单自由度系统的自激振动与受迫振动

小摆角驱动单摆的通解
A F e i
x " (t ) Ae i t
代入、 以后特解为：
x " (t ) F e e i i( t )
x "(t )
( 2

F 2 )2

4 2
2
cos(
t
tg1
2 2
2
)
非齐次线性微分方程的通解
x(t) x'x" A0e t cos( t )
1. 齐次方程的通解: 类似线性阻尼单摆，得：
x ' (t) A0et cos( t )
2003-6-1
02 2
2. 非齐次方程的特解: 设
x " (t ) Ae i t
求导：dx " iAe i t
dt
代入
d 2x " dt 2


2Ae
i
性驱动力产生; 而对非线性自激振动系统, 即使
在非周期性变化的能源供给下, 它亦能产生严格
的周期运动.
自激系统是一个非线性有阻尼的振动系统, 在运动过程中伴随有能量损耗, 但系统存在一种 机制, 使能量能够由非振动的能源通过系统本身 的反馈调节, 及时适量地得到补充, 从而产生一 个稳定的不衰减的周期运动. 这样的振动称为自 激振动.
2003-4-5
1
第5章 单自由度系统的自激振动
三极管振荡系统的范·德·波尔方程
x (x02 x2)x 02x 0
x y

y


( x0 2

x2
)
y

02
x
相轨道方程
dy (x02 x2) y 02x
dx
y
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1
第5章 单自由度系统的自激振动
共振时的最大振幅为：
Ar 2
F 2 2


arc
tg22

2
共振时最大振幅与阻尼有关
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2. 杜芬方程的受迫振动
杜芬方程解
1. 受驱杜芬方程
d 2x dt 2

dx dt

x

x3
F cost
（F cost
驱动力）
由单摆方程
d2x dt2

dx dt
给出任一初始条 件, 通过计算机数值 求解, 可以证明它的 相轨道都将趋向于一 条闭合曲线, 这一条 闭合曲线, 称为极限 环。
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1
第6章 单自由度系统的受迫振动
主要内容
1．线性单摆的受迫振动 2. 杜芬方程的受迫振动 3. 庞加莱截面 4. 单摆的复杂运动
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1
1．线性有阻尼单摆的受迫振动
第5章 单自由度系统的自激振动
学习要点
☆ 自激振动的定义和研究内容 ☆ 极限环及其物理意义 ☆ 范德波尔方程
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1
第5章 自主学习指导
1 什么是自激振动？它的特征有哪些？
2 举一实例说明自激振动系统是如何组成的？ 3 自激振动“常能源”中的“常”的含义是什 么？ 4 具有干摩擦力矩的弗洛凯摆？ 5 离心式风机管道脉动式振动问题（喘振）?



d
dA 1 dt 2
2

0
1
f (x, dx ,t)sind dt
2 f (x, dx ,t) cosd
dt
2A 0
dt
其中
f (x , dx ,t ) dx + 2 1 x 3 + F cost
1．线性有阻尼单摆的受迫振动
谐振特性
研究幅频特性：
A
F
( 2 2 )2 4 2 2
将分母根号下对频率求导并令其等于零：
df (v ) d [(2 2 )2 422 ] 0 d d
(2 2 ) 22
共振
频率 r
2 2 2
共振频率r小于系统自振频率，
t
d 2x dt 2
2
dx dt
2x

Fe i t
消去公因子 e i t
2A 2iA 2A F
A

( 2
F 2 ) 2i


tg1
2 2
2
A F e i
(2 2 )2 4 2 2
1．线性有阻尼单摆的受迫振动
( 2

F 2 )2

4 2
2
cos(
t
tg1
2 2
2
)
第一项随时间衰减，经一段时间后第一项将衰减到零，最后仅剩下第二部分：
x(t) x'x"
( 2

F 2 )2

4 2 2
cos(
t
tg1
2 2
2
)
衰减过程常称为过渡过程。
2003-6-1
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1
第5章 自主学习指导
6 何谓“极限环” ？极限环的存在条件是什么?
7 闭轨道与极限环是一回事吗？ 8 庞加莱指数的内涵是什么? 9 如何用庞加莱指数定理判别极限环的存在性？ 10 范德波尔方程描述了什么物理现象？
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第5章 单自由度系统的自激振动
对线性阻尼振动系统, 周期运动只能由周期
2 sin
x

F
cos
t
2
2 6
d2x dt2

dx dt
2(x

x3 ) 6

F
cos
t
2. 方程解
d2x dt2
2x


dx dt
Hale Waihona Puke Baidu
2
1 6
x3

F
cos
t
改写
设一次近似解 x (t ) A cos( t) （A, 为待定常数）
A,由下述方程组求出：
dt
dt 6
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2. 杜芬方程的受迫振动
杜芬方程解
2. 方程解(续)
讨论稳态



d
dA 1 dt 2
2

0
1
f (x, dx ,t)sind dt
2 f (x, dx ,t) cosd
dt
2A 0
dt
积分
dA A F cos dt 2
d 1 A 2 F sin
dt
16
A ( + )
dA/ dt 0 d / dt 0
小摆角驱动单摆的通解
驱动单摆方程 / 2m F f / ml
d 2x dt 2
2
dx dt
2x

F
cos
t
驱动力写成指数
d 2x dt 2
2
dx dt
2x
Fe i t
这是非齐次线性微分方程,其通解是 它的齐次线性方程的通解和它一个特 解之和。
x (t ) x '(t ) x "(t )