《运筹学的原理与方法》课后习题答案

不是基可行解．
③
ｐ1
，ｐ
4
线性无关，取
Ｂ
2
＝（ ｐ 1
，ｐ
4
）＝
2,0 1,1
为一个基
则 ｘ 1，ｘ 4 为基变量，ｘ 2 ，ｘ 3 为非基变量，令 ｘ 2 ＝ｘ 3 ＝０，代入约束方程解得： ｘ 1＝３，
ｘ 4 ＝３
所以 Ｘ (2) ＝（３，０，０，３） T 为对应基 Ｂ 2 的一个基本解，由于它的基变量取值非负，因 而也是基可行解，此时 Ｚ＝９．
《运筹学的原理与方法》习题答案
第一章习题
１．
（１）设决策变量
ｘ 1
，ｘ
2
分别表示生产产品
Ａ，Ｂ
的产量，则此问题的数学模型可归结为：
求 ｘ 1，ｘ 2 ，使得
ｍａｘＺ＝５５０ｘ 1＋２００ｘ 2 ；
ｓ．ｔ．
7 4
ｓ．ｔ． 12..00xx11
+ 1.5x2 + 1.2x2
+ +
4.0x3 1.0x3
≤ 2000 ≤ 1000
200 ≤ x1 ≤ 250,250 ≤ x2 ≤ 280,100 ≤ x3 ≤120
（３）设决策变量 ｘ 表示第 ｊ 种合金的用量（ｊ＝１，２，…，５），则此问题的数学模型可归结 j
ｍａｘＺ＝（５０－１５）＊１０ｘ 11 ＋（１００－２５）＊２０ｘ 21 ＋（４５－１０）＊１０ｘ 32 －２００（ｘ 11 ＋ｘ 21 ）
－１００（ｘ12 ＋ｘ 32 ）－２００（ｘ 23 ＋ｘ 33 ）
4x1x121==2
x12 x23

x
32
=
2 x33
ｓ．ｔ． x11 + x21 ≤ 50
设决策变量 ｘ j 表示采用 Ｂ j 种方案下料的根数，则此问题的数学模型可归结为：求 ｘ j （ｊ＝１，２，…，ｎ），使得
2
n
∑ ｍｉｎＺ＝ x j ； j=1
ｓ．ｔ．
aaa132111xxx111
+ + +
a12 x2 a 22 x 2 a32 x2
+ ... + a1n xn ≥ 200 + ... + a2n xn ≥ 200 + ... + a3n xn ≥ 600
方案
Ｂ1
Ｂ2
…
Ｂn
需要根数
１．５７ｍ
…
２００
ａ11
ａ12
ａ1n
１．４５ｍ
…
２００
ａ 21
ａ 22
ａ 2n
１．３ｍ
…
６００
ａ 31
ａ 32
ａ 3n
０．３５ｍ
…
１２００
ａ 41
ａ 42
ａ 4n
6
不是基可行解．
⑥
ｐ
3
，ｐ
4
线性无关，取
Ｂ
5
＝（ ｐ
3
，ｐ
4
）＝
1,0 0,1
为一个基
则 ｘ 3 ，ｘ 4 为基变量，ｘ 1，ｘ 2 为非基变量，令 ｘ1＝ｘ 2 ＝０，代入约束方程解得： ｘ 3 ＝６，
ｘ 4 ＝６
所以 Ｘ (5) ＝（０，０，６，６） T 为对应基 Ｂ 5 的一个基本解，由于它的基变量取值非负，因
x1 x1
+ +
6x2 2x2
≤ 42 ≤16
x1, x2 ≥ 0
（２）设决策变量
ｘ 1
，ｘ
2
，ｘ 分别表示
3
Ａ，Ｂ，Ｃ
三种产品的月需求量，则此问题的数学模型可
归结为：求 ｘ 1，ｘ 2 ，ｘ 3 ，使得
ｍａｘＺ＝１０ｘ 1＋１４ｘ 2 ＋１２ｘ 3 ；
②
ｐ
1
，ｐ
3
线性无关，取
Ｂ
1
＝（ ｐ
1
，ｐ
3
）＝
2,1 1,0
为一个基
则 ｘ 1，ｘ 3 为基变量，ｘ 2 ，ｘ 4 为非基变量，令 ｘ 2 ＝ｘ 4 ＝０，代入约束方程解得： ｘ 1＝６，
ｘ 3 ＝－６
所以 Ｘ (1) ＝（６，０，－６，０） T 为对应基 Ｂ1的一个基本解，由于它的基变量 ｘ 3 ﹤ 0 ，因而
2x 2 +x
+ 2-
x
' 3
3x
-
' 3
x
'' 3
=4
+
3x
'' 3
+
x4
=
6

