让数学课堂成为学生享受快乐的发现之旅
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出 了解答 ： 设 ＴＸ＋ ｎ Ｉ ２ ｙ— ｋ 则 直 线 ＴＸ＋ ｎ ， Ｆ ＇ ￣ ｙ＝ ｋ 圆 与
孽： ， ＋ ：， 以 Ｄ １ １ 所
ａ ａ
＋Ｙ ： ６ 有公 共 点， 是 ＿ 于 ＿ ７
钉Ｌ — ｒ ‘ 卜
≤
，
≥ ２
十２
即 ｌｌ Ｉ ｋ ＝ ｍ ＋ｎ ｌ 、 ６ 所 以ｍ ＋ｎ 的最 ｙ≤ ／ ， ０ ｙ
善知识结构， 而且能增强学生学习的兴趣．
笔者试图通过一道常见题 目的解析， 展示课 堂教学 引领学生探索发现的思维过程， 引发对数
学教学中一些问题的思考．
一
、
启航： 陈题再做， 发现问题， 错误背后有
原因
ｎ２ ：
这个 问题 怎么解决？ 学生沉浸在苦苦思考之 中．我提醒学生注意题 目 件和问题 的结构形 条 式， 看看与我 们已学过哪些数学 内容相关， 学生 的思维顿时活跃起来， 各种方法纷至沓来． 学生 ３从题 目的条件结构特征来看， ： 我想到 了运用三角代换法， 尝试用这种方法做出了解答，
生的代数运 算能力， 多培养学 生的分析和 比较 算法的能力， 并坚持对学生进行分步骤有针对性 的、有效 的训练， 那么我们一定能提高解析几何 的教学效率． 参考文献 ［ 中华人 民共和国教育部．普通高 中数学 １ 】
２ １ 年第 ６ ０１ 期
数 学教 学
因 为 ｍ ＋ 札 。一 ａ ｘ ， ＋ Ｙ 。＝
６． 一 ｆ
数 学教 学
２ １ 年第 ６ ０１ 期
让 数学 课堂成 为学生 享受快 乐 的发现 之旅
２１ ０ 江苏省盱眙中学 刘兴东 １０ ７
课 堂是 学生 学 习场 所， 是 学生 生 活的重 要 也 即 ａ＝ ｂ 即 当 ａ≠ ６ ｍｘ＋ｎ 取不 到 ， 时， ｙ ．
组成部分， 教师 应该运用 自己的智慧和创造力， 挖掘蕴涵其 中的生机和活力， 把课堂营造成生动 活泼的学习乐园．因此数学课堂优质高效的关 键在于学 生探索精神的培养， 教师要精心设计着
Ｘ＝ ￣６ Ｏ ， ／ＣＳ Ｙ＝ 、６ｉ ， ／ｓ ｎ 则
ｍｘ ｙ＝ 、０ Ｃ Ｓ Ｃ Ｓ ＋ｎ ， ６ Ｏ Ｏ ＋、０ ｓｎ ｓ ／ ／ ６ ｉ ｉ ／ ｎ±Biblioteka ！± ± ： ） ２２
．
＝ ｘａ ＣＳ ￣ ） ／ｂ ／ｂ Ｏ （ 一 ≤、ａ， Ｏ
， ．
所以撇 ＋佗 的最大值为 Ｔ＋ｂ ａ
老师： 这种解法正确吗？
学 生 ２这 种 解法 是错 误 的， 因就 在 于用基 ： 原
当ａ＝ 时， ＋ｎ 的最大值为 、曲． 仇ｚ ｙ ， ／
学生４ 由于向量模的平方是平方和形式， ： 与 已知形式一致， 我想到 了运用构造 向量与构造的 方法， 过程很简洁：
本不等式求最值时未考虑等号能否取到． 上述不 等式取等号 的条件是 ｍ ＝ ① 且 ＝ Ｙ② ， 而 若 ① 、 ② 式 同时 取 得，则 ｍ。＋ｎ ２＝ ｘ ＋ Ｙ ， ２
式求 极值 的一 个策 略： 条 件 中的两个 等式 的 一 将 边转 化 为 同一 值 ， 可 以 创造 条 件 ， 两个 基 本 就 使 不 等 式 的 等 号 同 时 成 立 ．能发 现 一 种 解 题 的一 般 规 律 ， 加激 发 了学 生 学 习 的兴 趣 ， 生在 发 更 学
设 ＝（ 礼， ＝ （，）则ｊ ・ ＝ ｍ，） ， 才Ｊ ｌ Ｉｌ ｌｃｓ ｌ ｌ ｌｌ ｌ Ｉ ・ ・ｏ ≤ ・ － ． ． Ｊ≤ｊ Ｊ． Ｉ ． ．Ｉ ２ ２ ｉ ２ ，
课程标准 （ 实验） ． ［ 人民教育出版社， ０３ Ｍ】 ２０ 年． （ 李文林． ２ ］ 算法、演绎倾向与数学史的分期 ［． Ｊ 自然辩证法通讯， ９ ６ ２： ６ ５ ． ］ １８ （） ４ — ０ ［ 课程教材研究所．２ 世纪中国中小学课 ３ ］ ０ 程标准 ・ 教学大纲汇编数学卷 【 ． Ｍ］北京： 人民教 育出版社， ０１ ２０ 年．
过 程 如下 ：
问题：已知实数满足 ｍ、ｎ 、Ｙ 、 满足ｍ ＋ ａ ２ ＝ ｂ ａ ≠０ 求ｍ ＋ｎ 的最 ＋Ｙ ，ｂ ， ｙ
，
大值．
这是一道经典题， 有学生马上给出了答案： 学 生 １ 因为 ｍ ＋ ≤下２ ２＋ ： ｍ ＋ｘ
设 仇 ＝ 、 ＣＳ ｎ＝ 、 ｓ ， ／ Ｏ ， ／ ０ ／ ｉ ／ ｎ ａ
大值为 √ 如．
学 生一 旦 展开 联 想 的翅 膀， 快 就发 现 了 还 很
所以 ｍ ＋ ｎ ≤ 、 ６ ｙ ／ ，当且仅 当ｍｙ＝ ｎ 且 ｎ Ｘ ＴＸ＞０ Ｉ ２ 时取等号， ｍｘ＋ｎ 的最大值为 ｘａ． 即 ｙ ／ｂ 通过这一番探究， 生不仅进一步 了解 了多 学 种解 题 思维 策 略， 特别 重要 的是对 原 来知 识结 构 中存 在 的 问题 得 以纠正 ， 并发 现 了应 用基 本不 等
