正项级数审敛法的比较与应用

正项级数审敛法的比较与应用
1.引言
正项级数作为数学分析中重要内容之一是我们必须要掌握的知识。

因其有着几百年发展的历史，正项级数理论也已经很成熟。

我们在课本中已经学习了很多种判断正项级数敛散性的法方法，但在具体的解题过程时往往不知道该选用哪种判断方法较为适宜。

也就是说，不同的正项级数敛散性判断方法都有其局限性，每个正项级数定理运用在不同的题目上时会有其优缺点。

那么我们在解决具体正项级数敛散性题目时到底该选用哪种方法合适呢？这是本文所讨论的。

2正项级数的相关概念
2.1定义
如果级数u n的各项都是非负实数，即
x n>0,n=1,2⋯
则称此级数为正项级数。

1. 1.2正项级数的收敛原理
正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有上界。

若正项级数的部分和数列无上届，则其必发散到+∞。

2.2正项级数收敛判定定理
2. 2.1比较判别法
2.1.1比较判别法定理
设u n和v n是两个正项级数，如果存在某正数N，对一切n>N都有
u n≤v n,
若级数u n收敛，则级数v n收敛
若级数u n发散，则级数v n发散
2.1.2比较判别法的应用
例1判断1
的收敛性
n2+2n+2
解因为
1 2<
1
2
而由级数的柯西准则可知1
n
中 u m+1+u m+2+⋯+u m+p
=
1
(m+1)2
+
1
(m+2)2
+⋯+
1
(m+p)2
<
1
m m+1
+
1
m+1m+2
+⋯+
1
m+p−1m+p
<1/m
因此，对任给正数ε，取N=[1
ε
],使当m>N及对任意正整数p,由上式有
u m+1+u m+2+⋯+u m+p<1
<ε
则级数1
n
是收敛的。

所以由比较法可知1
n+2n+2
是收敛的。

2.1.3小结
在运用比较判别法判断正向级数收敛时，可考虑运用p级数收敛与发散的结论来简化证
明。

即1
n p ,当0<p≤1时，1
n p
发散；当p>1时，1
n p
收敛。

2.1.4比较判别法推论
设
u1+u2+⋯+u n+⋯,（1）
v1+v2+⋯+v n+⋯,（2）
是两个正项级数，若lim n→∞u n
v n
=l,
当0<l<+∞时，级数（1）、（2）同时收敛或同时发散;
当l=0且级数收敛时（2）收敛时，级数（1）也收敛；
当l=∞且级数（2）发散时，级数（1）也发散。

这里用比较判别发的推论来证明例1
令u n=1
n2+2n+2，v n=1
n2
因为lim n→∞u n
v n =lim n→∞n2
n2+2n+2
=1，
所以u n与v n同时收敛或发散，而由知1
n2收敛，所以1
n2+2n+2
收敛。

例2判断sin1
√n
是否收敛
解因为lim n→∞sin1
√n
1
√n
=1
由比较判别法推论可知sin1
√n 与1
√n
同时收敛。

而由p级数结论可知1
√n 发散，所以sin1
√n
发散。

2.1.4小结
比较判别法的推论要更为方便些，在判断正项级数敛散性时，如果正项级数的通项公式不方便放缩则可尝试用比较判别法的推论。

3. 2.2比式判别法
2.2.1比式判别法定理
设u n为正项级数，且存在某正整数N0及常数q(0<q<1)。

若对一切n>N0成立不等式
u n+1
u n
≤q,
则级数u n收敛。

若对一切n>N0成立不等式
u n+1
u n
≥1,
则级数u n发散。

2.2.1比式判别法推论
若u n为正项级数且
lim n→∞
u n +1u n
=q ,
当q <1时，则级数 u n 收敛； 当q >1或q =∞则级数 u n 发散。

例3判断 n !
n n 的敛散性。

解由于lim
n→∞u n +1
u n
=lim
n→∞
n +1 !(n +1)n +1
n !n
=lim n→∞
(n
n +1)n =e −1<1
所以 n !
n n 收敛。

4.
2.3根式判别法
2.3.1根式判别法定理
设 u n 为正项级数，且存在某正整数N 0及常数l , 若对一切n >N 0成立不等式
u n n
≤l <1,
则级数 u n 收敛。

若对一切n >N 0成立不等式 u n n
≥1，
则级数 u n 发散。

2.3.2根式判别法推论
设 u n 为正项级数，且 lim n→∞ u n n =l ,
当l <1时，则级数 u n 收敛； 当l >1时，则级数 u n 发散。

