第十一章 曲线积分与曲面积分

第十一章 曲线积分与曲面积分

一、基本要求

（1） 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 （2） 掌握计算两类曲线积分的方法。

（3） 熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原

函数。

（4） 了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积

分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。

（5） 知道散度与旋度的概念，并会计算。

（6） 会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。 二、 教学重点

（1） 两类曲线积分的计算方法； （2） 格林公式及其应用； （3） 两类曲面积分的计算方法； （4） 高斯公式、斯托克斯公式；

（5） 两类曲线积分与两类曲面积分的应用。 三、 教学难点

（1） 两类曲线积分的关系及两类曲面积分的关系； （2） 对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算； （3） 应用格林公式计算对坐标的曲线积分； （4） 应用高斯公式计算对坐标的曲面积分； （5） 应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。 四、释疑解难

问题11.1 如何认识多元函数的几种积分的定义？

答：多元函数的几种积分的定义可以用统一形式给出，统称为几何形体上的积分：

1

()lim ()n

i

i

i G

f P dP f P P λ

→==∆∑⎰，其中i

P ∆是将积分区域G 任意分割为n 块后的任一块(1,2

,)i n =，i P 为i P ∆内的任一点，{}max i i

P λ=∆，它是定积分的推广。

若G 为平面域D ，则是二重积分

(,)D

f x y d σ⎰⎰。

若G 为空间区域Ω，则是三重积分

(,,)f x y z dv Ω

⎰⎰⎰。

若G 为曲线弧L ，则是对弧长的曲线积分(,)L

f x y ds ⎰。

若G 为曲面∑，则是对面积的曲面积分

(,,)f x y z dS ∑

⎰⎰。

另外 还有对坐标的曲线积分(cos cos )L

L

Pdx Qdy P Q ds αβ+=+⎰⎰

其中,αβ为有向曲线弧L 的切向量的方向角。 对坐标的曲面积分

(cos cos cos )Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dS αβγ∑

∑

++=++⎰⎰⎰⎰，

其中,,αβγ为有向曲面∑的法向量的方向角。

问题11.2 如何正确理解两类曲线积分和曲面积分的概念？

答：由于实际需要，曲线积分与曲面积分为两种类型，有关质量﹑重心﹑转动惯量等数量积分问题导出第一类线面积分；有关变力作功、流体流过曲面的流量等向量问题导出第二类线、面积分。前者被积函数化为数量函数沿区域积分，无需考虑方向性，而后者被积函数是向量函数，必须考虑方向。因此，一个函数的积分可以由积分区域的有向或无向分为两种类型的积分，在所学过的积分中：

区域无向的积分有：重积分﹑第一类曲线积分和第一类曲面积分； 区域有向的积分有：定积分﹑第二类曲线积分和第二类曲面积分。

曲线的方向是由起点到终点（定积分）或切向量的方向来确定，曲面的方向则由曲面上点的法向量所指向的侧来确定。

我们常会把两类积分相互转换，转换时必须注意符号，它体现了有向积分的方向。将无向域的积分化为有向域的积分，如重积分化为累次积分（定积分），方向性体现为定积分的上﹑下限的确定，而将有向域的积分化为无向域的积分，如第二型曲面积分化为二重积分或三重积分，第二型曲线积分化为二重积分等，必须注意符号的确定问题。 问题11.3 应用格林公式时应注意什么问题？

答：应用格林公式应注意以下几点：

1．必须注意格林公式的条件是否满足，否则，就会出现错误。 例如，设⎰+-=

L y

x ydx xdy I 22，其中L 为22

1x y +=取正向，若按如下解法： 2222

,y x

P Q x y x y -==++,

22222()Q y x P

x x y y

∂-∂==∂+∂, 由格林公式，得

0D Q P I dxdy x y ⎛⎫

∂∂=

-= ⎪∂∂⎝

⎭⎰⎰ 而事实上 π2)11(22=+=-=+-=

⎰⎰⎰⎰dxdy ydx xdy y x ydx

xdy I D

L L 。 上述前一种解法是错误的，因为

,Q P

x y

∂∂∂∂在(0,0)不连续，而(0,0)D ∈，故不满足格林公式的条件，不能直接应用格林公式。

2．格林公式对复连通区域D ，结论也成立，但L 必须是D 的所有边界曲线取正向。 曲线正向的规定：沿D 的边界曲线正向前进，区域D 总在其左侧。

例如，⎰+-=

L y

x ydx xdy I 22，其中L 是D ：22

14x y ≤+≤的正向边界曲线，如图，L 的正向为2

2

4x y +=的逆时针和

221x y +=的顺时针方向。

因为

Q P

x y

∂∂=∂∂，(,)x y D ∈， 故由格林公式，得 0D Q P I dxdy x y ⎛⎫

∂∂=

-= ⎪∂∂⎝

⎭⎰⎰。 问题11.4 设L 为椭圆22

14y x +=，l 为圆周221

2

x y += 均为逆时针方向，问下列积分的计算是否正确？

π5542442

1

222222==-=+-=+-⎰⎰⎰⎰⎰≤

+y x L

l L dxdy ydx xdy y x ydx

xdy y x ydx xdy 。

答：不正确。因为当2

2

0x y +≠时，2222222222

4()

,()()Q y x P y x x x y y x y ∂-∂-==∂+∂+ 故在L 与l 围成的区域D 中，

Q P

x y ∂∂≠∂∂，因此⎰⎰+-≠+-l

L y x ydx xdy y x ydx xdy 222244。 正确的解法是利用L 的参数方程：cos ,2sin ,x t y t ==t 从0变到2π，

πππ42sin 4cos sin 8cos 242020222

222==++=+-⎰⎰⎰dt dt t t t t y x ydx xdy L

。 注：将曲线积分⎰+L

Qdy Pdx 改变为另一路径l 上的积分⎰

+l

Qdy Pdx ，一定要检查条件

Q P

x y

∂∂=∂∂是否在L 与l 所围成的区域内成立，且L 与l 方向要一致。 问题11.5计算积分

dxdy z dzdx y dydz x 333++⎰⎰∑

，∑为球面：2

222x

y z R ++=的外侧。

下面作法是否正确：

dxdy z dzdx y dydz x 3

33++⎰⎰

∑=222253()34x y z dv R dv R πΩΩ

++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰。 答：这个作法不正确，错在三重积分的计算，像这样的错误，一不注意就会发生。因为给出的是∑上的曲面积分，在∑上x ﹑y ﹑z 应满足方程2

2

2

2

x y z R ++=，这是对的。但