946605234_2014310281_606083_第一次实验作业 (1)
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构造a0=[1:998,-1,-2]，A的对角线元素为a0。对比Lanczos过程和MINRES方法的残差曲线。
3.A只有4个负特征值
构造a0=[1:996,-1:-1:-4]，A的对角线元素为a0。对比Lanczos过程和MINRES方法的残差曲线。
4.A只有10个负特征值
构造a0=[1:990,-1:-1:-10]，A的对角线元素为a0。对比Lanczos过程和MINRES方法的残差曲线。
高等数值分析第一次实验作业
张帅2014310281
一．构造例子说明CG的数值性态。当步数=阶数时CG的解如何？当A的最大特征值远大于第二个最大特征值，最小特征值远小于第二个最小特征值时方法的收敛性如何？
构造对角元素分别为linspace（1，1000，1000），linspace（1，100，1000），linspace（1，10，1000）的对角1000阶矩阵M1，M2，M3，取1000维随机单位向量为w，，则H=I-w 为单位正交阵，A=HM 为对称正定阵。
整个MINRES方法残差的收敛曲线光滑不存在峰点，且单调下降，但是在Lanczos出现近似中断也就是尖峰位置，MINRES在这一位置收敛速度减缓，离开这一位置后又迅速收敛。两种方法对比，MINRES法比Lanczos法收敛稍快，单调下降，无尖峰，数值性态综合来讲比Lanczos好。
5.A只有5个负特征值
构造a0=[1:995,-11:-1:-15]，A的对角线元素为a0。对比Lanczos过程和MINRES方法的残差曲线。
6.A只有5个负特征值
构造a0=[1:995,-101:-1:-105]，A的对角线元素为a0。Hale Waihona Puke Baidu比Lanczos过程和MINRES方法的残差曲线。
7.A只有5个负特征值
构造a0=[1:995,-1001:-1:-1005]，A的对角线元素为a0。对比Lanczos过程和MINRES方法的残差曲线。
8.A只有5个负特征值
构造a0=[1:995,-1:-10:-41]，A的对角线元素为a0。对比Lanczos过程和MINRES方法的残差曲线。
9.A只有5个负特征值
构造a0=[1:995,-101:-10:-141]，A的对角线元素为a0。对比Lanczos过程和MINRES方法的残差曲线。
总结：由结果可知，迭代次数随不同特征值个数增加单调递增。且迭代次数不大于不同特征值的个数。
四．取初始近似解为零向量，右端项b仅由A的m个不同特征向量的线性组合表示时，Lanczos方法的收敛性如何？数值计算中方法的收敛性和m的大小关系如何？
取矩阵A阶数为1000，b是eig求出的A的前m个特征向量的加和。设计不同的A，阶数相同但特征值分布不同。对于每个A，考察Lanczos方法的收敛情况。 。
取b= ， ，对方程Ax=b用CG法求解，得到迭代次数与残差范式对数值之间关系如图所示。
由图可知，当矩阵A的特征值线性分布时，忽略掉轻微的波动，其残差随迭代次数基本成线性关系，而且收敛很快，条件数越小，收敛越快，收敛过程中震荡越小。
现在构造条件数相同的矩阵A和B，A的特征值为linspace（1e-4,1e4,1000）,B特征值为linspace（1,10,1000），然后将最小和最大特征值分别换为1e-4和1e4。得到结果如下图。由图可知，当矩阵条件数相同时，特征值分布对收敛速度有很大影响，当特征值均匀分布时，收敛速度最快，当特征值分布不均匀程度增加时，收敛速度降低。
三．当矩阵A只有m个不同特征值时，对于大的m和小的m，观察有限精度下Lanczos方法如何收敛。
取矩阵A为1000阶，x0为零向量，b为向量 。设计不同的A，阶数相同但特征值分布不同。对于每个A，考察Lanczos方法的收敛情况。 。
m（m0中的每个元素）设A的不同特征值的个数分别为10,100,200,1000，每个特征值有1000/m重。对于不同的m考察Lanczos过程的收敛情况，结果如下图。
1.A的特征值线性分布
m0=linspace(10,1000,11)，对于不同的m（m0的不同元素）考察。a0=linspace(1,1000,1000)，A对角线元素是a0。
2.A的特征值指数分布。