例4用根式判别法来证明例3 解
A = u n n
= n !n n n
= n n ∙n −1n ∙⋯∙1
n
n
lnA =
1n (ln n n +ln n −1n +⋯+ln 1n
) =1
n [0+ln 1−1
n +ln 1−2
n +⋯+ln 1−
n−1n
]
在此处键入公式。

lim n→∞
lnA = ln 1−x d x 1
=[(x −1)ln ⁡( 1−x −x ]01=−1
所以lim n→∞
A =1e
即lim n→∞
u n n =
n !n n
n
=1
e
<1
所以由根式判别法可知 n !n n
收敛。

例5
例6判断级数
2+(−1)n
2的收敛性。

对于这题如果先用比式判别法来解此题
解
lim n→∞u 2m
u 2m−1=lim n→∞
322m 12=3
2
lim
n→∞u 2m +1
u 2m
=lim
n→∞
122m +1322m
=1
6
所以用比式判别法无法得出该级数的收敛性。

但
lim n→∞ u n n
=lim n→∞ 2+(−1)n 2
2=1
2
所以用根式判别法可得出该级数收敛。

2.3.3小结
由例4、例5、例6可知凡是能用比式判别法鉴别出收敛性的级数也一定能用根式判别法来判断，而能用根式判别法鉴别出收敛性的级数却不一定能用比式判别法来判断。

所以根式判别法较比式判别法更有效。

5. 2.3积分判别法
2.3.1积分判别法原理
积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性。

2.3.2积分判别法定理
设f 为[1,+∞）上非负减函数，那么正项级数 f (n )与反常积分 f x dx +∞
1同时收敛或
同时发散。

2.3.3积分判别法的应用
例7讨论p 级数
1x p
的敛散性
解函数f (x )=1x p ,当p >0时在[1,+∞)上是非负减函数。

而p >1时， 1
x p
dx +∞1
=
[x 1−p 1−p ]1
+∞=0, f (x )收敛；0<p <
1时 1
x p
dx +∞1
=
[x 1−p 1−p ]1
+∞=∞，f (x )发散；p =1时，
1
x
dx +∞1
=[lnx ]1∞
=∞,，f (x )发散。

所以 1
x 在p >1时收敛，在0<p ≤1时发散。

例8判断 1n (lnn )2∞2的收敛性
解由于 1
x (ln x )
dx +∞
2= 1
(ln x )
d ln x +∞
2
= 1
u
du +∞ln 2
=
1ln 2
所以 1x (ln x )dx +∞2
收敛，因此
1n (lnn )2
∞2
收敛。

6. 2.4d’Alembert 判别法
2.4.1d’Alembert 判别法定理
设 x n ∞1(x n ≠0)是正向级数，则 当lim n→∞ x n +1
x n
=r <1时，级数 x n ∞1收敛； 当lim
n→∞ x n +1
x n
=r >1时，级数 x n ∞1发散；
当r ≥1或r ≤1时，判别法失效，即级数可能收敛，也可能发散。

2.4.2d’Alembert 判别法定理的应用
例9判断正项级数 n n
3∙n !∞1的敛散性。

解令x n =
n n 3∙n !
,那么
lim n→∞ x n +1x n =lim n→∞ (n +1)n 3n +1∙ n +1 !∙n n
3n ∙n !
=lim n→∞13(1+1n )n =e
3<1,
由d’Alembert 判别法可知级数 n n
3n ∙n !∞1收敛。

注：能用d’Alembert 判别法判定的正项级数则一定能用Cauchy 判别法判定，反之不然。

7.
2.5Raabe 判别法
2.5.1Raabe 判别法定理
设 x n n 1(x n ≠0)是正项级数，lim n→∞
n (
x n x n +1
−1)=r ,则
当r >1时，级数 x n n 1收敛； 当r <1时，级数 x n n 1发散。

2.5.2Raabe 判别法的应用
例10判断级数1+ 2n−1 ‼2n‼
n 1∙
12n +1
的敛散性。

解设x n =
2n−1 ‼ 2n ‼∙1
2n +1
,则 lim
n→∞x n +1
x n
=lim
n→∞(2n +1)2
(2n +2)(2n +3)
=1,
也就是说，此时Cauchy 判别法与d’Alembert 判别法都不适用，但应用Raabe 判别法，可得
lim n→∞n (x n
x
n +1
−1)=lim n→∞n (6n +5)(2n +1)=3
2>1,
所以级数1+ 2n−1 ‼2n‼
n 1
∙1
2n +1收敛。

