冲击响应谱试验技术

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专题讲座
冲击响应谱试验技术
西北工业大学航天学院
吴斌
2009年4月20日
目录
1 冲击响应谱概述 (2)
1.1 引言 (2)
1.2 冲击响应谱的定义 (3)
1.3 冲击响应谱的特点及用途 (8)
1.3.1 冲击响应谱的坐标系 (8)
1.3.2 冲击响应谱特点分析 (9)
1.3.3 冲击响应谱的用途 (10)
1.4 冲击试验的等效损伤原则 (11)
1.4.1 根据冲击响应谱进行试验确定 (11)
1.4.2 等效损伤原则 (13)
2 冲击响应谱的算法 (16)
2.1冲击响应谱数字分析中的参数选择 (18)
2.2 不同Q值间冲击响应谱的转换 (19)
3 冲击试验规范 (21)
4 冲击响应谱的试验方法 (24)
4.1 振动台模拟 (25)
4.2 机械式撞击试验装置 (26)
4.2.1固定谐振频率试验装置 (27)
4.2.2可调谐式试验装置 (28)
4.2.3用跌落式冲击台进行冲击响应谱试验 (28)
4.2.4水平摆锤式冲击响应谱试验机 (30)
1 冲击响应谱概述
1.1引言
航空、航天、电子等行业产品在生产、运输等过程中存在着各种冲击,而这对产品的质量和可靠性有着很大的负面影响。

为了解决这一问题,在此基础上产生并发展起了冲击试验。

经过一百多年的发展,冲击试验技术已经相当成熟了,它也在国防、民生等行业发挥着不可替代的作用。

然而传统的冲击试验,主要是以简单脉冲产生的冲击效果来模拟实际的冲击环境,这种方法有很大的局限性,有被冲击响应谱规范试验技术所代替的趋势。

这主要表现在冲击响应谱较传统的冲击规范有如下几种合理性和优势:
1)研究冲击的目的不是研究冲击波形本身,而更注重的是冲击作用于系统的效果,或者说研究冲击运动对系统的损伤势。

而用冲击的时间历程来描述损伤势不但困难,而且有时会得出错误的结论。

而冲击响应谱规范则能很好的避免这样的错误;
2)传统的冲击规范严格规定脉冲的类型,而相应谱规范则对冲击脉冲的类型和产生冲击的方法不做严格要求,因此做实验的灵活性增大;
3)冲击响应谱是响应等效的,对产品的作用效果也等效,因此冲击响应谱模拟比规定冲击脉冲来模拟更接近实际冲击环境;
4)对于工程设计人员来说,通过冲击响应谱的分析,可以对设备各部件所承受的最大动力载荷能够有比较准确的把握,从而预测出冲击潜在的破坏;同时还能提供给工程设计人员一个比较灵活的技术,以确保试验的可重复性。

下面,通过一个简单的例子来看看两种冲击规范的区别:
【例1】:图1(a)给出了两个面积相等但波形不同的半正弦脉冲(它们的速度变化相等),(b)给出了两个相同半正弦脉冲但其中之一叠有一极窄脉冲。

单从时间历程上来看,很难得出它们两组的区别。

图2所示分别是两组曲线的冲击响应谱曲线,比较可知,冲击脉冲A 对高频系统的危害较大,而B对低频系统的损伤势大;脉冲C和脉冲D虽时间历程峰值相差很多,但由他们的冲击谱曲线易知除极高频外两者的损伤势是相同的。

1 冲击波
形的比较
图2 与图1的冲击脉冲相应的冲击响应谱
由此可以看出,用冲击响应谱规范来描述系统的损伤势有更好的效果。

1.2冲击响应谱的定义
冲击响应谱是指一系列单自由度质量阻尼系统,当其公共基础受到冲击激励时各单自由度系统产生的响应峰值作为单自由度系统固有频率的函数绘出的曲线。

