等差数列知识点总结和题型分析

等差数列 知识点1、等差数列的定义:

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示

0d >⇔{}n a 为递增数列；0d <⇔{}n a 为递减数列；0d =⇔{}n a 为常数列。 例 1：判断下列是否为等差数列

（1）()2,4,6,8,,21,2n n -g g g （2）1,1,2,3,,,n g g g g g g （3）,,,,,a a a a g g g g g g

知识点2、等差中项:

如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项即：2

b a A +=

或b a A +=2

在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项.

例 2：若m 和2n 的等差中项是4，2m 和n 的等差中项是5，求m 和n 的等差中项。

知识点3、等差数列的判定方法:

定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列

等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列

知识点4、等差数列的通项公式:

如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为 d n a a n )1(1-+= 该公式整理后是关于n 的一次函数

()11n a a n d =+-，1a 为首项，d 为公差

()n m a a n m d =+-

n a pn q =+，其中1,d p a p q ==+ 特别说明：

1、有数列的首项，与公差，可写出通项公式；

2、有数列的任意两项，可确定通项公式；

3、有数列的通项公式可以求得数列中的任意一项，也可以判定某数是否为数列的项；

例3：已知等差数列{}n a ：3,7,11,15,g

g g 求： （1）(

)135,419m m N *

+∈是{}n

a 中的项吗并说明理由。

知识点5、等差数列的前n 项和: ⑥2

)(1n n a a n S +=

d n n na S n 2)

1(1-+

= 对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数

知识点6、等差数列的性质:

⑦等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+=

⑧ 对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+

也就是：ΛΛ=+=+=+--23121n n n a a a a a a

特别地，若2m n p +=，则2m n p a a a +=

⑨若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列如

下图所示：

4444444444484444444444476443

4421Λ4434421Λ444344421Λk k

k k

k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k

31221S 321-+-+++++++++++ 10、等差数列的前n 项和的性质：①若项数为(

)*

2n n ∈N

，则()21n n n S n a a +=+，且S S nd -=偶奇，

1

n

n S a S a +=奇偶．②若项数为()*

21n n -∈N ，则()2121n n S n a -=-，且n S S a -=奇偶，1

S n

S n =

-奇偶（其中n S na =奇，

()1n S n a =-偶）．

及时演练：

1、等差数列{}n a 中，若391

2

a a +=，则6a = ；若23101148a a a a +++=，则67a a += 。

2、已知等差数列{}n a 中，79416,1a a a +==，则12a = 。

3、设{}n a 为等差数列，若34567450a a a a a ++++=，则28a a += 。

4、设{}n a ，{}n b 都为等差数列，且112226,75,100a b a b ==+=，则3737a b += 。

5、已知数列{}n a 是等差数列，若1591317117a a a a a -+-+=，则315a a += 。

二、题型选析：

题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用）

1、.等差数列{a n }的前三项依次为 a-6，2a -5， -3a +2，则 a 等于（ ) A . -1 B . 1 C .-2 D. 2

2．在数列{a n }中，a 1=2，2a n+1=2a n +1，则a 101的值为 （ ）

A ．49

B ．50

C ．51

D ．52

3．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（ ）

A ．92

B ．47

C ．46

D ．45 4、已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是( )

( )

A 15

B 30

C 31

D 64

5. 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是

（ ）

＞38 ＜3 C. 38≤d ＜3 D.3

8＜d ≤3 6、.在数列}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1-n n a a 在直线03=--y x 上，则

n a =_____________.

7、在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝ ．

题型二、等差数列性质