数字信号处理 刘顺兰 第 章 完整版习题解答

故此时由 P125 表 3-1 可知，要设计的滤波器属第一类线性相位滤波器， H (w) 关于
0, , 2 偶对称，故 H d (e jw ) 可扩展为：
Hd
(e j )

e

j
(
0
) , ,

c 0

c c, c



2
则
N2n1)}RN
(n)
6.6 用矩形窗设计一个线性相位高通滤波器
H
d
(e
j
)

e
j (
0
) , ,
c 0 c
(1) 求出 h(n) 的表达式，确定 与 N 的关系。
6
(2) 问有几种类型，分别是属于哪一种线性相位滤波器。
(3) 若改用升余弦窗（汉宁窗）设计，求出 h(n) 的表达式。
6.2
设系统的单位脉冲响应为
h(n)

1, 0,
0n2
，计算并画出其频率响应。
其它
2
解 h(n) 为偶对称且长度 N 3 ，因此，这是第一种类型的线性相位 FIR 数字滤波器。
其系统的频率响应为

H (e j ) h(n)e jn
n
2
e jn
n0

1 e j3 1 e j
n0
6.4 一个具有广义线性相位的 FIR 滤波器具有如下性质：
（1） h(n) 是实的，且 n 0 和 n 5 时 h(n) =0 。
4
5
（2） (1)n h(n) 0 。 n0
（3）在 z 0.7e j / 4 处 H (z) 等于零。
（4） H (e j )d 4 。 试求该滤波器的 H (z) 。
(2)有两种类型，分别属于第Ⅰ、Ⅳ类线性相位滤波器。
(3)若改用汉宁窗， (n)

1 2
[1

cos(
N2n1)]RN
(2) 问有几种类型，分别是属于哪一种线性相位滤波器。
(3) 若改用升余弦窗（汉宁窗）设计，求出 h(n) 的表达式。
5
解：（1）

N 1 2
根据该线性相位低通滤波器的相位

( )




N 1 2
可知该滤波器只能是 h(n) h(N 1 n) 即 h(n) 偶对称的情况，则有 2 种类型，为第一
j
/4 z1)(1
z 1 )

A 0.49
(1
0.7
2z1 0.49z2 )(0.49 0.7
2z1 z2 )(1 z1)
因为
h(n)

1 2
H (e j )e jnd

， 2 h(0) H (e j )d
由条件 H (e j )d 4 ，可知 h(0) 2 ，故该滤波器的系统函数如下。
类和第二类滤波器，其频响 H (e j )

H
(
)e
j
N 1 2
。
由表 6-1 可知，第一类和第二类线
性相位滤波器， H ( ) 关于 0 均有偶对称结构。题目中仅给出了 Hd (e j ) 在 0 ~ 上
的取值，但用傅里叶反变换求 hd (n) 时，需要 Hd (e j ) 在一个周期[ , ] 或[0,2 ] 上的
n0

1 e j4 1 e j

sin 2 sin
e
j
3 2
2
故系统的振幅

( )


d ( ) d

3 2
H (e j )

sin 2 sin
，相
位

(
)


3 2

，群延迟
2
因 h(n) 长度 N 4 ，且 h(n) 为偶对称，故为第Ⅱ类线性相位 FIR 滤波器。
线性相位的约束条件需要在这两个零点的倒数位置上有零点，即 1 e j /4 ， 1 e j /4 也
0.7
0.7
是 H (z) 的零点。
由此，有
H
(z)

A(1
0.7e
j /4 z1)(1
0.7e
j
/4 z1)(1
1 0.7
e
j /4 z1)(1
1 0.7
0.7e
(b) h(n) (n) (n 4)
H (z) 1 z 4
H (e j ) 1 e j4

2 sin
2e
j 2
j
2
故系统的振幅 H (e j ) 2 sin 2
1
相位

(
)

2

2
群延迟

( )


d ( ) d
e j
sin(3 / 2) sin( / 2)

H (e j ) h(n)e jn
n

2
e jn
n0

1 e j3 1 e j
e j
sin(3 / 2) sin( / 2)
2
或
H (e j ) e jn 1 e j e j2 e j (e j 1 e j ) e j (1 2 cos)
n0
H（） 1 2 cos ()
该系统的振幅、相位图如下。
3
2
|H(ej)|
1
0
0
0.2 0.4 0.6 0.8
1
1.2 1.4 1.6 1.8
2
/pi
4
2
0
-2
-4
0
0.2 0.4 0.6 0.8
1
1.2 1.4 1.6 1.8
2
/pi
()
6.3 一数字滤波器的脉冲响应为 h(n) ，当 n 0 ，n N 时，h(n) 0 ，且 h(n) 为实数，
即当 h(n) h(N 1 n) 时有 H (0) 0
（2） N 为偶数， h(n) h(N 1 n)
H
(
N 2
)

N 2
1
N
[h(n)WN2
n
n0

h(N
1
n)W
N
(n
1)
N 2
]
N 2
1
h(n)[(1)n (1)(n1) ] 0
n)W
( n 1) N
k
]
n0
当
N
为奇数时：若
h(n)

h(N
1

n)
，则
h(
N 2
1)

h(
N 2
1)