简单来说就是在笛卡尔坐标系下以单自由度系统的固有频率为横坐标,以其响应峰值为纵坐标画成的曲线。

一个实际的物理系统可以分解为多个不同的单自由度系统,对于每个单自由度系统进行冲击响应分析计算,取系统响应的最大值,然后和它的固有频率组成一个数据点。

这样分解成多少个单自由度系统就可以得到多少组数据点。

最后将这些点加以合成,即可得整个系统的冲击响应谱,原理如下图3所示。

图3 实际物理系统拆分成多个单自由度系统物理模型冲击响应谱按响应峰值取法的不同可以分为三种:
1)初始响应谱,简称“主谱”;
它是取冲击作用时间内的相应峰值求得的冲击响应谱。

2)剩余响应谱,简称“余谱”;
它是取冲击激励结束后的相应峰值做出的冲击响应谱。

3)最大响应谱,即主谱及余谱的包络谱;
如果按所用的响应参数不同可分为以下几种:
4)绝对加速度谱..
~
xω;
5)等效加速度谱(也称相对加速度谱) 2~
ωδω;
6)绝对速度谱.
~
xω;
7)等效速度谱(也称相对速度谱)~
ωδω;
8)绝对位移谱~
xω;
9)相对位移谱~
δω。

一般常用的是最大绝对加速度谱和最大相对位移谱,前者多用于规范冲击环境,后者多用于考核冲击强度及设计减震装置。

而速度谱则多于舰船冲击,因为对舰船来说冲击速度与损伤势的相关性最好。

冲击响应谱的物理含意如下图4所示。

图4 一系列不同固有频率的单自由度系数产生的冲击谱
1f 、2f 、3f 为连续曲线上的几个点
正初始冲击响应谱(+I)是指激励脉冲持续时间内,一系列被激励单自由度系统与激励脉冲同方向上出现的最大响应值max ()a I +与相应系统的固有频率n f 的关系曲线。

正残余冲击响应谱(+R)是指激励脉冲持续时间结束后,一系列被激励单自由度系统与激励脉冲同方向上出现的最大响应值max (a R )+与相应的系统固有频率n f 的关系曲线。

负初始冲击响应谱(-I)是指激励脉冲持续时间内,一系列被激励单自由度系统与激励脉冲反方向上出现的最大值与相应的系统固有频率max ()a −I n f 的关系曲线。

负残余冲击响应谱(-R)是指激励脉冲持续时间结束后,一系列被激励单自由度系统与激励脉冲反方向上出现的最大响应值max ()a R −与相应的系统固有频率n f 的关系曲线。

冲击响应谱可通过试验测得,也可以通过计算求出半正弦波、后峰锯齿波、梯形波的冲击波相应的各种冲击响应谱。

图5、图6、图7是国家标准的冲击试验方法中给出的无阻尼单自由度系统的三种冲击响应谱。

图8给出了带有波纹的半正弦的冲击响应谱,图9所示的是两种波形冲击响应谱的比较。

从图4、5、6可以看出,与半正弦波相比,后峰锯齿波的残余谱在非常宽的频率范围内才出现第一个零值,在相当宽的频带内与初始谱有相近的量值,而且相当平滑,这样的频谱特性有利于改善冲击试验的再现性,且由于对称的原因有的专家建议,如用后峰锯齿
波做冲击试验可以省去二分之一的试验方向,但后峰锯齿波比半正弦难于产生。

图5 对称半正弦脉冲的冲击响应谱(A=490m/s2,D=11ms)
I—初始响应谱;R—残余响应谱
图6 后峰锯齿波脉冲的冲击响应谱(A=490m/s2,D=11ms)
I—初始响应谱;R—残余响应谱
图7 对称梯形脉冲的冲击响应谱(A=490m/s 2
,D=11ms) I —初始响应谱;R —残余响应谱 图中
max
()a a A γ= (归一化相应系数)
n f D γ= (归一化频率 (1-1)
1/2n f f βγ==(激励频率和频率的比)
式中,为加速度最大响应值;max a A 为激励脉冲幅度;D 为激励脉冲持续时间;
n f 为
单自由度系统得固有频率。

