椭圆两条垂直弦的一个有趣性质

椭圆两条垂直弦的一个有趣性质

本文介绍椭圆中的两条垂直弦的一个有趣性质，并说明其应用．

性质：MN是经过椭圆b2x2＋a2y2=a2b2(a＞b＞0)焦点的任一弦，若过椭圆中心O的半弦OP⊥MN，则

证明以椭圆左焦点F为极点，Fx为极轴建立极坐标系，则椭圆方程为：

设MN的倾斜角为α，这时

|MN|=|MF|＋|FN|

∵MN的倾斜角为α，OP⊥MN，

∴OP的倾斜角为90°＋α(或90°－α)，∴可设OP的参数方程为

将它们代入椭圆方程得(a2cos2α＋b2sin2α)t2=a2b2，

(*)的形式优美、对称和谐，且可用它来解与其相关的一类问题，下面略举数例说明．

1．求距离

解过椭圆中心O作半弦OP⊥MN，则k OP=－2，

又∵ a2=9，b2=8，将它们代入(*)得

2．求倾斜角

例2过椭圆x2＋9y2=9的左焦点F1的直线交椭圆于M，N两点，F2为右焦点，设∠MF1F2=α，α∈[0，π)，当α取什么值时，|MN|等于椭圆短轴的长．(1983年全国高考题)

解过椭圆中心O作半弦OP⊥MN，则OP的直线方程为y=－xcotα，代入

又知a=3，b=1，|MN|=2b=2，由(*)得

∵α∈[0，π)，∴α=30°或150°．

3 求面积

(1993年上海市高三数学竞赛题)

解过O作椭圆半径OP⊥AB，设AB的斜率为k，则k OP=－k-1，∴OP的直线方程为y=－k-1x，将它代入椭圆方程解得

4 求直线方程

∴OP的直线方程为y=±x．