0
N 1
2
N 1
故 H (k) h(n)WNnk h(n)WNnk
n0
n
N 1 2
N 1
N 3
2
2
h(n)WNnk h(N 1 n)WN(N 1n)k
H
(z)

2 0.49
(1
0.7
2z 1 0.49z 2 )(0.49 0.7
2z 1 z 2 )(1 z 1 )
6.5 用矩形窗设计一个线性相位低通滤波器
H
d
(e
j
)

e
j
0
, ,
0 c c
(1) 求出 h(n) 的表达式，确定 与 N 的关系。
c c, c


2
故
hd
(n)

1 2
2 0
Hd
(e
j
)e jn d

1 2
e e d c j( ) jn
c
7

(1)n
sinc (n (n )
)
h(n) hd (n)RN (n)
n0
3
N 2
1
N 1
当 N 为偶数时： H (k) h(n)WNnk h(n)WNnk
n0
n
N 2
N 2
1
N 2
1
H (k ) h(n)WNnk h(N 1 n)WN(N 1n)k
n0
n0
N 2
1

[h(n)WNnk

h(N

1

其 N 点 离 散 傅 立 叶 变 换 为 H (k) 。（ 1 ） 证 明 若 h(n) 满 足 h(n) h(N 1 n) ， 则
H
(0)

0
；（2）证明若
h(n)
满足
h(n)

h(N
1
n)
，且
N
为偶数，则
H
(
N 2
)

0
。
N 1
证明：（1） H (k)
h(n)W
nk N
解：(1)因 H d (e j ) 只给出了 0 ~ 之间半个周期的表达式，因此需要扩展。因设计的是线
性相位滤波器，故令

N 1 2
(a)当 N 为奇数时， 为整数，此时 e j( ) e j e j
即 e j( ) (1) e j
c

sin[c (n )] (n )
h(n) hd (n)RN (n)
(2) 有 2 种类型，分别为第一类和第二类线性相位滤波器。 (3) 若改用升余弦窗（汉宁窗）设计，则
h(n)

hd
(n)w(n)

sin[c (n )]{1 (n ) 2

1 2
cos(

e
j 3 2
2
j
sin
3 2

2 sin( 3 2
)e
j 3 2

j 2
故系统的振幅
H (e j )

2 sin
3 2
相位

(
)


3 2


2
群延迟

( )Fra bibliotekd ( ) d

3 2
因 h(n) 长度 N 4 ，且 h(n) 为奇对称，故为第Ⅳ类线性相位 FIR 滤波器。
（d）
h(n)

1 0
0n3 其它n ；
（1） 分别判断是否为线性相位 FIR 滤波器？如是，请问是哪一类线性相位滤波器？ （2） 如果是线性相位滤波器，写出它们的相位函数，群延迟。
解：(a) h(n) (n) (n 3)
则 H (z) 1 z 3
H (e j ) 1 e j3
hd
(n)

1 2
2 0
Hd
(e
j
)d

1 2
e e d c j( ) jn
c

(1) n
sin c (n ) (n )
h(n) hd (n)RN (n)
(b)当
N
为偶数时，

N 1 2

N 2

1 2
e j( )
解：因为 n 0 和 n 5 时 h(n) 0 ，且 h(n) 是实值，有
5
H (z) h(n)zn n0
5
因为 (1)n h(n) 0 ，故 z 1为 H (z) 的一个零点。 n0
因 z 0.7e j / 4 为 H (z) 的零点，故则在它的共轭位置 0.7e j /4 处一定有另一个零点。
e
j 3
2
故系统的振幅
H (e j )

sin
7 2

sin
，
相位
() 3
2
群延迟

( )


d ( ) d

3
因为 h(n) 长度为 7，且 h(n) 为偶对称，故为第Ⅰ类线性相位 FIR 滤波器。
(d)
h(n)

1 0
0n3 其它n
3
H (e j ) e jn
e j
e jx

e
j
N 2

e

j

j
2
对照表 3.1 可知，此时要设计的滤波器属于第四类线性相位滤波器，第四类滤波器的
H ( ) 关于 偶对称，则 H d (e j ) 可扩展为
H d (e j )

e j( ) ,

0,
c 0
n0
n0
N 3
2
[h(n)WNnk h(N 1 n)WN(N 1n)k ]
n0
∴ 当 h(n) h(N 1 n) 时，若 N 为偶数
N 2
1
H (0) [h(n) h(N 1 n)] 0
n0
若 N 为奇数，
N 3
2
H (0) [h(n) h(N 1 n)] 0 n0
值，因此 Hd (e j ) 需根据第一类、第二类线性相位滤波器的要求进行扩展，扩展结果为：
H
d
(e
j
)

e

0
j , ,
c c , c ,
c
则
hd
(n)

1 2

Hd
(e
j
)e
jnd

1 2
c e j e jn d

2
因 h(n) 长度 N 5 ，且 h(n) 为奇对称，故为第Ⅲ类线性相位 FIR 滤波器。
(c)
h(n)

1 0
0n6 其它n

H (e j ) h(n)e jn
n
6
e jn
n0

1 e j7 1 e j

sin(
7 2

)
sin( )
第六章 部分习题解答
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6.1 FIR 滤波器的单位脉冲响应 h(n) 为：
（a） h(n) (n) (n 3) ；
（b） h(n) (n) (n 4) ；
（c）
h(n)

1 0
0n6 其它n ；