力 弓导 ， Ｉ 引领 学 生在 问题 中探 究 ， 探 究 中发现 ， 在
在发现 中提高． 不仅能培养学生的解题能力， 完
学生能发现错误当然很好， 但为什么会犯这 样 的错误呢？ 说明某些学生对这类 问题还没有 真正的掌握． 要让学生 自己进行深入 的探究， 了 解错 因， 寻找方法， 让问题彻底解决．我以探究 这道 题 解法 和错 误 矫正 为 目标 ， 开始 了学 生的 发 现之旅． 二、 寻芳： 联想类比， 发现方法， 他山之石可 攻 玉
６ ｌ ～５
即（ ｍｘ＋佗 ） （ ＋ｎ ） ＋Ｙ） ｂ 当 ≤ ｍ。 （ ＝ａ，
且仅 当 、 共线， ｍｙ＝ ｎ 时取等号， 即 ｘ 故 ｍｘ＋ｎ 的最大值为 、０ ． ｙ ／６
学 生 ５ 我 看 到 平 方和 的形 式 就 想 到 解 析 几 ： 何 中 圆的 方 程， 试 着 用 解 析 几 何 的方 法 ， 作 就 也
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生的代数运 算能力， 多培养学 生的分析和 比较 算法的能力， 并坚持对学生进行分步骤有针对性 的、有效 的训练， 那么我们一定能提高解析几何 的教学效率． 参考文献 ［ 中华人 民共和国教育部．普通高 中数学 １ 】
２ １ 年第 ６ ０１ 期
数 学教 学
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数 学教 学
２ １ 年第 ６ ０１ 期
让 数学 课堂成 为学生 享受快 乐 的发现 之旅
２１ ０ 江苏省盱眙中学 刘兴东 １０ ７
课 堂是 学生 学 习场 所， 是 学生 生 活的重 要 也 即 ａ＝ ｂ 即 当 ａ≠ ６ ｍｘ＋ｎ 取不 到 ， 时， ｙ ．
组成部分， 教师 应该运用 自己的智慧和创造力， 挖掘蕴涵其 中的生机和活力， 把课堂营造成生动 活泼的学习乐园．因此数学课堂优质高效的关 键在于学 生探索精神的培养， 教师要精心设计着
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学 生 ２这 种 解法 是错 误 的， 因就 在 于用基 ： 原
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学生４ 由于向量模的平方是平方和形式， ： 与 已知形式一致， 我想到 了运用构造 向量与构造的 方法， 过程很简洁：
本不等式求最值时未考虑等号能否取到． 上述不 等式取等号 的条件是 ｍ ＝ ① 且 ＝ Ｙ② ， 而 若 ① 、 ② 式 同时 取 得，则 ｍ。＋ｎ ２＝ ｘ ＋ Ｙ ， ２
式求 极值 的一 个策 略： 条 件 中的两个 等式 的 一 将 边转 化 为 同一 值 ， 可 以 创造 条 件 ， 两个 基 本 就 使 不 等 式 的 等 号 同 时 成 立 ．能发 现 一 种 解 题 的一 般 规 律 ， 加激 发 了学 生 学 习 的兴 趣 ， 生在 发 更 学
设 ＝（ 礼， ＝ （，）则ｊ ・ ＝ ｍ，） ， 才Ｊ ｌ Ｉｌ ｌｃｓ ｌ ｌ ｌｌ ｌ Ｉ ・ ・ｏ ≤ ・ － ． ． Ｊ≤ｊ Ｊ． Ｉ ． ．Ｉ ２ ２ ｉ ２ ，
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过 程 如下 ：
问题：已知实数满足 ｍ、ｎ 、Ｙ 、 满足ｍ ＋ ａ ２ ＝ ｂ ａ ≠０ 求ｍ ＋ｎ 的最 ＋Ｙ ，ｂ ， ｙ
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力 弓导 ， Ｉ 引领 学 生在 问题 中探 究 ， 探 究 中发现 ， 在
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学生能发现错误当然很好， 但为什么会犯这 样 的错误呢？ 说明某些学生对这类 问题还没有 真正的掌握． 要让学生 自己进行深入 的探究， 了 解错 因， 寻找方法， 让问题彻底解决．我以探究 这道 题 解法 和错 误 矫正 为 目标 ， 开始 了学 生的 发 现之旅． 二、 寻芳： 联想类比， 发现方法， 他山之石可 攻 玉
６ ｌ ～５
即（ ｍｘ＋佗 ） （ ＋ｎ ） ＋Ｙ） ｂ 当 ≤ ｍ。 （ ＝ａ，
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学 生 ５ 我 看 到 平 方和 的形 式 就 想 到 解 析 几 ： 何 中 圆的 方 程， 试 着 用 解 析 几 何 的方 法 ， 作 就 也