冲击响应可用加速度、速度、位移和应力来描述。

所以,按工程需要冲击响应谱通常表示为加速度响应谱、速度响应谱和位移响应谱3种。

它们之间的数值关系为
2max max max (2)(2)n n A V f D f π==π (1-2) 式中,为冲击激励的最大加速度响应谱;
max A max V 为冲击激励的最大速度响应值;
max D 为冲击激励的最大位移响应值。

图8 带有波纹的半正弦脉冲的冲击响应谱
I —初始响应谱;R —残余响应谱
图9 后峰锯齿波的冲击谱与半正弦脉冲的冲击响应谱的比较
I —初始响应谱;R —残余响应谱
W —后峰锯齿波 300 18ms;2/m s X —半正弦波 196 20ms;
2/m s Y —半正弦波 196 8ms; 2/m s Z —半正弦波 196 3ms;
2/m s 1.3 冲击响应谱的特点及用途
1.3.1 冲击响应谱的坐标系
对冲击响应谱曲线的描述,随用途不同可以采用不同的坐标系。

IEC标准和国家标准中给出了两种坐标系,一是用-2/m s n f 坐标系表述的冲击谱,二是用a max /A—f n D坐标系描述的
冲击谱。

两种坐标系的纵坐标都是线形的,横坐标都是对数的。

图5、图6和图7中-2/m s n f 坐标系所描述的冲击谱是对应于冲击脉冲持续时间
=11ms,峰值加速度D A =490的半正弦、后峰锯齿波、梯形波的冲击响应谱。

这种坐标系对于经常使用的、特定的冲击脉冲的冲击响应计算,具有简明直观的效果。

2/m s 【例2】已知冲击试验脉冲为半正弦波,脉冲峰值加速度A =98,脉冲持续时间=30ms,试验样品的固有频率为30Hz,求试验样品受冲击作用所经受的最大加速度值。

2/m s D 【解】从已知条件求出的乘积值为
n f D γ==
33030100.9−××=从图2的-max /a F n f D 坐标系的横坐标找出α=0.9所对应的纵坐标约为1.7,即
max 1.7a A ≈ 故 max 16.6a ≈2/m s
即试验样品经受的最大冲击加速度约为16.6。

同理可求得后峰锯齿波、梯形波的最大冲击响应值。

2/m s 1.3.2 冲击响应谱特点分析
对于给定的单自由度系统 ,它的固有频率与传递特性是不变的,当该系统受到脉冲峰值加速度相同、脉冲持续时间宽度不同的冲击脉冲作用时,其响应幅值大致可分为三个区域。

1)缓冲区。

从图5至图7中可以看到,当n f D
<0.3时(β>),
max a A <1。

它的物理意义是:当冲击脉冲的持续时间与系统的固有周期(=D n T n T 1n f )之比小于0.3时,系统的冲击响应最大值小于冲击脉冲的峰值加速度。

并且n D T 的比值愈小,缓冲作用愈大,具有单调下降的特性。

在缓冲区内,三种波形的残余谱比初始谱大,并且与冲击速度增量近似地成正比的关系。

特别是当n f D <0.2时,三种波形的初始谱非常接近,这就是国家标准中规定的“当冲击试验的脉冲持续时间与试验样品的最高固有频率的乘积小于0.2时,就可采用速度变化相等的任何冲击波形”的理论根据,也是需要规定冲击速度容差的理由。

