从测量金字塔得到的

M N Q B P 图1 图2 M N Q P O B D

C A 图3 E H 从测量金字塔高度得到的

湖北省钟祥市第五中学 孙红强

“相似三角形应用举例”中测量金字塔的高度例子是对我们动手、动脑、观察、思考、归纳等能力的考查。这就需要我们借助学习的知识和方法进行组合，准确的获得解决问题的多样方法。下面就以教材第49页中的例3为例，来探索关于测量物体高度问题的方法。

问题：据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯就是利用相似三角形的原理，来

测量金字塔的高度。

探究：

1．建立模型：这是一个实际测量问题，要将问题中的实际事物转化为几何图形进行研

究，所以要进行建模。把金字塔看成一个四棱锥B —MNPQ ，如图1，测量金字塔的高就变成求四棱锥B —MNPQ 的高。

2．泰勒斯的方法：

如图2，他在金字塔的影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三

角形。如果木杆EF 的长2m ，它的影长FD 为3m ，测得OA 为201m ，求金字塔的高度。

对于泰勒斯的方法在求金字塔的高度时，具体过程如下。

分析：由于太阳光线是平行光线，因此∠BAO ＝∠EDF ，又∵∠AOB ＝∠DFE

＝90°，∴△ABO ∽△DEF ，∴BO EF ＝OA FD

，∴BO ＝201×2÷3＝134m 。 因此金字塔的高为134米。

反思：由于点O 是金字塔底座正方形的中心，实际测量时是不可能到达的，怎

样测量OA 的长度呢？（教材第49页的云朵中的话）

如图3，以点N 为A 顶点，以NP 为角的一边，作∠PNH ＝135°（则

∠MNH ＝135°），再分别过点N 、A 作NC ∥AD 、AC ∥NH 的平行线，两

线交于点C ，则四边形ONCA 是平行四边形，所以OA ＝NC ，测量NC 即

可得到OA 的长度。

3．其他方法研究：

（1）等腰直角三角形相似法：

如图4，我们可以选取一个特殊的时刻，把一根标杆CD 垂直放在地上，当影

子DF 与等于CD 长度时，这样一个等腰直角△CDF 。根据相似三角形的性质，所有等腰三角形都是相似的。此时，利用上面测量OA 的长的方法测量出OA 的长，可以得到OB ＝OA ，也就得到金字塔的高度。

（2）斜放标杆法：

如图5，（1）取PN 的中点A ，连接OA 、AB ，则BO ⊥OA ，AB ⊥PN ，且OA ＝12

MN 。在侧面BPN 上放一根可测量长度的木杆CD （如2米），让CD 与底边PN 垂直，因此△NCD ∽△NBA ，所以DC AB ＝ND NA

。通过测量出ND ，NA 的长就可以得到AB 的长，在Rt △OAB 中，利用勾股定理就可求出金字塔的高度OB 。

（3）平面镜反射法：

如图6，在PN 的垂直平分线AD 上的某处C 放置一面镜子，人沿着AC 方向

后退，通过镜子观察金字塔的塔尖，当恰好从镜子中看到塔尖时，停下来，人的站立位置是DE ，则有△CDE ∽△COB ，测量DE 、CD 的长，利用泰勒斯方法中测

量OA 的方法可以测量图6中的OC 的长度，根据OB DE ＝OC CD

，可求出金字塔的高度OB 。

（4）一根标杆构造相似法：

如图7，在金字塔的底座边PN 的垂直平分线AE 上选择一个点C ，竖立一根

标杆CD ，沿CA 方向后退，直到从A 处看到标杆的顶端D 与金字塔的顶端B 在一条直线上时，可以测量出CD 的长度，CA 的长度，利用前面测量OA 长度的方

F D C 图4 M N Q B

P

A O E M

图6 M N

Q B P A C O D 图5

M N Q B P

A O D

图8 C F E H E 法得到OA 的长度，由△ACD ∽△AOB ，得CD OB ＝AC AO ，于是OB 可以求出。

（5）两根标杆构造两组相似三角形法：

如图8，在金字塔的底座边PN 的垂直平分线AE 上选择一个点C ，竖立一根

标杆CD （长为a ），沿CA 方向后退，直到从A 处看到标杆的顶端D 与金字塔的顶端B 在一条直线上时，测量出AC 的长度m 。在CA 所在直线上确定一点E ，再竖立一根同样长的标杆EF ，直线CA 上找出一点H ，从H 处看到标杆的顶端F 与金字塔的顶端B 在一条直线上，测量出EH 的长度为n ，AE 的长度为b 。由于△ACD ∽△AOB ，得到AC CD ＝AO OB ，即m a ＝AO OB ＝m ＋OC OB

①；由△HEF ∽△HOB ，得到HE EF ＝HO OB ＝EH ＋AE ＋AC ＋OC OB ，即n a ＝n ＋b ＋m ＋OC OB

②，由①和②组合为关于位置数OC 、OB 的方程组，解得到OB 的值。

经过上面对教材一个例题的研究与拓展探索，我们要发现解决问题的方法的多样性，而解决问题的多种方法正是由于我们对知识的综合应用的结果。所以，在学习教材时要细致观察、认真思考、合理探索、及时归纳、拓展应用，在对教材问题的研究中，经历发现数学问题，建立几何模型，研究几何图形，解决实际问题，经历了“情境——建模——解模——验模——拓展”的学习过程。关于测量物体高度的中考问题是比较多的，同学们可以借助上面的方法以及你自己的思考，找出几个中考试题进行演练。 M N Q B

P A

O D 图7 C E