1)4(x f x f x f =+=+，函数)(x f 的周期为4，)1()1120()119(-=-=f f f ，
函数)(x f 是R 上的偶函数且0)(>x f ，则)1()1(f f =-，在1)()2(=⋅+x f x f 中，令1-=x 得1)1()1()1(2=-=⋅-f f f ，1)1(=-f ，1)119(=f .
四、分式型，即函数)(x f 满足)
(1)(1)(b x f b x f a x f +-++=+（b a ≠） 由)(1)(1)(b x f b x f a x f +-++=+（b a ≠），则)
(1)(1)(b a x f b a x f a a x f ++-+++=++（*），])[(1])[(1])[()(b b x f b b x f a b x f b a x f ++-+++=
++=++，代入（*）式得)2(1)2(b x f a x f +-=+，即1)2()2(-=+⋅+b x f a x f ，由上面的类型三，求出周期)(4a b T -=.
例4．已知函数)(x f 在),(+∞-∞上满足关系式)
(1)(1)2(x f x f x f -+=+.若32)1(+=f ，则)2005(f 等于 .
解析 由题意)2(1)2(1)22(+-++=++x f x f x f （*），将)
(1)(1)2(x f x f x f -+=+代入（*）式整理得)(1)4(x f x f -=+，所以)()
4(1)8(x f x f x f =+-=+，函数)(x f 的周期为8，)5()58250()2005(f f f =+⨯=，23321)1(1)41()5(-=+-=-=
+=f f f ，23)2005(-=f .
设计抽象函数周期问题，要注意严密，下面的“函数”就是一个流传十分广的典型错例： 例5 已知定义在),(+∞-∞上的奇函数)(x f 满足关系式)
(1)(1)1(x f x f x f +-=+.当
10<<x 时，x x f 2)(=，则)5.5(f 的值等于（）
A ．1
B ．1-
C ．21
D ．2
1- 不少资料选入此题，并给出答案为1)5.5(-=f ，提示思路是：)(1)(1)1(x f x f x f +-=
+，则)1(1)1(1)2(+++-=+x f x f x f ，将)
(1)(1)1(x f x f x f +-=+代入可得)()2(x f x f =+，周期为2，则1)5.0()5.0()5.5(-=-=-=f f f .
显然，如果原函数的周期为2，则周期也可为4，则0)5.0(1)5.0(1)5.1()5.5(=+-==f f f f .这样，1)5.5(-=f 与0)5.5(=f 都成立，就不是单值函数了，即)(x f 根本不是函数！
该“函数”的问题还可以这样来得出：函数)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，则0)0(=f ，根据)
(1)(1)1(x f x f x f +-=+，令0=x 则1)1(=f ，1)1(-=-f ，但)(x f 的周期为2，必定满足)1()1()1(f f f -=-=，则0)1()1(=-=f f ，也能得出互相矛盾的结论来.本题还可以从函数图象推出矛盾.。