D 2)放大区。

当0.3时,10n f D <<max 1a A
>。

它的物理意义是当冲击持续时间与系统的
固有周期的比值落在上述区间时,系统的冲击响应值大于冲击脉冲的幅值,在此区间内
冲击响应具有放大作用,冲击响应的初始谱先是单调上升到最大值,半正弦波为1.78,后峰锯齿波为1.25,梯形波为2.0,然后单调下降(半正弦波是波动下降)至n T max 1a A
=。

在放大区内,3种波形的残余谱差别很大。

从图5至图7中可以看到,半正弦波、梯形波的残余谱在0.31n f D <<区间内,先是单调上升到最大值,然后单调下降至零值。

在n f D >1以后,反复出现零值。

另外,在此区间内其残余谱受冲击脉冲波上叠加的高频波纹影响很大,会使试验结果的再现性较差。

与半正弦和梯形波相比,后峰锯齿波的残余谱直至n f D >10附近才出现第一个零值,在相当宽的频带内与初始谱有相近的量值,而且相当平滑,这样的频谱特性有利于改善冲击试验的再现性。

3)等冲区。

当时,3种波形的响应均为
10n f D >max 1a A
=,在此区域内,三种波形的冲击作用可视为相等。

如图4所示,初始冲击响应谱具有单边性,这就是国家标准中规定“沿产品的第一轴线的正、反方向都要进行冲击试验”的理由。

同时,我们可以看到:正、负残余冲击响应谱以频率轴为对称轴互成影像,因此,图5、图6和图7仅示出了正残余响应谱。

需要注意的是对同一脉冲,由于持续的时间不同,对相同的产品所造成的影响也不相同。

冲击试验主要考虑的是对产品极限强度的影响,而不是考虑累积损伤,所以不必要对产品进行多次重复试验。

但是为了避免偶然性,也需要一定的冲击次数。

又由于冲击造成的最大响应可能发生在激励脉冲相同的方向上,也可能发生在与激励脉冲相反的方向上,因此,通常规定在被试样品的互相垂直的三轴上6个方向试验3次,共进行冲击试验18次。

1.3.3 冲击响应谱的用途
1) 用做衡量冲击作用效果的尺度。

因为大部分系统和结构均可用单自由度系统表征,即使复杂的设备或结构亦可用优势频率或模拟频率来表示,故用冲击谱可以容易地判定结构在冲击作用下的响应峰值大小,得出是否会损伤的结论。

【例3】设产品在运输过程中受到了复杂振荡型的冲击,下图10(a)是截取的一段冲击波形,经过响应谱分析后得到如图10(b)的冲击响应谱。

产品包含有不同的零部件,各个零部件有不同的固有频率,分别对应不同的响应峰值,从中可以很方便的判断出哪些零件
的响应峰值超过了其损伤许可值,得出是否会损伤的结论。

图10 产品实际冲击环境及其冲击响应谱
2) 用于冲击事件的统计分析,可得到具有给定置信度及可靠度的代表冲击环境的规范谱。

3) 用于不同冲击波形的等效转换,如将实际复杂冲击转换成损伤势等效的半正弦脉冲。

4) 用于试验有效性及重复性检查。

5) 用于指导承受冲击作用系统的设计。

1.4冲击试验的等效损伤原则
1.4.1根据冲击响应谱进行试验确定
由于实验室里很难模拟产品所受的真实波形,所以在实验室里一般不采用模拟真实波形的方法,而是采用模拟冲击环境对产品造成的影响的方法。

