李戬 《与切线相关的证明与计算》教学设计

《与切线相关的证明与计算》教学设计教学内容：

人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》九年级上册第24章第2单元“直线和圆的位置关系”中与切线相关的证明与计算。

内容分析：

本节课主要内容是切线性质的综合应用，是对本单元内容的巩固与延伸，主要题型是与切线相关的证明与计算，通过对题目条件及结论的变化，对学生进行变式训练，让学生学会思考，学会清楚地表达思考过程，进一步培养学生的合情推理和演绎推理能力。

学情分析：

学生虽然经过了七、八年级的学习，但在研究几何图形的方法和合情推理方面还存在欠缺，因此，本节课的学习可以引导学生去讨论、交流，归纳添加与切线相关的辅助线的规律和方法。另外，由于本节课涉及的知识面较广，引导学生回顾和应用相关知识，也是教师应特别关注的问题之一。

教学目标：

1、理解切线的性质定理，掌握几种常用辅助线的添加方法，

能综合运用所学知识进行相关的证明与计算。

2、通过对例（习）题的精心加工改造，变式训练，培养学生的合情推理能力。

3、培养学生积极主动思考的学习习惯，养成良好的个性思维品质。

教学重点、难点：

1、重点是结合图形运用切线的性质定理及相关知识解题。

2、难点是灵活运用知识进行相关的证明和计算。

教学策略：

这节课运用引导发现法、讨论法，通过例（习）题的拓展延伸，变式训练，采用教师引导、学生自主探索和小组合作交流相结合的学习方式，借助多媒体辅助教学，使学生对这一知识有一个以直观为背景的了解。

教学准备：

老师准备多媒体课件，与切线相关的参考资料。

学生在课前搜集有关切线问题的资料。

教学过程：

一、知识再现，练习自查

1.什么样的线是切线？

2.切线有何性质？ 二、问题呈现，启导探究

1.如图1，⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为30°，过点C 切线交AB 的延长线于点P,则∠P=_______；若AB=10,则BP=____。

点拨：连OC ，

则OC ⊥CP, ∠COP=60°.∴∠P=30°

OP=2OC=AB=10 ∴BP=5

2.如图-2，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，过点C 的切线交AB 的延长线于点P ，AD ⊥PC 于D 。求证：AC 平分∠BAD 。

点拨：连OC ，则OC ⊥PC

∵AD ⊥PC ∴AD ∥OC

P

图-1

A

P

图-2

∴∠1=∠2

∵∠1=∠3

∴∠2=∠3

∴OC平分∠BAD

方法小结：“有点连圆心”。

3．如图-3，连BC，其他条件不变。若AB=5,BC=3,

求AD的长。

点拨：易证△ACD～△ABC

图-3

∴AC:AB=AD:AC

2

AC16

AD==

∴

AB5

方法小结“遇到直径想到直角”。

4.如图4，在第3题的基础上，添加条件BE⊥PC于E,CF⊥AB 于F.

求证：（1）C是DE的中点；

（2）AD、BE是关于x的一元二次方程220

x ABx CF

-+=的两根；

（3）2PC PA PB =∙。

点拨：（1）易证AC 、BC 分别平分∠BAD 、∠ABE. ∴CD=CF=CE ，即C 是DE 的中点。

(2) 由△ACD ≌△ACF, △BCE ≌△BCF 得:AD=AF,BE=BF ∴AB=AD+BE 由△ACF ～△CBF 得

2CF AF BF AD BE =∙=∙

根据韦达定理可得结论。

（3）用勾股定理或相似三角形都可证得结论。

三、深度探究，引申思考

5.如图-5，把上题中的直径AB 换成弦，哪些结论还成立？请简要说明。

点拨：只有22,CF AD BE PC PA PB =∙=∙成立，作直径CG,连AG.

易证∠1=∠2=∠3

∴△BCF ～△CAD ∴CF:AD=BC:AC

A

P

图-4

同理可证：BC:AC=BE:CF

∴2::,CF AD BE CF CF AD BE =∴=∙

四、课堂总结

1.今天主要复习了什么内容？

2.你有何收获？

辅助线的添加方法：遇切线想半径，连半径找垂直。 五、课后作业

如图-6△ABC 中，AB=AC,AE 是角平分线，点O 在AB 上，⊙O 切AE 于M,分别交AB 、BC 于F 、G.

（1）求证：BM 平分∠ABC

（2）当BC=4,cosC=1/3时，求BM 的长。

A

P

图-5