注：虽然Raabe 判别法有时可以处理d’Alembert 判别法失效（即级数可能收敛，也可能发散。

8. 2.6阿贝尔判别法
2.6.1阿贝尔判别法定理
若数列a n >0,b n >0,且 a n 为单调有界数列，级数 b n 收敛，则级数 a n b n 收敛。

2.6.2阿贝尔判别法的应用
例 11
9. 2.7狄利克雷判别法
2.7.1狄利克雷判别法定理
若数列a n >0,b n >0,且 a n 为单调递减，lim n→∞a n =0,级数 b n 部分和数列有界，则级数 a n b n 收敛。

2.7.2狄利克雷判别法的应用
例 12判断
sin nx n 的收敛性x ∈(0,2π)(a >0)
解因x ∈(0,2π)，故x
2
ϵ(0,2π),从而级数 sin nx 的部分和数列
S n =
1
sin x 2
∙sin x 2S n =12sin
x 2
(cos x 2−cos 3x 2+⋯+cos 2n −12x −cos 2n +12x )=
cos x 2−cos
2n +12
x
2sin
x 2
从而 S n ≤
1
sin x ，即S n 有界。

又a >0时，数列 1
n a 单调递减且lim n→∞1
n a =0,由狄利克雷判
别法知级数收敛。

10. 2.8其他判别法
（一）库默尔判别法
设c 1,c 2,⋯,c n ,⋯是使级数 1
c n ∞1
发散的一个正数序列，对所考虑的级数（A ）作序列 K n =c n ∙a n
a
n +1
−c n +1,
若（对于n >N ）不等式
K n ≥δ成立，其中δ是一个正常数，则级数收敛。

如果（对于n >N ）K n ≤0，则级数发散。

（二）高斯判别法
设 u n n 1是正项级数，若
u n +1u n
=λ+μn +θ
n
n ,λ与μ为常数，θn 为有界量，又θn ≤l ,则
当λ>1或λ=1，μ>1时级数 u n n 1收敛； 当λ<1或λ=1，μ≤1时级数 u n n 1发散。

（三）厄耳马可夫判别法
设f (x )为单调递减的正值函数，若lim x→+∞e x f (e x )f (x )
,则
当λ<1时，级数 f (n )n 1收敛；
当λ>1时，级数 f (n )n 1发散。

3判别法的选用
当级数可化为通项为等差或等比或者可化为含参数的一般式时，可选用正项级数的充要条件进行判断。

当级数表达式含有sin θ或cos θ等三角函数因子以运用公式lim n→∞u n +1u n
或lim n→∞
u n n 时不
易得出结论时，选用比较判别法较为合适。

例
（1） (1−cos 1
n
)，因为lim n→∞
1−cos
1n
12
=1,而级数 12n 2收敛，故级数 (1−cos 1
n )收敛。

（2） 1
(ln n )∞n =2，因为1
(ln n )=1
e
ln (ln n )ln n
=
1n
(ln n )ln n
<1n ，而 1
n ∞n =2收敛，所以
1(ln n )∞n =2
收敛。

当函数含有阶层与n 次冥，型如a!与a n 时，可先尝试用比式判别法或根式判别法。

如例3
如果用比式、根式判别法时lim
n→∞u n +1
u n
=lim n→∞
u n n =1
或∞无法判断其敛散性的时候选用Raabe 判别法。

如例10
若正向级数表达式中通向u n 可以找到原函数且单调递减时，可选用积分判别法。

如例8 当级数通向分为u n 和v n 两项乘积，其中一项单调递减且极限趋向于零，另一项为部分
和有界的数列如含有sin θ或cos θ等三角函数、(−1)n 等则选用狄利克雷判别法。

若其中一项单调趋于零，另一项部分和收敛，则用阿贝尔判别法。

结束语
本文中总结了正项级数的比较判别法、比式判别法、根式判别法、积分判别法、d’Alembert 判别法、Raabe 判别法、阿贝尔判别法、狄利克雷判别法的定理及其应用。

并结合实例来分析各方法的使用技巧，并将这些方法在不同情况下进行比较，选出适宜的解题方法。

另外本文还简单介绍库默尔判别法、高斯判别法等其他方法，以提供解题多种选择。