x
' 1
,
x
2
,
x
' 3
,
x
'' 3
≥0
３． （１）在 ｘ 1ｏｘ 2 坐标平面作直线
ｌ 1： ２ｘ 1＋５ｘ 2 ＝６０
ｌ 2 ： ｘ 1＋ｘ 2 ＝１８
ｌ 3 ： ３ｘ 1＋ｘ 2 ＝４４
其等值线为：２ｘ 1＋ｘ 2 ＝ｋ
此时

x1*
x
* 2
= =
13 5
为最优解，Ｚ *
＝３１．
（２） 在 ｘ 1ｏｘ 2 坐标平面作直线
ｌ 1： －ｘ 1＋２ｘ 2 ＝２５
a41x1 + a42x2 + ... + a4n xn ≥ 1200
x j ≥ 0( j = 1,2,..., n)
（７）设决策变量 ｘ ij 为生产 ｉ 型（ｉ＝１，２，３）产品所需 ｊ 型设备（ｊ＝１，２，３ 对应 Ａ，Ｂ，Ｃ）加工 的时间，则此问题的数学模型为：
求 ｘ （ｉ＝１，２，３；ｊ＝１，２，３）使得利润最大化，即 ij

x6 x1
+ +
x1 x2
≥ ≥
60 70

x2
+
x3
≥ 60
ｓ．ｔ． x3 + x4 ≥ 50

x4
+
x5
≥
20

x5 xj
+ ≥
x6 0(
≥ 30 j = 1,2,...,6)
（６）依题意，设 Ｂ j （ｊ＝１，２，…，ｎ）为用料方案，则各种可能的搭配方案为：
ｌ 1： ２ｘ 1＋５ｘ 2 ＝６０
ｌ 2 ： ｘ 1＋ｘ 2 ＝１８
ｌ 3 ： ３ｘ 1＋ｘ 2 ＝４４
其等值线为：２ｘ 1＋５ｘ 2 ＝ｋ 此时有无穷多解． （４） 在 ｘ 1ｏｘ 2 坐标平面作直线
+ +
20x 70x
2 2
+ +
20x 3 30x 3
+ +
10x 80x
4 4
+ 10x5 + 40x 5
= 20(x 1 = 50(x 1
+ +
x2 x2
+ +
x3 x3
+ +
x4 x4
+ +
x5 ) x5 )
x j ≥ 0( j = 1,2,...,5)
（４）依题意，各种可能的搭配方案为：
' 4
,
x
'' 4
, x5,
x6
≥0
（２）引入松弛变量
ｘ
4
，令自由变量
ｘ 1 ＝－ｘ
' 1
，ｘ
3
＝ｘ
' 3
－ｘ
'' 3
，则其标准形式为：
ｍａｘＺ
'
＝－Ｚ＝２ｘ
' 1
＋ｘ
2
－３（ｘ
' 3
－ｘ
'' 3
）；
3
ｓ．ｔ．
-x51' x+'1
ｌ 1： ２ｘ 1＋２ｘ 2 ＝１０
ｌ 2 ： －ｘ 1＋ｘ 2 ＝８
其等值线为：４ｘ 1＋８ｘ 2 ＝ｋ 此时无可行解． （６）在 ｘ 1ｏｘ 2 坐标平面作直线
ｌ 1： ２ｘ 1＋２ｘ 2 ＝１０
ｓ．ｔ．
23xx12
+ +
2x x3
3 ≥ 90 ≥ 60

x
j
≥ 0(
j = 1,2,3)
（５）设决策变量 ｘ j 表示第 ｊ 班次开始上班的人数，则此问题的数学模型可归结为：求
ｘ j ，使得
6
∑ ｍｉｎＺ＝ x j ； j=1
而也是基可行解，此时 Ｚ＝０．
综上所述，最优解为：Ｘ * ＝（２，２，０，０） T ，Ｚ * ＝１０．
7
ｓ．ｔ．
2x1x1++2
x x
2 2
+ +
x3 x4
=6 = 6
x1, x2 , x3 , x4 ≥ 0
则约束方程组的系数矩阵为：
Ａ＝
2,1,1,0 1,2,0,1
＝（ｐ
1
，ｐ
2
，ｐ 3 ，ｐ 4 ）
① ｐ1 ，ｐ
2
线性无关，取
Ｂ 0 ＝（ ｐ1 ，ｐ 2
⑤
ｐ
2
，ｐ
4
线性无关，取
Ｂ
4
＝（ ｐ
2
，ｐ
4
）＝
1,0 2,1
为一个基
则 ｘ 2 ，ｘ 4 为基变量，ｘ 1，ｘ 3 为非基变量，令 ｘ1＝ｘ 3 ＝０，代入约束方程解得： ｘ 2 ＝６，
ｘ 4 ＝－６
所以 Ｘ 4 ＝（０，６，０，－６） T 为对应基 Ｂ 4 的一个基本解，由于它的基变量 ｘ 4 ﹤ 0 ，因而
ｌ 2 ： －ｘ 1＋ｘ 2 ＝８
其等值线为：－４ｘ 1－３ｘ 2 ＝ｋ
此时

