正项级数审敛法的比较与应用

正项级数审敛法的比较与应用

1.引言

正项级数作为数学分析中重要内容之一是我们必须要掌握的知识。因其有着几百年发展的历史，正项级数理论也已经很成熟。我们在课本中已经学习了很多种判断正项级数敛散性的法方法，但在具体的解题过程时往往不知道该选用哪种判断方法较为适宜。也就是说，不同的正项级数敛散性判断方法都有其局限性，每个正项级数定理运用在不同的题目上时会有其优缺点。那么我们在解决具体正项级数敛散性题目时到底该选用哪种方法合适呢？这是本文所讨论的。

2正项级数的相关概念

2.1定义

如果级数u n的各项都是非负实数，即

x n>0,n=1,2⋯

则称此级数为正项级数。

1. 1.2正项级数的收敛原理

正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有上界。若正项级数的部分和数列无上届，则其必发散到+∞。

2.2正项级数收敛判定定理

2. 2.1比较判别法

2.1.1比较判别法定理

设u n和v n是两个正项级数，如果存在某正数N，对一切n>N都有

u n≤v n,

若级数u n收敛，则级数v n收敛

若级数u n发散，则级数v n发散

2.1.2比较判别法的应用

例1判断1

的收敛性

n2+2n+2

解因为

1 2<

1

2

而由级数的柯西准则可知1

n

中 u m+1+u m+2+⋯+u m+p

=

1

(m+1)2

+

1

(m+2)2

+⋯+

1

(m+p)2

<

1

m m+1

+

1

m+1m+2

+⋯+

1

m+p−1m+p

<1/m

因此，对任给正数ε，取N=[1

ε

],使当m>N及对任意正整数p,由上式有

u m+1+u m+2+⋯+u m+p<1

<ε

则级数1

n

是收敛的。

所以由比较法可知1

n+2n+2

是收敛的。

2.1.3小结

在运用比较判别法判断正向级数收敛时，可考虑运用p级数收敛与发散的结论来简化证

明。即1

n p ,当0

n p

发散；当p>1时，1

n p

收敛。

2.1.4比较判别法推论

设

u1+u2+⋯+u n+⋯,（1）

v1+v2+⋯+v n+⋯,（2）

是两个正项级数，若lim n→∞u n

v n

=l,

当0

当l=0且级数收敛时（2）收敛时，级数（1）也收敛；

当l=∞且级数（2）发散时，级数（1）也发散。

这里用比较判别发的推论来证明例1

令u n=1

n2+2n+2，v n=1

n2

因为lim n→∞u n

v n =lim n→∞n2

n2+2n+2

=1，

所以u n与v n同时收敛或发散，而由知1

n2收敛，所以1

n2+2n+2

收敛。

例2判断sin1

√n

是否收敛

解因为lim n→∞sin1

√n

1

√n

=1

由比较判别法推论可知sin1

√n 与1

√n

同时收敛。

而由p级数结论可知1

√n 发散，所以sin1

√n

发散。

2.1.4小结

比较判别法的推论要更为方便些，在判断正项级数敛散性时，如果正项级数的通项公式不方便放缩则可尝试用比较判别法的推论。

3. 2.2比式判别法

2.2.1比式判别法定理

设u n为正项级数，且存在某正整数N0及常数q(0

若对一切n>N0成立不等式

u n+1

u n

≤q,

则级数u n收敛。

若对一切n>N0成立不等式

u n+1

u n

≥1,

则级数u n发散。

2.2.1比式判别法推论

若u n为正项级数且

lim n→∞

u n +1u n

=q ,

当q <1时，则级数 u n 收敛； 当q >1或q =∞则级数 u n 发散。 例3判断 n !

n n 的敛散性。 解由于lim

n→∞u n +1

u n

=lim

n→∞

n +1 !(n +1)n +1

n !n

=lim n→∞

(n

n +1)n =e −1<1

所以 n !

n n 收敛。

4.

2.3根式判别法

2.3.1根式判别法定理

设 u n 为正项级数，且存在某正整数N 0及常数l , 若对一切n >N 0成立不等式

u n n

≤l <1,

则级数 u n 收敛。

若对一切n >N 0成立不等式 u n n

≥1，

则级数 u n 发散。

2.3.2根式判别法推论

设 u n 为正项级数，且 lim n→∞ u n n =l ,

当l <1时，则级数 u n 收敛； 当l >1时，则级数 u n 发散。 例4用根式判别法来证明例3 解

A = u n n

= n !n n n

= n n ∙n −1n ∙⋯∙1

n

n