《概率论与随机过程》第章习题答案

《概率论与随机过程》第一章习题答案

1. 写出下列随机试验的样本空间。

（1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。 解：⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧⨯=n n n

n S 100,

,1

,0 ，其中n 为小班人数。 （2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。解：{}18,,4,3 =S 。

（3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只

}。 AB 表示

1

解：{}Ca Bb Ac Cc Ba Ab Cb Bc Aa Cb Ba Ac Ca Bc Ab Cc Bb Aa S ,,;,,;,,;,,;,,;,,=其中，Aa 表示球a 放

在盒子A 中，余者类推。

（10）测量一汽车通过给定点的速度。解：{}0>=v v S

（11）将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。

解：(){}1,0,0,0,,=++>>>=z y x z y x z y x S 其中，z y x ,,分别表示第一段，第二段，第三段的长度。#

2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。

（1） A 发生，B 与C 不发生。解：C B A

（2） A 与B 都发生，而C 不发生。解：C AB （3） A ，B ，C 都发生。解：ABC

（4） A ，B ，C 中至少有一个发生。解：C B A ⋃⋃ （5） A ，B ，C 都不发生。解：C B A

（6） A ，B ，C 中至多于一个发生。解：A C C B B A ⋃⋃ （7） A ，B ，C 中至多于二个发生。解：C B A ⋃⋃

（8） A ，B ，C 中至少有二个发生。解：CA BC AB ⋃⋃.#

3. 设{

}10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式 （1）B A 。解：{}5=A ；

（2）B A ⋃。解：{}10,9,8,7,6,5,4,3,1=⋃B A ； B A B A

4.5. 81)=，

6. （2）设)(k P 表示有k 个次品的概率，故至少有2个次品的概率为：

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛-=--=∑

=200150019911001400200150020011001)1()0(1)(200

2

P P k P k .# 7.（1）在房间里有500个人，问至少有一个人的生日是10月1日的概率是多少（设一年

以365天计算）？

（2）在房间里有4个人，问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少？

解：（1）属“分房问题”，即有n 个人，每个人都以N 1的概率被分在N 间房中的每一间

中，某指定房间中至少有一人的概率。

设某指定房间中恰有k 个人的概率为)(k P ，则有

()k

n k n

k n N N N k n N N k n k P --⎪

⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111)(。故，某指定房间中至少有一人的概率为：

n

n k N N P k P ⎪

⎭⎫

⎝⎛--=-=∑

=11)0(1)(1

。

所以，500个人中至少有一个人的生日是10月1日的概率为：

（2） 属“分房问题”，即有n 个人，每个人都以N 1的概率被分在N 间房中的每一间

中，至少有二个人在同一间房中的概率。 设A 为“每一间房中至多有一个人”

n 8. （29. 28.0，10.（2） 二只都是次品。

（3） 一只是正品，一只是次品。 （4） 第二次取出的是次品。

解：(1)4528

106!2!2!8!821028=⨯⨯⨯⨯=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛！！； (2) 451

10!2!821022=⨯=⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛！；

(3) 451610!2!8282101218=⨯⨯⨯=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛！；或45169810292108=⨯+⨯； (4)

45

9

9110292108=

⨯+⨯。#

11.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所

需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？

解：(1)3.010!7!37!2!!931029=⨯⨯⨯=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛！; (2)6.05!

2!32!2!!43524=⨯⨯⨯=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛！。# 12.某工厂中，机器321,,B B B 分别生产产品总数的25%，35%和40%。它们生产的产品中分

别有5%，4%，2%的次品，将这些产品混在一起，今随机地取一只产品，发现是次品。问这一次品是机器321,,B B B 生产的概率分别是多少？ 解：设A 为“次品”，

已知：25.0)(1=B P ，35.0)(2=B P ，40.0)(3=B P ；

13.，而

31/=。

14.p ，

15.0.7。飞机击中一次而被击落的概率为0.2，击中二次而被击落的概率为0.6，若被击中三次则飞机必然被击落，求射击三次而击落飞机的概率。

解:设i A ：为第i 次射击命中飞机；i B ：飞机击中i 次而被击落。C ：射击三次而击落飞机

458.014.0246.0072.014.0)21.014.006.0(6.0)21.009.006.0(2.0=++=++++++=。#

16. 一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取三只。以X 表示取出的

三只球中的最大号码，写出随机变量X 的概率质函数。

解： ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛-=3521x x p