随机变量函数的概率密度
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（C。11）
其中
∂x1 ∂xn .... ∂y1 ∂y1 ∂ ( x1, x 2,..., xn ) = : J= : ∂ ( y1, y 2,..., yn ) ∂x1 ∂xn ... ∂yn ∂yn
（C。8）
+pX1X2(x13，x23)
∂ ( x13, x 23 ) +… ∂ ( y1, y 2 )
（C。9）
，则有 如果（Y1，Y2）和（X1，X2）之间为一一对应关系（单值函数） pY1Y2 (y1，y2)=pX1X2(x11，x21) ∂ ( x1, x 2 ) ∂ ( y1, y 2 ) （C。10）
随机变量函数的概率密度
已知随机变量 X1、X2 的联合概率密度 P X1，X2（x1，x2） ，且随机变量 Y1、Y2 为 X1，X2 的函数： Y1=f1（X1，X2） Y2=f2（X1，X2） （C。1） 反函数为多值函数： X1= ϕ 1（Y1，Y2） X2= ϕ 2（Y1，Y2） 具有若干多值区： X1= ϕ 11（Y1，Y2） X2= ϕ 12（Y1，Y2） X1= ϕ 21（Y1，Y2） X2= ϕ 22（Y1，Y2） （C。3） （C。2）
平面（x1，x2）和（y1，y2）的对应关系于附图 C.1，附图 C.2。
附图 C.1
附图 C.2
由附图 C.1、附图 C.2 和式（C。1） 、式（C。2） 、式（C。3）可见，概率 P[A（y1，y2）∈dS]= P[B（x1，x2）∈dS1 或 B（x1，x2）∈dS2 或 B（x1，x2）∈dS3……] 根据不相容事件概率相加法，则有 P[A（y1，y2）∈dS]= P[B（x1，x2）∈dS1+ B（x1，x2）∈dS2 +B（x1，x2）∈dS3+…] （C。4） 由式（C。4）得 pY1Y2 (y1，y2)dS=pX1X2(x11，x21) dS1+ pX1X2(x12，x22) dS2+ pX1X2(x13，x23) dS3+… （C。5） dS 1 dS 2 + pX1X2(x12，x22) + pY1Y2 (y1，y2)=pX1X2(x11，x21) dS dS dS 3 pX1X2(x13，x23) +… （C。6） dS 由数学理论可知，平面（x1，x2）上的小面积 dSK 与平面（y1，y2）上的对应小 面积 dS 之比称为雅可比，通常以 J 表示。
∂x1 dSK ∂y1 J= = ∂x1 dS ∂y 2 且有
∂x 2 ∂ ( x1, x 2 ) ∂y1 = ∂x 2 ∂ ( y1, y 2 ) ∂y 2
（C。7）
∂ ( x1, x 2 ) 1 = ( 1, y 2 ) ∂ y ∂ ( y1, y 2 ) ∂ ( x1, x 2 ) 根据式（C。6）和（C。7）式得 pY1Y2 (y1，y2)=pX1X2(x11，x21) ∂ ( x11, x 21) ∂ ( y1, y 2 ) + pX1X2(x12，x22) ∂ ( x12, x 22 ) ∂ ( y1, y 2 )
= pX2X1 [( x1( y1, y 2 ), x 2( y1, y 2 ))] J
一般情况，如果（Y1，Y2, …,Yn）与（X1，X2,…Xn）之间为一一对应关系（单 值函数） ，则
pY 1Y 2......Yn( y1, y 2,..., yn ) = pX 1 X 2... Xn( x1, x 2,..., xn ) J
（C。11）
其中
∂x1 ∂xn .... ∂y1 ∂y1 ∂ ( x1, x 2,..., xn ) = : J= : ∂ ( y1, y 2,..., yn ) ∂x1 ∂xn ... ∂yn ∂yn
（C。8）
+pX1X2(x13，x23)
∂ ( x13, x 23 ) +… ∂ ( y1, y 2 )
（C。9）
，则有 如果（Y1，Y2）和（X1，X2）之间为一一对应关系（单值函数） pY1Y2 (y1，y2)=pX1X2(x11，x21) ∂ ( x1, x 2 ) ∂ ( y1, y 2 ) （C。10）
随机变量函数的概率密度
已知随机变量 X1、X2 的联合概率密度 P X1，X2（x1，x2） ，且随机变量 Y1、Y2 为 X1，X2 的函数： Y1=f1（X1，X2） Y2=f2（X1，X2） （C。1） 反函数为多值函数： X1= ϕ 1（Y1，Y2） X2= ϕ 2（Y1，Y2） 具有若干多值区： X1= ϕ 11（Y1，Y2） X2= ϕ 12（Y1，Y2） X1= ϕ 21（Y1，Y2） X2= ϕ 22（Y1，Y2） （C。3） （C。2）
平面（x1，x2）和（y1，y2）的对应关系于附图 C.1，附图 C.2。
附图 C.1
附图 C.2
由附图 C.1、附图 C.2 和式（C。1） 、式（C。2） 、式（C。3）可见，概率 P[A（y1，y2）∈dS]= P[B（x1，x2）∈dS1 或 B（x1，x2）∈dS2 或 B（x1，x2）∈dS3……] 根据不相容事件概率相加法，则有 P[A（y1，y2）∈dS]= P[B（x1，x2）∈dS1+ B（x1，x2）∈dS2 +B（x1，x2）∈dS3+…] （C。4） 由式（C。4）得 pY1Y2 (y1，y2)dS=pX1X2(x11，x21) dS1+ pX1X2(x12，x22) dS2+ pX1X2(x13，x23) dS3+… （C。5） dS 1 dS 2 + pX1X2(x12，x22) + pY1Y2 (y1，y2)=pX1X2(x11，x21) dS dS dS 3 pX1X2(x13，x23) +… （C。6） dS 由数学理论可知，平面（x1，x2）上的小面积 dSK 与平面（y1，y2）上的对应小 面积 dS 之比称为雅可比，通常以 J 表示。
∂x1 dSK ∂y1 J= = ∂x1 dS ∂y 2 且有
∂x 2 ∂ ( x1, x 2 ) ∂y1 = ∂x 2 ∂ ( y1, y 2 ) ∂y 2
（C。7）
∂ ( x1, x 2 ) 1 = ( 1, y 2 ) ∂ y ∂ ( y1, y 2 ) ∂ ( x1, x 2 ) 根据式（C。6）和（C。7）式得 pY1Y2 (y1，y2)=pX1X2(x11，x21) ∂ ( x11, x 21) ∂ ( y1, y 2 ) + pX1X2(x12，x22) ∂ ( x12, x 22 ) ∂ ( y1, y 2 )
= pX2X1 [( x1( y1, y 2 ), x 2( y1, y 2 ))] J
一般情况，如果（Y1，Y2, …,Yn）与（X1，X2,…Xn）之间为一一对应关系（单 值函数） ，则
pY 1Y 2......Yn( y1, y 2,..., yn ) = pX 1 X 2... Xn( x1, x 2,..., xn ) J