m0=linspace(10,1000,11)，对于不同的m（m0中的每个元素）考察收敛情况。a0=logspace(0,3,1000)，A对角线元素是a0。
五．构造对称不定的矩阵，验证Lanczos方法的近似中断，观察收敛曲线中的峰点个数和特征值的分布关系；观察当出现峰点时，MINRES方法的收敛性态怎样。
1.A只有1个负特征值
构造a0=[1:999,-1]，A的对角线元素为a0。对比Lanczos过程和MINRES方法的残差曲线。
2.A只有2个负特征值
二．对于同样的例子，比较CG和Lanczos的计算结果。
构造特征值线性分布（linspace（1,10,1000））、（linspace（1,100,1000））、（linspace（1,100,1000））的正定矩阵，分别用CG和LANCZOS方法计算。结果如图所示。
由结果可知，当矩阵A对称正定时，CG方法和Lanczos方法的结果是基本相同的，这是因为CG方法与Lanczos方法都是K空间上的Galerkin投影，当矩阵A对称正定时，两种方法等价。但当矩阵A对称不定时，对角元素依次为[linspace(1,999,999), -1000]，其结果如下图。对于两种算法，问题病态时，由于Tk近似奇异时，求得的 很大， 和 都会很大，就形成了峰点， 很小时， 可能很大，表现为振荡十分剧烈。问题良态时，基本无振荡，曲线绝大部分都十分平滑。问题不定时出现可数的几个尖峰，最优性丧失，相对残差不是单调下降的。可以认为两种算法残差曲线存在振荡幅度的不同，但其基线几乎相同。
10.A只有5个负特征值
构造a0=[1:995,-1001:-10:-1041]，A的对角线元素为a0。对比Lanczos过程和MINRES方法的残差曲线。
总结：当矩阵对称不定时，Lanczos方法存在近似中断，也就是尖峰的位置，但整体趋势残差减小，得到的近似解收敛。峰点个数与负特征值个数、间距、量级有关，负特征值间距和量级一定，个数越多，峰点个数也越多：负特征值个数和量级一定，间距越大，峰点个数越多；负特征值个数和间距一定，量级越大，峰点个数越多。
总结：对于线性分布的情况，b是A前m个特征向量的加和，迭代次数随m增大而增大，曲线斜率随m增大而减小，且对于不同的m，迭代次数 m。对于指数分布的情况，残差曲线依然比较平滑，在对数坐标系下非常接近一条直线（对数坐标下），迭代次数 m，且迭代次数随m增大而增大，与线性分布不同的是，曲线斜率随m增大而增大。
3.A只有4个负特征值
构造a0=[1:996,-1:-1:-4]，A的对角线元素为a0。对比Lanczos过程和MINRES方法的残差曲线。
4.A只有10个负特征值
构造a0=[1:990,-1:-1:-10]，A的对角线元素为a0。对比Lanczos过程和MINRES方法的残差曲线。
高等数值分析第一次实验作业
张帅2014310281
一．构造例子说明CG的数值性态。当步数=阶数时CG的解如何？当A的最大特征值远大于第二个最大特征值，最小特征值远小于第二个最小特征值时方法的收敛性如何？
构造对角元素分别为linspace（1，1000，1000），linspace（1，100，1000），linspace（1，10，1000）的对角1000阶矩阵M1，M2，M3，取1000维随机单位向量为w，，则H=I-w 为单位正交阵，A=HM 为对称正定阵。
整个MINRES方法残差的收敛曲线光滑不存在峰点，且单调下降，但是在Lanczos出现近似中断也就是尖峰位置，MINRES在这一位置收敛速度减缓，离开这一位置后又迅速收敛。两种方法对比，MINRES法比Lanczos法收敛稍快，单调下降，无尖峰，数值性态综合来讲比Lanczos好。
5.A只有5个负特征值
构造a0=[1:995,-11:-1:-15]，A的对角线元素为a0。对比Lanczos过程和MINRES方法的残差曲线。
6.A只有5个负特征值
构造a0=[1:995,-101:-1:-105]，A的对角线元素为a0。Hale Waihona Puke Baidu比Lanczos过程和MINRES方法的残差曲线。
7.A只有5个负特征值
构造a0=[1:995,-1001:-1:-1005]，A的对角线元素为a0。对比Lanczos过程和MINRES方法的残差曲线。
8.A只有5个负特征值
构造a0=[1:995,-1:-10:-41]，A的对角线元素为a0。对比Lanczos过程和MINRES方法的残差曲线。
9.A只有5个负特征值