x1*
x
* 2
= =
4 为最优解，Ｚ * ＝２２． 2
４． （１）引入松弛变量 ｘ 3 ，ｘ 4 ，将问题化为标准形式：
ｍａｘＺ＝３ｘ 1＋２ｘ 2 ；
方案
需要根数
Ｂ1
Ｂ2
Ｂ3
３ｍ
３
０
２
９０
４ｍ
０
２
１
６０
设决策变量 ｘ j 表示第 Ｂ j 种方案所用钢筋的根数，则此问题的数学模型可归结为：求 ｘ j
1
（ｊ＝１，２，３），使得
ｍｉｎＺ＝ｘ 1＋ｘ 2 ＋ｘ 3 ；
为：求 ｘ ，使得 j
ｍｉｎＺ＝８．５ｘ 1＋６．０ｘ 2 ＋８．９ｘ 3 ＋５．７ｘ 4 ＋８．８ｘ 5 ；
30x1 + 10x 2 + 50x 3 + 10x 4 + 50x 5 = 30(x1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 )
ｓ．ｔ．
60x1 10x1
ｌ 2 ： ｘ 1＋ｘ 2 ＝２０
ｌ 3 ： ５ｘ 1＋３ｘ 2 ＝７５
其等值线为：５ｘ 1＋１０ｘ 2 ＝ｋ
此时

x1*
x
* 2
= =
5 15
为最优解，Ｚ *
＝１７５．
（３） 在 ｘ 1ｏｘ 2 坐标平面作直线
ｌ 1： ２ｘ 1＋ｘ 2 ＝１０
4
ｌ 2 ： －３ｘ 1＋２ｘ 2 ＝６
ｌ 3 ： ｘ 1＋ｘ 2 ＝６
其等值线为：４ｘ 1＋３ｘ 2 ＝ｋ 此时是无界的． （５） 在 ｘ 1ｏｘ 2 坐标平面作直线
）＝
2,1 1,2
为一个基
则 ｘ 1，ｘ 2 为基变量，ｘ 3 ，ｘ 4 为非基变量，令 ｘ3 ＝ｘ 4 ＝０，代入约束方程解得： ｘ 1＝２，
5
ｘ 2 ＝２
所以 Ｘ (0) ＝（２，２，０，０） T 为对应基 Ｂ 0 的一个基本解，由于它的基变量取值非负，因 而也是基可行解，此时 Ｚ＝１０．
④
Ｐ
2
，ｐ
3
线性无关，取
Ｂ
3
＝（ ｐ
2
，ｐ
3
）＝
1,1 2,0
为一个基
则 ｘ 2 ，ｘ 3 为基变量，ｘ 1，ｘ 4 为非基变量，令 ｘ 1＝ｘ 4 ＝０，代入约束方程解得： ｘ 2 ＝３，
ｘ 3 ＝３
所以 Ｘ (3) ＝（０，３，３，０） T 为对应基 Ｂ 3 的一个基本解，由于它的基变量取值非负，因 而也是基可行解，此时 Ｚ＝６．

x12
+
x32
≤ 45

x x
23 ij
+ x33 ≤ 60 ≥ 0(i = 1,2,3;
j
= 1,2,3)
２．
（１）引入松弛变量
ｘ
5
，ｘ
6
，令自由变量
ｘ
4
＝ｘ
' 4
－ｘ
'' 4
，则其标准形式为：
ｍａｘＺ
'
＝－Ｚ＝３ｘ
1
－４ｘ
2
＋２ｘ
3
－５（ｘ
' 4
－ｘ
'' 4
）；
wk.baidu.com
ｓ．ｔ．

4x
1
x
1
+
- 2x1
+ x2 +
x2 + 3x
- 2x3 3x 3 2 - x3
+
x
' 4
+
x
' 4
-
+x
2
x
' 4
x
'' 4
=
'' 4
+
x
-
2x
'' 4
2 5 =14 - x6 =
2
x1, x 2 , x 3
,
x