斯托克斯stokes公式

2 3 1
L Pdx Qdy
( L1, L2 , L3对D来说为正方向 )
格林公式的实质 :
沟通了沿闭曲线的积分
与二重积分之间的联系.
便于记忆形式:
x y dxdy L Pdx Qdy . D P Q
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§1. 各种积分间的联系
三、简单应用
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§1. 各种积分间的联系
y
证明(1)
若区域D 既是X 型 又是Y 型,即平行于 坐标轴的直线和L 至 多交于两点.
d x 1 ( y) A
E
y 2 ( x)
D
B
c
o a
x 2 ( y) Cy 1 ( x ) x b
D {( x , y ) 1 ( x ) y 2 ( x ), a x b} D {( x , y ) 1 ( y ) x 2 ( y ), c y d }
§1. 各种积分间的联系
一、区域连通性的分类
设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所 围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区 域, 否则称为复连通区域.
D
D
单连通区域
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复连通区域
§1. 各种积分间的联系
例如， 平面上的圆x y 1, 右半平面x 0都是单连通区域,
Q P 由(2)知 ( )dxdy y D x
2 3
G
L3
E
L2
B
A
L1
C F
{ AB L BA AFC CE L EC CGA } ( Pdx Qdy)
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§1. 各种积分间的联系
( L L L )( Pdx Qdy)
§1. 各种积分间的联系
两式相加得
Q P ( )dxdy L Pdx Qdy y D x
3
L D 证明(2) 若区域D 由按段光 滑的闭曲线围成.如图, D1 将 D 分成三个既是X 型又是 L Y 型的区域 D1 ,D2 ,D3 .
3
D2
L2
D
1
L
Q P Q P ( )dxdy ( )dxdy y y D x D D D x
Q P ( )dxdy L Pdx Qdy x y D 其中 L是 D 的取正向的边界曲线,
公式(1)叫做格林公式.
(1)
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§1. 各种积分间的联系
L1 L1
D
L2
D
L2
L由L1与L2连成
L由L1与L2组成
边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区 域D总在他的左边.
1 2 3
L Pdx Qdy
( L1, L2 , L3对D来说为正方向 )
L3
D3
D2
L2
D1
L1
L
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§1. 各种积分间的联系 证明(3)
若区域不止由一条闭曲 线所围成.添加直线段 AB,CE. 则 D 的边界曲线由 D AB, L2 ,BA, AFC,CE, L3 , EC 及 CGA 构成.
CBE Q( x , y )dy EAC Q( x , y )dy
y E D
d
d
x 1 ( y)
L Q ( x , y )dy
c o
C
x 2 ( y)
x
同理可证
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P dxdy L P ( x , y )dx D y
1. 简化曲线积分
例 1 计算 xdy,其中曲
AB
y
A
D
线 AB 是半径为 r 的圆在 第一象限部分.
解 引入辅助曲线 L,
o
L
B
x
L OA AB BO
应用格林公式, P 0, Q x 有
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§1. 各种积分间的联系
dxdy xdy
D L
OA xdy AB xdy BO xdy , 由于OA xdy 0,
BO xdy 0,
1 2 xdy dxdy r . AB 4 D
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§1. 各种积分间的联系
2. 简化二重积分
y
例 2 计算 e
D
y2
dxdy ,其中 D 是
1
B D
A
以O(0,0), A(1,1), B(0,1)为顶点 的三角形闭区域.
o
1
x
解
令 P 0, Q xe
Q P y 源自文库 则 e , x y
y2
,
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§1. 各种积分间的联系
应用格林公式,有
e D
y2
dxdy
y2
xe OA AB BO
1 0
y2
dy
xe
OA
dy xe
x2
dx
1 1 (1 e ). 2
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§1. 各种积分间的联系
xdy ydx 例 3 计算 ,其中 L为一条无重点, L x2 y2 分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, L的方
1 2 3
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§1. 各种积分间的联系
Q P Q P Q P ( )dxdy ( )dxdy ( )dxdy x y x y x y D D D
1 2 3
L Pdx Qdy L Pdx Qdy L Pdx Qdy
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§1. 各种积分间的联系
d ( y ) Q Q dxdy c dy ( y ) dx x D x
2 1
c Q( 2 ( y ), y )dy c Q( 1 ( y ), y )dy
CBE Q( x , y )dy CAE Q( x , y )dy d
2 2
而圆环0 x 2 y 2 1使复连通区域.
注： 单连通区域是不含有"洞"甚至不含有"点洞"的区域.
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§1. 各种积分间的联系
二、格林公式
定理
设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围 成,函数 P ( x , y )及Q( x , y )在 D 上具有一阶连 续偏导数, 则有