构造a0=[1:995,-101:-10:-141]，A的对角线元素为a0。对比Lanczos过程和MINRES方法的残差曲线。
总结：由结果可知，迭代次数随不同特征值个数增加单调递增。且迭代次数不大于不同特征值的个数。
四．取初始近似解为零向量，右端项b仅由A的m个不同特征向量的线性组合表示时，Lanczos方法的收敛性如何？数值计算中方法的收敛性和m的大小关系如何？
取矩阵A阶数为1000，b是eig求出的A的前m个特征向量的加和。设计不同的A，阶数相同但特征值分布不同。对于每个A，考察Lanczos方法的收敛情况。 。
取b= ， ，对方程Ax=b用CG法求解，得到迭代次数与残差范式对数值之间关系如图所示。
由图可知，当矩阵A的特征值线性分布时，忽略掉轻微的波动，其残差随迭代次数基本成线性关系，而且收敛很快，条件数越小，收敛越快，收敛过程中震荡越小。
现在构造条件数相同的矩阵A和B，A的特征值为linspace（1e-4,1e4,1000）,B特征值为linspace（1,10,1000），然后将最小和最大特征值分别换为1e-4和1e4。得到结果如下图。由图可知，当矩阵条件数相同时，特征值分布对收敛速度有很大影响，当特征值均匀分布时，收敛速度最快，当特征值分布不均匀程度增加时，收敛速度降低。
三．当矩阵A只有m个不同特征值时，对于大的m和小的m，观察有限精度下Lanczos方法如何收敛。
取矩阵A为1000阶，x0为零向量，b为向量 。设计不同的A，阶数相同但特征值分布不同。对于每个A，考察Lanczos方法的收敛情况。 。
m（m0中的每个元素）设A的不同特征值的个数分别为10,100,200,1000，每个特征值有1000/m重。对于不同的m考察Lanczos过程的收敛情况，结果如下图。
1.A的特征值线性分布
m0=linspace(10,1000,11)，对于不同的m（m0的不同元素）考察。a0=linspace(1,1000,1000)，A对角线元素是a0。
2.A的特征值指数分布。
m0=linspace(10,1000,11)，对于不同的m（m0中的每个元素）考察收敛情况。a0=logspace(0,3,1000)，A对角线元素是a0。
五．构造对称不定的矩阵，验证Lanczos方法的近似中断，观察收敛曲线中的峰点个数和特征值的分布关系；观察当出现峰点时，MINRES方法的收敛性态怎样。
1.A只有1个负特征值
构造a0=[1:999,-1]，A的对角线元素为a0。对比Lanczos过程和MINRES方法的残差曲线。
2.A只有2个负特征值
二．对于同样的例子，比较CG和Lanczos的计算结果。
构造特征值线性分布（linspace（1,10,1000））、（linspace（1,100,1000））、（linspace（1,100,1000））的正定矩阵，分别用CG和LANCZOS方法计算。结果如图所示。
由结果可知，当矩阵A对称正定时，CG方法和Lanczos方法的结果是基本相同的，这是因为CG方法与Lanczos方法都是K空间上的Galerkin投影，当矩阵A对称正定时，两种方法等价。但当矩阵A对称不定时，对角元素依次为[linspace(1,999,999), -1000]，其结果如下图。对于两种算法，问题病态时，由于Tk近似奇异时，求得的 很大， 和 都会很大，就形成了峰点， 很小时， 可能很大，表现为振荡十分剧烈。问题良态时，基本无振荡，曲线绝大部分都十分平滑。问题不定时出现可数的几个尖峰，最优性丧失，相对残差不是单调下降的。可以认为两种算法残差曲线存在振荡幅度的不同，但其基线几乎相同。
10.A只有5个负特征值
构造a0=[1:995,-1001:-10:-1041]，A的对角线元素为a0。对比Lanczos过程和MINRES方法的残差曲线。
总结：当矩阵对称不定时，Lanczos方法存在近似中断，也就是尖峰的位置，但整体趋势残差减小，得到的近似解收敛。峰点个数与负特征值个数、间距、量级有关，负特征值间距和量级一定，个数越多，峰点个数也越多：负特征值个数和量级一定，间距越大，峰点个数越多；负特征值个数和间距一定，量级越大，峰点个数越多。
总结：对于线性分布的情况，b是A前m个特征向量的加和，迭代次数随m增大而增大，曲线斜率随m增大而减小，且对于不同的m，迭代次数 m。对于指数分布的情况，残差曲线依然比较平滑，在对数坐标系下非常接近一条直线（对数坐标下），迭代次数 m，且迭代次数随m增大而增大，与线性分布不同的是，曲线斜率随m增大而增大。