也就是说应使试验样品造成的损伤及故障与冲击环境的影响相当,称之为等效损伤模拟。

目前,大多数的冲击试验标准均是采用等效损伤的概念制定的,IEC的冲击、碰撞标准属于此类,国家标准冲击、碰撞试验方法等效于IEC标准,情况类同。

因此,如何评价产品的损伤及故障就成为等效模拟试验的技术关键问题。

损伤及故障的概念包含了两种含义:一是考核产品在冲击作用条件下的结构完好性,又称产品的结构强度试验;二是考核产品性能在冲击作用下是否合格,又称产品功能稳定性试验。

也就是说,电工电子产品等效损伤模拟是与产品的结构强度和性能稳定性评价相联系的。

由于试验样品的损伤及故障与它受激励下产生的最大应力直接相关。

因此,冲击试验的等效关系是以冲击响应谱作为依据的,并用最大响应加速度相等来实现。

电工电子产品的结构强度与性能稳定性与产品响应的应力直接相关。

对单自由度系统来说,在弹性极限内,产品所受的应力相同,其变形相同,所以表现的故障也是相同的。

广义来说,所谓等效损伤原则就是指“试验样品因承受激励而产生的应力是相当的,因而对试验样品造成的损伤也是相当的。


图11是比较简单的冲击环境中三个冲击波形的记录。

对图11的三个冲击波形进行冲击谱分析,得出图12中的三条冲击谱的曲线。

图11 冲击环境波形示意图
图12 冲击环境的冲击谱示意图
要在试验室重现图11的冲击波形相当困难,要在试验室重现图12的冲击谱同样是困难的。

因为,它只是加速度峰值的一种统计,但利用已知半正弦标准脉冲的冲击谱与之比比较,如图11中的曲线d。

它与脉冲峰值加速度A,脉冲持续时间D 的半正弦波的冲击谱相似。

显然,可以把曲线d 视为图11的冲击环境的上限情况,从等效损伤的观点看,曲线d 对试验样品造成的应力与冲击环境对产品所造成的应力是相当的。

所以,它们对产品造成的损伤也是相当的。

这样,利用标准冲击脉冲的冲击谱和真实环境的冲击谱进行比较。

总是可以找到应力相当的冲击谱与之等效,从而使得试验冲击脉冲标准化。

设计冲击试验的时候,要考虑两个方面,一是冲击环境特性,二是试验样品的特性。

就是说,在实验室里重现冲击环境对产品的影响时,必须将冲击环境特性和试验样品特性综合考虑,才能有合理、满意的结果。

对于给定的产品,它的固有频率n f 是不变的。

在图12的横坐标上有一个i f ,与i f 相对应的冲击响应谱i A 也随之而确定。

也就是说,对于给定的冲击环境,它对产品的影响是
确定的。

这样,根据等效损伤原则,就可以选择具体的标准冲击脉冲,使得它对产品的影响与真实环境的影响相当。

在式1-1中,是固有频率为max a n f 的试验样品受脉冲峰值加速度为A ,脉冲持续时间为D 的标准冲击脉冲作用时的最大冲击响应值。

图12中i A 则是产品固有频率为i f 时,真实冲击环境的最大响应值,欲使冲击试验的影响与真实环境的影响相当,根据等效损伤原则,令i A =,max a n f =i f ,得
A =()
i A a γ (1-3) i D f γ
=
利用上式即可求得标准冲击脉冲的峰值加速度A 和脉冲持续时间D 。

例如:考虑用半正弦作为冲击试验激励,其冲击脉冲参数的选取可按下述顺序进行估算。

【例4】从真实冲击环境的数据中找到i f 所对应的i A ,设找到的i f =43Hz ,对应的i A =198,代入式(1-3)中,得
2/m s A =19.8/()i a γ,D =γ/43
从归一化的半正弦冲击谱曲线查到i γ=0.78时,()a γ=1.78,代入上式,得
A =19.8/1.78≈108.6
2/m s D =0.78/43=18
ms 同理可以求得后峰锯齿波和梯形波的等效冲击试验脉冲加速度峰值和冲击脉冲宽度。

