高中数学高考谈关于导数的考查题型

2008年高考谈关于导数的考查题型

河北省井陉一中 梁彦庭

考试内容：1.导数的概念。导数的几何意义。几种常见函数的导数。

2.两个函数的和、差、积、商的导数。复合函数的导数。基本导数公式。

3.利用导数研究函数的单调性和极值、函数的最大值和最小值。

考试要求：1.了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）。掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义。理解导函数的概念。

2.熟记基本导数公式（c,x m (m 为有理数)，sinx,cosx,e x ,a x

,lnx,log a x ）.撑握两个函数的和、差、积、商的求导法则。了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。

3.理解可导函数的单调性与其导数的关系。了解可导函数在某区间取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。

由于导数是新加内容，所以，高考对这一部分是重点考查的，或者单独考查导数的应用或者和其它知识结合起来考查，下面说明：

一.导数在函数中的考查：

利用导数可以判断函数的单调性，求函数的单调区间，求极值和最值等等。这也是高考对这一部分的考查重点。

1、(广东卷)函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为 ( )

（Ａ）(2,)+∞（Ｂ）(,2)-∞（Ｃ）(,0)-∞（Ｄ）(0,2)

解析：()2

'36002f x x x x =-<⇔<<。答案选D 2.（全国卷Ⅰ）函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（） （A ）2 （B ）3

（C ）4 （D ）5 解析'(3)05f a -=∴= 选D

3. (全国卷Ⅱ理)已知a≥ 0 ，函数f(x) = （ 2x -2ax ）x e

(1) 当X 为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；

（2）设 f(x)在[ -1，1]上是单调函数，求a 的取值范围.

解：（I ）对函数()f x 求导数得x e a ax x x x f )222()(2--+='

令,0)(='x f 得［2x +2(1－a )x －2a ］x e =0从而2x +2(1－a )x －2a =0

解得 11,112221++-=+--=a a x a a x

当x 变化时，()f x 、'()f x 的变化如下表

∴在=1处取得极大值，在=2处取得极小值。

当a ≥0时，1x <－1,2x )(,0x f ≥在()21,x x 上为减函数，在),(2+∞x 上为增函数

而当0-x e a x x ，当x=0时，0)(=x f

所以当112++-=a a x 时，)(x f 取得最小值

（II ）当a ≥0时，)(x f 在[]1,1-上为单调函数的充要条件是12≥x

即1112≥++-a a ，解得a 4

3≥ 于是)(x f 在[-1，1]上为单调函数的充要条件是43≥

a 即a 的取值范围是3[,)4

+∞

二.导数在曲线中的考查： 利用导数来求曲线在某一点处的切线，或者确定曲线的最高点和最低点也是高考考查的一个重点。

1. ( 全国卷III)曲线32y x x =-在点（1，1）处的切线方程为x+y-2=0

2. （北京卷）过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切点的坐标为 (1, e )； ，切线的斜率为e ．

3.(全国卷Ⅱ文)设a 为实数,函数.)(23a x x x x f +--= (Ⅰ)求)(x f 的极值. (Ⅱ)当a 在什么范围内取值时,曲线x x f y 与)(=轴仅有一个交点.

解：(I)'()f x =32x －2x －1

若'()f x =0，则x ==－13

，x =1 当x 变化时，'()f x ，()f x 变化情况如下表：

∴()f x 的极大值是()327f a -=+，极小值是(1)1f a =- (II)函数322()(1)(1)1f x x x x a x x a =--+=-++-

由此可知，取足够大的正数时，有()f x >0，取足够小的负数时有()f x <0，所以曲线y =()f x 与x 轴至少有一个交点

结合()f x 的单调性可知：

当()f x 的极大值527a +<0，即5(,)27

a ∈-∞-时，它的极小值也小于0，因此曲线y =()f x 与x 轴仅有一个交点，它在(1，+∞)上。

当()f x 的极小值a －1>0即a ∈(1，+∞)时，它的极大值也大于0，因此曲线y =()

f x 与x 轴仅有一个交点，它在(－∞，－13

)上。 ∴当5(,)27

a ∈-∞-∪(1，+∞)时，曲线y =()f x 与x 轴仅有一个交点。 评析：本题主要考察导函数的概念和计算。第一问考察导函数解决函数问题的工具性作用。第二问在第一问的基础上进一步设计，考察学生应用导函数研究函数性质的方法及推理

运算能力。需要对于函数性质有较深的理解。

三.有关导数的应用题：

1.用长为90cm,宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?

解：设容器的高为x ，容器的体积为V ，

则V=（90-2x ）（48-2x ）x,(0

=4x 3-276x 2+4320x

∵V ′=12 x 2-552x+4320 由V ′=12 x 2-552x+4320=0得x 1=10，x 2=36

∵x<10 时，V ′>0,

10

x>36时，V ′>0,

所以,当x=10,V 有极大值V(10)=1960

又V(0)=0,V(24)=0,

所以当x=10,V 有最大值V(10)=1960

四.有关逆向思维的题目：

若已知函数解析式中含有字母，通过极值和单调区间与导数的关系，找方程（组）来求字母，然后利用导数再解决别的问题，也是高考对这一部分考查的重点。

1.设函数f (x )=2x 3-3(a +1)x 2+6ax +8，其中a ∈R 。

(1) 若f (x )在x =3处取得极值，求常数a 的值；

(2) 若f (x )在(-∞,0)上为增函数，求a 的取值范围。

解：（Ⅰ）).1)((66)1(66)(2--=++-='x a x a x a x x f

因3)(=x x f 在取得极值， 所以.0)13)(3(6)3(=--='a f 解得.3=a

经检验知当3,3()a x f x ==时为为极值点.

（Ⅱ）令12()6()(1)0, 1.f x x a x x a x '=--===得

当),()(,0)(),,1(),(,1

a x f x f a x a -∞>'+∞-∞∈<在所以则若时 和),1(+∞上为增函数，故当01

,()(,0)a f x ≤<-∞时在上为增函数. 当),()1,()(,0)(),,()1,(,1

+∞-∞>'+∞-∞∈≥a x f x f a x a 和在所以则若时 上为增函数，从而]0,()(-∞在x f 上也为增函数.

综上所述，当)0,()(,),0[-∞+∞∈在时x f a 上为增函数.

2.已知函数f (x )=－x 3＋3x 2＋9x ＋a , （I ）求f (x )的单调递减区间；

（II ）若f (x )在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

解：（I ） f ’(x )＝－3x 2＋6x ＋9．令f ‘(x )<0，解得x <－1或x >3，