(优选)连续时间系统滑模变结构控制

状态的运动轨迹都将在有限时间内到达切换面，并
启动滑动模态运动。
3.2 等效控制及滑动模态运动方程
3.2.1 等效控制
设系统的状态方程为
x f (x,u,t) x n,u
(3.2.1)
其中 u 为控制输入，t 为时间。
如果达到理想的滑动模态，则 s(x) 0
即
s
s x
x t
0或
s x
f (x, u, t) 0
3.4 滑模变结构控制器设计基本方法
通过Ackermann公式来求解其参数，具体方法如下：
c eTP( A)
(3.4.4)
其中 eT 0 0 1 b Ab An1b 1
P( A) ( A 1I )( A 2I ) ( A n1I ) 1, 2 ,, n1 为期望选取的特征值。
2. 设计控制律，使到达条件得到满足，从而在切 换面上形成滑动模态区。
c
3.4 滑模变结构控制器设计基本方法
1. 设计切换函数，使得所确定的滑动模态运动渐近 稳定且具有良好的动态品质。
1) 二阶单输入系统（规范空间）
线性切换函数为
s cx x
(3.4.1)
由于选择 x 和 x 为状态，所以，只有 c 0 时， 在切换面上的状态运动轨迹才会渐近趋向原点，即
保证了系统为渐近稳定。
（优选）连续时间系统滑模变 结构控制
3.1 滑动模态到达条件
为了保证在有限时刻到达，避免渐近趋近的情况出
现。可对式(3.1.1)进行修正，取为
ss
(3.1.3)
其中 为任意小正数。
通常将式(3.1.1)表达成李雅普诺夫函数型到达条件
V
1 2
s2
V 0
(3.1.4)
满足上述到达条件的滑模变结构控制系统，其
(3.2.2)
式(3.2.2)中 u 称为系统在滑动模态区内的等效控
制，一般用ueq 表示。
3.2.1 等效控制
例如，对于线性系统
x Ax bu x n,u (3.2.3)
取源自文库换函数为
s(x) cx
(3.2.4)
设系统进入滑动模态后的等效控制为ueq ，则由
式(3.2.3)有
s cx c( Ax bueq ) 0
x
0
x
s2 0.8x x 0 s1 1.7x x 0
图3.4.1
3.4 滑模变结构控制器设计基本方法
2) 高阶单输入系统（一般状态空间）
线性切换函数为
s( x) c1x1 c2 x2 cn1xn1 xn
(3.4.2)
参数 c c1,c2, ,cn1,1的确定是至关重要的，所
条件式(3.3.5)称为不确定性和系统的完全匹配条件。
（3）当系统同时存在外干扰和不确定性时
x Ax Ax Bu Df
(3.3.7)
若同时满足匹配条件式（3.3.2）和（3.3.5），则
系统可化为
x Ax B(u Ax Df )
(3.3.8)
通过设计控制律实现同时对不确定性和外干扰的完 全补偿。
运动方程如下：
x I bcb1 c Ax
s(x) cx 0
其中 I 为单位矩阵。
(3.2.8)
补充：滑模变结构控制Matlab P50 &2.6
在滑模控制中，等效控制ueq 保证系统的状态在滑模面上， 切换控制 usw 保证系统的状态不离开滑模面。
u ueq usw
3.3 滑模变结构控制匹配条件及不变性
当n=2，
s(x) c1x1 x2,多项式：p+c1为Hurwitz， p+c1 =0的特征值实数部分为负。
n 3时，
s(x)
c1x1
c2
x2
x3
,多项式：p2
+c
p+c
2
1为Hurwitz，
p2 +c2p+c 1 =0的特征值实数部分为负。
设：p2 2 p 2 0,即：
p 2 0,取 0,满足 p2 2 p 2 0特征值实数部分为负
【注】规范空间：以状态和状态变化率为坐标构成的空间
3.4 滑模变结构控制器设计基本方法
而选择不同的c 值时，切换面上的状态运动轨迹趋 向原点的速度是不同的， c 越大，对于相同的x ，x 的变化率越大，从而趋近速度越快。
图3.4.1，切换函数的参数分别选取c 0.8和 c 1.7
作出图示说明。
设计的参数必须使系统在切换面上的滑动模态运 动是渐近稳定的。
一般地，考虑如下系统：
x Ax bu s cx
x n
u
(3.4.3)
在滑模控制中，参数 c c1,c2, , cn1,1
应满足多项式：
pn1 cn1 pn2 ... c2 p c1为Hurwitz, 其中p为拉普拉斯算子
不变性：实现滑动模态运动不依赖于外部扰动和参数 摄动的性质，也可叫鲁棒性、自适应性。是滑模变结 构控制受到重视的最主要原因。
对于线性系统，不变性的成立需满足滑动模态的
匹配条件。对于扰动和摄动的作用的不同情况，分三 种情况予以讨论：
（1）当系统受到外干扰时
x Ax Bu Df
(3.3.1)
其中 f 表示系统所受的外干扰。 滑动模态运动不受干扰影响的充要条件为
下面给出几种常用的控制结构形式
3.4 滑模变结构控制器设计基本方法
1) 常值切换控制（bang-bang控制）
u u0 sgn(s( x))
x Ax Bu Ax
(3.3.4)
滑动模态与不确定性无关的充分必要条件为
rank B,ΔA rankB
假如式(3.3.5)满足，则系统可化为
(3.3.5)
3.3 滑模变结构控制匹配条件及不变性
x Ax B(u Ax)
(3.3.6)
其中有 BA A。通过设计控制律可实现对不确定 性的完全补偿。
若矩阵cb 满秩，则可解出等效控制
(3.2.5)
ueq cb1 cAx
(3.2.6)
3.2.2 滑动模态运动方程
将等效控制 ueq 代入系统的状态方程式(3.2.1)，
可得系统滑动模态运动方程
x f ( x,ueq ,t)
s(
x)
0
x n ,u
(3.2.7)
将式(3.2.6)代入式(3.2.3) 可得线性系统的滑动模态
rank B,D rankB
(3.3.2)
3.3 滑模变结构控制匹配条件及不变性
假如式(3.3.2)满足，则系统可化为
x Ax B(u Df )
(3.3.3)
其中有 BD D，通过设计控制律 u 可实现对干扰的 完全补偿。
条件式(3.3.2)称为干扰和系统的完全匹配条件。
（2）当系统存在不确定性时