1.4.2 等效损伤原则
等效损伤原则的另外一个应用是冲击试验脉冲时间的等效变化。

在制定舰船电子设备颠震试验国家军用标准的过程中,遇到这样一个问题,实船测试的颠震脉冲持续时间(又称脉宽)从几毫秒到几百毫秒。

那么应如何选取冲击试验的脉冲持续时间作为试验室考核表准呢?就脉冲持续时间而言,有一种意见是采用250ms。

但由于缺少试验手段而难以实行。

主要困难是在颠震试验机的制造技术上,要产生持续时间为250ms 的颠震脉冲实在困难,又要在此脉冲持续时间下每分钟重复60100次就更困难了。

~对于上述问题,同样存在于车辆运输、火炮的冲震和飞机的冲击环境。

例如,航空部
某院为了满足某项冲击标准的要求,对脉冲峰值加速度为98、脉冲持续时间为500ms 的半正弦冲击试验机进行了设计计算。

计算结果表明:台面自由跌落高度为12m ,缓冲压缩量为2.6m 。

这种冲击及如果制造出来,它的总高度不会低于20m 。

这样一个庞然大物,其造价,试验费用,维修费用等很不经济。

因此,如何利用现有的冲击、碰撞试验设备解决宽脉冲试验是一个非常现实的问题。

现有的冲击试验机,从4ms 到30ms 范围的脉冲持续时间是容易产生的。

从技术上说,就是430ms 的脉冲持续时间是否可以等效代替较大脉冲持续时间的冲击试验。

利用等效损伤原则,这个问题就很容易解决了。

2
/m s ~下面从冲击谱的含义出发对冲击试验脉冲持续时间进行等效变换。

【例5】设产品的固有频率为n f ,受到脉冲峰值加速度为1A ,脉冲持续时间为的半正弦波脉冲的冲击。

今欲改变其持续时间以便在原有冲击试验机上实现,设变换后的脉冲持续时间为,脉冲峰值加速度为1D 1D 2D 2A 。

【解】 原脉冲为1A ,时,从式(1-1)可得到弹簧系统的冲击响应值 1D 1max 111()a A a γ=
同理得脉冲为,2D 2A 时的系统冲击响应值
2max 222()a A a λ=
根据等效损伤原则,当时,系统有相同的损伤,得
1max a =2max a 111()A a γ222()A a γ= (1-4)
此式即为所求的脉冲持续时间等效变换关系。

【例6】设试验样品的固有频率n f 为25Hz ,产品在实际环境中使用时,会受到冲击持续时间为250ms ,峰值加速度为98的脉冲冲击。

求:实验室考核试验脉冲的2/m s 2A 及2D (430ms).
~【解】 方法1 保持冲击脉冲峰值加速度不变,只改变试验脉冲的持续时间。

先求试验样品的1γ值
1γ=n f D =0.25s ⋅25(Hz)=6.25(Hz x s)
从图5所示的1γ=6.25处,查得(6.25)a ≈1.06,根据峰值加速度相同的原则,从图中2γ=0.34处,查得(0.34) 1.06。

a ≈根据等效原则可以用
20.341425Hz s D ms Hz
⋅=≈ 故即为所求的试验室的冲击试验脉冲持续时间。

214D m ≈s 当时,残余谱();
1 6.25n f D =0R +≈当时,残余谱(。

20.34n f D =)118R +≈2/m s 对比变换前后的冲击响应值可知,用14ms ,98的半正弦波代替,250ms,98的半正弦做冲击试验,有过损伤现象,因此在设计冲击试验时,这一点要特别注意。

2/m s 2/m s 方法2:同时改变脉冲持续时间和脉冲峰值加速度D A 。

由于冲击试验方法的需要或者由于冲击试验机功能的限制,试验要在给定的脉冲持续时间下进行,例如对于11ms 的半正弦波,求此时的试验峰值加速度,求试验样品的广义频率2A α。

11250.25 6.25n f D λ==×=
22250.0110.275n f D γ==×=
从图5上查得1γ=6.25时,11()a γ=1.06,2γ=0.275时,22()a γ=0.77。

代入式(1-4)得
22298/ 1.06134.9/0.77
m s A m s ×=≈ 取2A =134.9m/s 2为所求的冲击试验脉冲峰值加速度。

与方法1相同,此时应注意它的残余谱(R )+。

从图5查得:
当时,;
1 6.25n f D =0R +≈10.275n f D =时,
98R +≈2/m s 有过损伤现象,但其影响较小。

利用等效损伤原则进行冲击试验变换脉冲持续时间时,要注意下面几个问题:
1) 冲击谱只适用于弹性限度内,因此,根据等效损伤原则进行冲击试验脉冲持续时间变换计算时,只在试验样品的弹性限度内适用;
2) 冲击试验主要考核产品的强度,因此,考虑等效损伤原则的时候,主要考虑“产品产生的应力相当”,这是合理的。

如果冲击试验还要考虑产品的疲劳损伤,应考虑它的修正方法;
3) 系统阻尼在冲击作用过程中是不变的。

如果需要考虑阻尼的影响,应考虑修正方法,不过,前面已经说到,图5是无阻尼的冲击谱,是冲击响应的上限。

一般情况下以此作为根据即可,因阻尼对冲击响应的影响远小于振动;
4) 宽脉冲作用于弹性系统时,系统的残余响应很小,等效变换后宽度较小的试验脉冲对产品的负冲击响应较大,即产品存在过损伤现象。

2 冲击响应谱的算法
为了分析冲击响应谱的解法,我们先来了解一下单自由度系统的冲击响应函数。

设单自由度系统物理模型如下图13所示:
图13 半正弦激励的力学模型
该系统的数学方程为:
()()()()mx
t cx t kx t f t ++=&&& (2-1) 其中m 、c 、k 分别为系统的质量、阻尼和刚度。

设 2n c m f ξ=;2n k m f =;()f t &&=()F t m
对上面的方程进行变形得:
()2()2()()n n x t f x t f x t f t ξ++=&&&&& (2-2)
其中n f 和ξ分别表示系统的固有频率和阻尼比。

方程(2-2)的通解为
2
()()sin[2)
n
t f
X t f e f
πξt d
τπτ

=×−
∫&&τ (2-3)
这就是系统的位移响应与时间t和固有频率
n
f的关系式,姑且表示为,而常用的冲击响应谱是加速度响应和频率的关系式,所以对上面的式(2-3)求2阶导数后表示为,下面根据(2-3)式计算冲击响应谱,具体的计算过程如下:假设脉冲的持续时间
,,分别是系统受到激振作用的起始和结束时刻;分析的固有频率
(,)
n
X t f
(,)
n
X t f
&&
(,)
a b
t t t

a
t
b
t
(,)
n
f f f

n m
,f
n
、f
m
分别表示分析频率的上下限。

先令
1n
f=
n
f,时间t=并且让时间按照步长
a
t tΔ增长
1
21
32
a
t t
t t
t t
=
=+Δ
=+Δ
t
t
………
将、、等分别代入中计算相应的加速度响应
1
t
2
t
3
t(,)n
X t f
&&
111
221
331
(,)
(,)
(,)
n
n
n
X t f
X t f
X t f
&&
&&
&&
……….
比较所有的,得到其中的最大值,则和固有频率就组成了对应的一组数据。

再让固有频率以步长
1
(,)
i i n
X t f
&&
1max
(,)
i i n
X t f
&&
1max
(,)
i i n
X t f
&&
1n
f fΔ增加(fΔ按倍频程计算得到,后面详细介绍)。

1
21
32
n nk
n n
n n
f f
f f f
f f f
=
=+Δ
=+Δ
………
重复上面的步骤就可以得到一系列的最大加速度响应值和固有频率
1max
(,)
i i n
X t f
&&
n
f对应的点。

将这些点光滑连接,就得到了一个冲击响应谱曲线。

这就是冲击响应谱的数学解法。

这样求出的谱线为初始响应谱,按照响应谱的分类,还应该计算出剩余响应谱。

先假。

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